Matemática Essencial: Sequencias de Fibonacci - Propriedades matematicas

Matemática
Essencial
Alegria Matemática
Sequências de Fibonacci (Propriedades)

A sequência de Fibonacci (lê-se: fibonati)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

Para ver aplicações sobre as Sequências de Fibonacci, veja o nosso link sobre Aplicações das Sequências de Fibonacci.


O número de Ouro Phi

A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na: natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina.
Há muitos livros sobre tais características, mas em português, existe um excelente livro publicado pela Editora Universidade de Brasília em 1985: "A divina proporção: Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática", H. E. Huntley, Brasília-DF.
Esta razão foi muito usada por Phidias, um escultor grego e em função das primeiras letras de seu nome usamos Phi para representar o valor numérico da razão de ouro:

Phi = = 1.618033989...


Números de Fibonacci

Em 1202, Leonardo de Pisa (Fibonacci = filius Bonacci) matemático e comerciante da idade média, escreveu um livro sobre o ábaco, denominado Liber Abacci, livro este que chegou a nós, graças à sua segunda edição datada de 1228. Este livro contem uma quantidade grande de assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra da época e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes pois foi através deste livro que os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos.

A teoria contida no livro Liber Abacci é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro. Um dos problemas que pode ser encontrado nas páginas 123-124 deste livro é o problema dos pares de coelhos (paria coniculorum).

Problema
dos pares
de coelhos
Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida.

Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém nascido.

Coelhos

No início do terceiro mês o par adulto erá produzido novamente mais um par enquanto que o par jovem terá completado 1 mês de vida e ainda não estará apto a produzir, assim no início do terceiro mês existirão três pares de coelhos, sendo: 1 par adulto + 1 par com 1 mês de idade + 1 par recém nascido.

No início do quarto mês, existirão dois pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e um par novo que completou 1 mês, logo teremos 5 pares: 2 pares adultos + 1 par com 1 mês + 2 pares recém nascidos.

No início do quinto mês, existirão três pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e dois pares novos que completaram 1 mês de vida, assim teremos 8 pares: 3 pares adultos + 2 pares(1 mês) + 3 pares recém nascidos.

No início do sexto mês, existirão cinco pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e três pares novos que completaram 1 mês, assim existirão 13 pares: 5 pares adultos + 3 parcom 1 mês + 5 pares recém nascidos.

Tal processo continua através dos diversos meses até completar um ano. Observa-se esta formação no gráfico com círculos, mas também pode-se perceber que a sequência numérica, conhecida como a sequência de Fibonacci, indica o número de pares ao final de cada mês:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Esta sequência de números tem uma característica muito especial denominada recursividade:

somando o primeiro com o segundo obtemos o terceiro
somando o segundo com o terceiro obtemos o quarto
somando o terceiro com o quarto obtemos o quinto
e assim por diante.
Se denotarmos a sequência u=(un) com un representando o número de pares de coelhos ao final do mês n, poderemos escrever:

u1 + u2 = u3
u2 + u3 = u4
u3 + u4 = u5
u4 + u5 = u6
... ... ...

que é uma propriedade recursiva, isto é, que cada termo pode ser obtido em função dos termos anteriores. No final do mês 12, o número de pares de coelhos deverá ser 144.


Aplicações das Sequências de Fibonacci

Poderiamos perguntar: Será que esta sequência numérica aparece em outras situações da vida?

A resposta é positiva e é espantosa pela grande quantidade de situações onde ela ocorre. Apresentamos uma lista modesta e que poderá ser ampliada facilmente se o visitante procurar mais na literatura.


Conexão com o número de ouro

De que forma ocorre esta conexão com a razão de ouro Phi? Na verdade a sequência de Fibonacci é dada por:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

e os termos desta sequência são denominados números de Fibonacci. Pode-se tomar a definição desta sequência para todo n natural, como:

u1=1 , u2=1
un+1 = un-1 + un

Pelo que se observa, esta sequência não é limitada superiormente, mas existe um fato excepcional: se tomarmos as razões de cada termo pelo seu antecessor, obteremos uma outra sequência numérica cujo termo geral é dado por:

fn = un+1 / un

que é limitada. Quando n tende a infinito o limite é exatamente Phi, o número de ouro.

Consideremos a sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..) e a divisão de cada número pelo seu antecessor, para obter a sequência:

1/1=1, 2/1=2, 3/2=1,5, 5/3=1,666..., 8/5=1,6, 13/8=1,625, ...

É fácil perceber o que ocorre quando colocamos estas razões em um gráfico em função dos números de Fibonacci:

As razões vão se aproximando de um valor particular, conhecido como Número de Ouro, também chamado Número Áureo, é frequentemente representado pela letra grega Phi 

Phi = = 1.618033988749895

Existem muitas sequências que têm as mesmas propriedades que a sequência de Fibonacci. Por exemplo:

5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, ...
-8, -4, -12, -16, -28, -44, ...

A sequência de Lucas é dada por:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...

Podemos mesmo considerar uma sequência de Fibonacci generalizada, onde z1=a, z2=b e tomar para todo n natural:

zn+1 = zn-1 + zn

Teremos então:

a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b, ...

Fica fácil observar que

zn = a un-2 + b un-1

onde un é a sequência normal de Fibonacci.

As diferenças entre elas estão relacionadas com a questão da convergência das razões de seus termos gerais pelos respectivos antecedentes, mas o valor Phi é exatamente o mesmo em qualquer caso.


Algumas propriedades dos números de Fibonacci
  1. Soma dos n primeiros números de Fibonacci

    u1 + u2 + u3 + ... + un-1 + un = un+2 - 1

    Como:

    u1 = u3 - u2
    u2 = u4 - u3
    u3 = u5 - u4
    u4 = u6 - u5
    ... ... ...
    un-1 = un+1 - un
    un = un+2 - un+1
    Somando membro a membro todas as igualdades acima, obtemos o resultado desejado após o cancelamento que aparece no segundo membro, observando que u2=1.

  2. Somas dos números de Fibonacci de ordem ímpar

    u1 + u3 + u5 + ... + u2n-1 = u2n

    Como

    u1 = u2
    u3 = u4 - u2
    u5 = u6 - u4
    u7 = u8 - u6
    ... ... ...
    u2n-1 = u2n - u2n-2
    Somando membro a membro todas as igualdades acima, obtemos o resultado desejado após o cancelamento que aparece no segundo membro.

  3. Somas dos números de Fibonacci de ordem par

    u2 + u4 + u6 + ... + u2n = u2n+1 - 1

    Como a soma de todos os números de Fibonacci até a ordem 2n é:

    u1 + u2 + u3 + ... + u2n-1 + u2n = u2n+2 -1

    e a soma dos números de Fibonacci de ordem ímpar até 2n-1 é:

    u1 + u3 + u5 + ... + u2n-1 = u2n

    então, subtraindo membro a membro as duas igualdades, restará somente a soma dos números de Fibonacci de ordem par no primeiro membro e u2n+1 - 1   no segundo membro.

  4. Soma alternada dos números de Fibonacci

    u1-u2+u3-u4+u5-...+ (-1)n+1 un = (-1)n+1 un-1 + 1


  5. Soma dos quadrados dos números de Fibonacci

    u12 + u22 + u32 + u42 + ... + un2 = un un+1

    Primeiro observamos que para todo k natural, temos que:

    uk uk+1 - uk uk-1 = uk (uk+1 - uk-1) = uk uk = uk2

    Assim:

    u12 = u1 u2
    u22 = u2 u3 - u2 u1
    u32 = u3 u4 - u3 u2
    u42 = u4 u5 - u4 u3
    u52 = u5 u6 - u5 u4
    ...
    un2 = un un+1 - un un-1
    Somando membro a membro todas as igualdades acima, obtemos o resultado desejado após o cancelamento que aparece no segundo membro.

  6. Número de Fibonacci de ordem n+m

    Usando o Princípio de Indução Matemática sobre m natural, é possível mostrar que:

    un+m = un-1um +unum+1

  7. Número de Fibonacci de ordem 2n

    Este é um caso particular do caso anterior com n=m e com ele é possível mostrar que o termo u2n é divisível pelo termo un, pois:

    u2n = un-1 un + un un+1 = un (un-1 + un+1)

  8. Diferença de quadrados de dois números consecutivos de ordem par (ímpar)

    un+12 - un-12 = u2n

    Como:

    un = un+1 - un-1

    então, a fórmula anterior pode ser reescrita como:

    u2n = (un+1 - un-1)(un-1 + un+1) = un+12 - un-12

    Exercício: Como antes, tome agora m=2n para mostrar que:

    u3n = un+13 + un3 - un-13

    Exercício: Usar o Princípio de Indução Finita (PIF) sobre n>0 inteiro, para mostrar que:

    1. un+12 = un un+2 + (-1)n
    2. u1 u2 + u2 u3 + u3 u4 + ... + u2n-1 u2n = u2n2
    3. u1 u2 + u2 u3 + u3 u4 + ... + u2n u2n+1 = u2n+12 - 1
    4. nu1 +(n-1)u2 + (n-2)u3 + ... + 2un-1 + un = un+4 - n - 3
    5. u4 + u8 + u12 + ... + u4n = u2n+12 - 1

  9. Fórmulas do deslocamento de Fibonacci

    Quando se estuda as fórmulas do deslocamento de Fibonacci:

    un = 2 un-2 + 1 un-3
    un = 5 un-4 + 3 un-5

    podemos observar o aparecimento de constantes como 1, 2, 3 e 5 (nas fórmulas acima) que são exatamente os primeiros números de Fibonacci. Demonstre que:

    un = uk+1 un-k + uk un-k-1


Números de Fibonacci e o triângulo de Pascal

Denotaremos por Cm,n a combinação de m elementos tomados n a n, como:

  m!
Cm,n =----------
  n! (m-n)!

onde n! é o fatorial de n.

O triângulo de Pascal pode ser obtido numericamente, somando-se dois números consecutivos da mesma linha com o resultado colocado sob o segundo somando ou através das combinações que aparecem na tabela da direita, logo abaixo:

Triângulo de Pascal
 1
 1 1
 1 2 1
 1 3 3 1
 1 4 6 4 1
 1 51010  5 1
 1 6152015  6  1
 1 7213535 21 7 1
C00
C10C11
C20C21C22 u7
C30C31 C32C33
C40C41 C42 C43C44
C50C51 C52 C53C54C55
C60 C61C62C63C64 C65C66
C70C71C72C73C74 C75C76C77

A altura de uma combinação Cm,n é a soma dos índices que aparecem na combinação, isto é:

altura(Cm,n) = m+n

Por exemplo, as alturas das combinações C6,0, C5,1, C4,2, C3,3 são todas iguais a 6 e observamos que o 7o. termo da sequência de Fibonacci é dado por:

u7 = C6,0 + C5,1 + C4,2 + C3,3

Esta é uma propriedade que relaciona o triângulo de Pascal com os números de Fibonacci, mostrando que a soma de todas as combinações Cm,n que aparecem no triângulo de Pascal, com uma mesma altura p de tal modo que p=m+n e m>n, corresponde ao termo de ordem p+1 da sequência de Fibonacci, isto é:

up+1 = Cp,0 + Cp-1,1 + Cp-2,2 + Cp-3,3 + ... + Cp-n,n

sendo que p deve ser maior ou igual que 2n.


Propriedades lineares das sequências de Fibonacci

Consideremos a equação recursiva de Fibonacci:

un+1 = un-1 + un

válida para todo inteiro n>1.


Fórmula de Binet

Esta última propriedade obtida nos garante que para obter todas as soluções da equação recursiva de Fibonacci:

un+1 = un-1 + un

válida para todo inteiro n>1, basta obter quaisquer duas soluções não proporcionais, assim pela propriedade linear da multiplicação por escalar, podemos escolher uma sequência de Fibonacci cujo primeiro termo seja igual a 1.

Vamos considerar então a sequência de Fibonacci wn que seja uma progressão geométrica com w1=1 e a razão não nula q, isto é:

wn = qn-1

Para que esta sequência seja de Fibonacci, devemos ter que:

wn-1 + wn = wn+1
ou seja
qn-2 + qn-1 = qn
que se reduz a:
1 + q = q2

Resolvendo esta equação do segundo grau obtemos as duas raízes:

q1 = (1 + )/2
q2 = (1 - )/2
observando que
q1 + q2 = 1
q1 q2 = -1

Para cada raiz, obtemos uma sequência de Fibonacci, logo podemos construir {vn} e {wn} através de:

vn = q1n-1
wn = q2n-1

e {un} pode ser escrita como combinação linear de {vn} e {wn}, isto é:

un = a vn + b wn = a {(1+)/2}n-1 + b {(1-)/2}n-1

e esta é a forma mais geral possível para uma sequência de Fibonacci, logo se tomarmos em particular:

a + b = 1
a q1 + b q2 = 1

teremos que

a = (1+)/(2 )
b = -(1-)/(2)

e substituindo na expressão de un, obtemos a Fórmula de Binet:

que fornece o termo geral da sequência de Fibonacci com o uso do número Phi.

Para valores muito grandes de n, o segundo termo da Fórmula de Binet pode ser desprezado pois a base desta potência é um número real menor do que 1, logo é possível mostrar que quando n tende a infinito, a expressão matemática para un é da ordem de (Phi)n, logo o quociente un+1/un é da ordem de Phi, assim o limite do quociente entre um número de Fibonacci e o seu antecedente converge para o número de ouro Phi, isto é:

Lim un+1 / un = Phi


Função geratriz dos números de Fibonacci

Um modo para obter uma sequência de números inteiros é construir uma função geratriz B=B(x) definida como uma série formal de

:

B(x) = bo + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + b4 x4 + b5 x5 + ...

cujos coeficientes bi sejam os valores da sequência que desejamos. O principal neste contexto é a construção de B(x) através de uma fórmula analítica onde os bi aparecem naturalmente.

Podemos também ter expressões em formas fechadas, que é o caso de algumas séries de

convergirem para uma função que não inclui somas infinitas. Por exemplo, a sequência f(n)=2n-1 para n inteiro (n>1). O conjunto imagem desta função é:

f(N)={1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...}

pode ser representada pela função geratriz:

B(x) = 1 + 2x + 4x2 + 8x3 + 16x4 + 32x5 + ...

que pode ser escrita na forma:

B(x) = 1/(1-2x)

mas para que isso faça sentido, deve ocorrer a convergência da série, o que depende do fato que |2x|<1. Por isto dissemos no início que esta é uma série formal. No final desta página, apresentaremos a divisão longa, que justifica a divisão 1/(1-2x) para obter a série formal apresentada.

Tendo em vista o que apresentamos acima, vamos assumir que exista uma função geratriz dos números da sequência de Fibonacci e vamos tentar encontrar uma relação que tenha algo a ver com o comportamento dos coeficientes desta função.

Tomemos uma função não nula B=B(x) tal que:

B(x) = Fo + F1 x + F2 x2 + F3 x3 + F4 x4 + F5 x5 + ...

Esta soma formal também pode ser escrita como um somatório sobre todos os números inteiros k>0, que denotaremos por:

B(x) = (Fk xk,k>0)

que pode ser reescrito (observar a mudança no índice!):

B(x) = Fo + F1 x + (Fk xk, k>2)

Acontece que Fo=F1=1 e Fk = Fk-1 + Fk-2 para todo k>1, logo:

B(x) = 1 + x + ([Fk-1 + Fk-2] xk, k>2)
B(x) = 1 + x + (Fk-1 xk, k>2) + (Fk-2 xk, k>2)
B(x) = 1 + x + x (Fk-1 xk-1, k>2) + x2(Fk-2 xk-2, k>2)
B(x) = 1 + x + x((Fj xj, j>1) + x2 (Fj xj, j>0)
B(x) = 1 + x + x [B(x)-1] + x2 B(x)
Extraindo o valor de B=B(x), segue que:

B(x) = 1/(1-x-x2)

que é a função geradora dos números de Fibonacci.

A divisão longa de 1/(1-x-x2), nos dá a série formal de

cujos coeficientes são os números da sequência de Fibonacci.


Divisão de polinômios

Para dividir o polinômio p(x)=x3-3x2+2x-1 por q(x)=x-1, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros. Os coeficientes dos termos de mais alto grau são muito importantes. Neste tipo de divisão, as

são indicadas por ordem decrescente, tanto no dividendo como no divisor.

  1. Dividimos x3 por x para obter x2. Multiplicamos x2 por x-1, trocamos o sinal do resultado = -x3+x2 e colocamos o resultado em baixo de x3-3x2+2x-1;

    x3 - 3 x2 + 2 x - 1 x - 1
    - x3 + x2 x2
      
      
      

  2. Realizamos a adição das expressões polinomiais à esquerda para obter: -2x2+3x-1;

    x3 - 3 x2 + 2 x - 1 x - 1
    - x3 + x2 x2
    -2 x2 + 3x -1  
      
    .nbsp; 

  3. Dividimos agora -2x2 por x para obter -2x. A expressão -2x é colocada na frente do termo x2. Multiplicamos -2x por x-1, trocamos o sinal e colocamos o resultado= 2x2-2x sob a expressão -2x2+3x-1;

    x3 - 3 x2 + 2 x - 1 x - 1
    - x3 + x2 x2 - 2x
    -2x2 + 3x -1  
    2x2 - 2x 
      

  4. A soma das duas últimas expressões da esquerda nos dá x-1;

    x3 - 3 x2 + 2 x - 1 x - 1
    - x3 + x2 x2 - 2x
    -2x2 + 3x -1  
    2x2 - 2x 
    x-1 

  5. Dividimos x-1 por x-1 para obter 1. Multiplicando 1 por x-1, trocando o sinal e adicionando este resultado à expressão da esquerda, obteremos zero (0). Concluimos assim que a divisão de p=p(x) por q=q(x) é x2-2x+1.

    x3 - 3 x2 + 2 x - 1 x - 1
    - x3 + x2 x2 - 2x + 1
    -2x2 + 3x -1  
    2x2 - 2x  
    x-1  
    -x+1 
    0 


A divisão longa

A divisão longa é um pouco diferente, embora utilizemos vários dos procedimentos anteriores. Os termos têm as

colocadas em ordem crescente, tanto no dividendo como no divisor. Vamos construir a divisão longa da função f(x)=1 pela função polinomial g(x)=1-x-x2. Indicamos o dividendo à esquerda com 1 e o divisor com 1-x-x2.

Na divisão longa (para este caso), os números 1 do dividendo e 1 do divisor são importantes. Na divisão polinomial os termos importantes eram os termos dominantes do dividendo e do divisor.
1 1-x-x2
 1
Dividimos 1 do dividendo pelo 1 do divisor e obtemos 1 como quociente. Multiplicamos este quociente=1 pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o resultado=-1+x+x2 sob o dividendo do momento. Após isto, realizamos a adição do resultado com o dividendo, para obter x+x2 que será o novo dividendo no passo seguinte.
1 1-x-x2
-1+x+x21
x+x2 
Agora o termo x do dividendo do momento x+x2 e o termo 1 do divisor são os termos importantes. Dividimos x (dividendo) por 1 (divisor) para obter x. Multiplicamos este x por todo o divisor, trocamos o sinal, para obter o resultado=-x+x2+x3. Colocamos este resultado de baixo do dividendo do momento. Realizamos a soma para obter 2x2+x3:
11-x-x2
-1+x+x21+1x
x+x2 
-x+x2+x3 
2x2+x3 
Agora o termo 2x2 do dividendo do momento 2x2+x3 e o termo 1 do divisor são os termos importantes. Dividimos 2x2 (dividendo) por 1 (divisor) para obter 2x2. Multiplicamos este 2x2 por todo o divisor, trocamos o sinal, para obter o resultado=-2x2+2x3+2x4. Colocamos este resultado de baixo do dividendo do momento. Realizamos a soma para obter 3x3+2x4:
11-x-x2
-1+x+x2 1+1x+2x2
x+x2 
-x+x2+x3 
2x2+x3 
-2x2+2x3+2x4 
3x3+2x4 
Agora o termo 3x3 do dividendo do momento 3x3+2x4 e o termo 1 do divisor são os termos importantes. Dividimos 3x3 (dividendo) por 1 (divisor) para obter 3x3. Multiplicamos este 3x3 por todo o divisor, trocamos o sinal, para obter o resultado=-3x3+3x4+3x5. Colocamos este resultado de baixo do dividendo do momento. Realizamos a soma para obter 5x4+3x5:
11-x-x2
-1+x+x2 1+1x+2x2+3x3
x+x2 
-x+x2+x3 
2x2+x3 
-2x2+2x3+2x4 
3x3+2x4 
-3x3+3x4+3x5 
5x4+3x5 
Agora o termo 5x4 do dividendo do momento 5x4+3x5 e o termo 1 do divisor são os termos importantes. Dividimos 5x4 (dividendo) por 1 (divisor) para obter 5x4. Multiplicamos este 5x4 por todo o divisor, trocamos o sinal, para obter o resultado=-5x4+5x5+5x6. Colocamos este resultado de baixo do dividendo do momento. Realizamos a soma para obter 8x5+5x6:
11-x-x2
-1+x+x2 1+1x+2x2+3x3+5x4
x+x2 
-x+x2+x3 
2x2+x3 
-2x2+2x3+2x4 
3x3+2x4 
-3x3+3x4+3x5 
5x4+3x5 
-5x4+5x5+5x6 
8x5+5x6 
Para obter os outros coeficientes desta série formal, você deverá continuar o processo de divisão. Observe a sequência de Fibonacci na expressão do quociente da divisão de 1 por 1-x-x2.
11-x-x2
resto 1+1x+2x2+3x3+5x4+ ...

Existem várias abordagens possíveis para o estudo das sequências de Fibonacci: Equações de diferenças finitas, Frações Contínuas, Teoria dos Números. Recomendamos que o interessado pesquise sobre o assunto, pois aqui está uma área multi-disciplinar cujo estudo produz resultados interessantes.


Construída por Ulysses Sodré e Sonia F. L. Tóffoli
Atualizada em: October 14, 2000.

Faça sua escolha!

Interaula Clube
Download Grátis
Acessar sua conta
CDs de Matemática
CDs de Português

[matweb/alegria/fibon/inclusao_dasecretaria.htm]