Matematica Essencial: Extraindo a raiz quadrada

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Extração da raiz quadrada

A extração da raiz quadrada de um número A visa obter um número real r tal que r2 = A. Se a igualdade não for possível, pelo menos esperamos que r2 seja um número bem próximo de A. No exemplo, usaremos o número A=127599 para implementar o processo geral. Para que você aprenda de fato, tome uma folha de papel e realize neste papel as operações indicadas passo-a-passo.

Regra geral e exemplo
As ocorrências citadas à esquerda ficam piscando em cor vermelha.
Construímos uma tabela com 4 quadrantes, tendo o número A no canto superior esquerdo.
127599 Canto Sup.
Direito
Canto Inf.
Esquerdo
Canto Inf.
Direito
Linha com dados úteis
Realizamos a decomposição do número A em classes de dois algarismos da direita para a esquerda (<--).
127599 ...
... ...
A=127599
Ordenamos as classes da esquerda para a direita (-->) com os valores das classes indicados por C1, C2, C3, ...
C1•C2•C3 ...
... ...
A=127599
C1 poderá ter um ou dois algarismos e os valores de todas as classes será sempre menor que 100.
12•75•99 ...
... ...
A=127599, C1=12
Qual é o maior inteiro B tal que B2 é menor ou igual que C1? B possíveis:0,1,2,3
Colocamos o número B no canto superior direito.
12•75•99 3
... ...
A=127599, B=3
Colocamos B2 em baixo de C1.
12•75•99 3
 9 ...
A=127599, B=3
Obtemos a diferença D=C1-B2.
12•75•99 3
-9
 3
...
A=127599, B=3, D=3
Baixamos a classe C2 até a linha onde está a diferença D.
12•75•99 3
-9
 3 75
...
A=127599, B=3,D=3
Reunimos D com C2 para formar o número E.
12•75•99 3
-9
  375
...
A=127599, B=3,D=3, E=375
Colocamos 2B (dobro de B) no canto inferior direito.
12•75•99 3
-9
  375
6
A=127599, B=3,D=3, E=375
A divisão inteira de E por 2B por 10 nos dá F. O 10 indica que este é o dígito das dezenas para a raiz. F=E÷(20B)=375÷60= 6
F ficará à direita de B no canto superior direito, à direita de 2B no canto inferior direito e em baixo deste último número no canto inferior direito com um sinal de multiplicação.
12•75•99 36
-9
  375
66
×6
B=3,D=3, E=375, F=6(?)
Multiplicamos os números do canto inferior direito. Se o produto for maior que o número no canto inferior esquerdo, repetimos este passo com F-1 no lugar de F.
12•75•99  36
-9
  375
 66
 ×6
376
B=3,D=3, E=375, F=6(?)
Usamos agora F-1 e repetimos o passo anterior para ver se o novo produto G é menor ou igual que E. Devemos diminuir de 1 em 1 o número F até que G seja menor ou igual que E.
12•75•99  35
-9
  375
 65
 ×5
325
B=3,D=3, E=375, F=5, G=325
Após achar o F adequado, pomos o número BF no canto superior direito e o número G em baixo de E, realizando a diferença H=E-G.
12•75•99 35
-9
  375
- 325
   50
65
×5
325
BF=35, E=375, F=5, G=325, H=50
Baixamos a classe C3 até a linha que contém a diferença H, formando um novo número I.
12•75•99 35
-9
  375
- 325
   5099
65
×5
325
BF=35, F=5, G=325, H=49, I=5099
A divisão inteira de I por 20BF nos dá J. J=I÷(20BF)=5099÷700=7
Faremos outra multiplicação. No canto inferior direito colocamos o dobro de BF.
12•75•99 35
-9
  375
- 325
   5099
65  70
×5  
325
BF=35, I=5099, J=7
O número J será posto à direita de BF, à direita do dobro de BF e em baixo deste último número, no canto inferior direito.
12•75•99 357
-9
  375
- 325
   5099
65   707
×5    ×7
325
BF=35, I=5099, J=7
Multiplicamos J pelo número K formado por 2BF e J e verificamos se este produto L é menor do que I. Se não for menor, trocamos J por J-1 e repetimos este passo.
12•75•99 357
-9
  375
- 325
   5099
65   707
×5    ×7
325 4949
BF=35, I=5099, J=7, K=707, L=4949
Obtemos a diferença M=I-L. Nesse momento, você deve estar com o número BFJ no canto superior direito. Este é o número representa a raiz que você está procurando!
12•75•99 357
-9
  375
- 325
   5099
-  4949
    150
 65  707
 ×5   ×7
325 4949
BFJ=357, I=5099, L=4949, M=150
Para melhorar a precisão do cálculo para a raiz, devemos obter o próximo número decimal após BFJ, acrescentamos uma "nova" classe C4=00 após a classe C3, tomando o cuidado de inserir uma vírgula no lugar do ponto separador e uma outra vírgula após o número BFJ.
12•75•99,00 357,
-9
  375
- 325
   5099
-  4949
    150
 65  707
 ×5   ×7
325 4949
BFJ=357 é a raiz inteira mais próxima
Baixamos a classe 00 até a linha contendo a diferença. Colocamos o dobro de BFJ no canto inferior direito, esquecendo da vírgula e considerando este número como um número inteiro.
12•75•99,00 357,
-9
  375
- 325
   5099
-  4949
    15000
 65  707  714
 ×5 ×  7
325 4949
BFJ=357 é a raiz inteira mais próxima
No canto inferior direito, na frente de BFJ pomos um algarismo adequado N, na frente de 2(BFJ) pomos o mesmo algarismo N e em baixo deste último número pomos o algarismo N e realizamos a multiplicação destes dois últimos números.
12•75•99,00 357,2
-9
  375
- 325
   5099
-  4949
    15000
    14284
      716
 65  707  7142
 ×5  ×7     ×2
325 4949 14284
BFJ=357,2 é uma raiz real mais próxima
Podemos continuar este processo inserindo uma nova classe 00 para obter um resultado mais preciso! (357,21)2 = 127.598,9841

Material construído por Ulysses Sodré
Última atualização:Friday, April 14, 2001.

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