Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que:

Exemplos:

• 15 é múltiplo de 5, pois 15 = 3 × 5
• 24 é múltiplo de 4, pois 24 = 6 × 4
• 24 é múltiplo de 6, pois 24 = 4 × 6
• 27 é múltiplo de 9, pois 27 = 3 × 9

Quando a=k×b, segue que a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois:

Quando a=k×b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis. Para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma a=k×2 onde k é substituído por todos os números naturais possíveis. A tabela abaixo nos auxiliará:

a = k × 2
0 = 0 × 2
2 = 1 × 2
4 = 2 × 2
6 = 3 × 2
8 = 4 × 2
10= 5 × 2
12= 6 × 2

O conjunto dos números naturais é infinito, assim existem infinitos múltiplos de 2, ou de qualquer outro número natural.

O conjunto dos múltiplos de um número natural y é infinito e vamos nos referir a este conjunto com a notação M(y).

Exemplo: Múltiplos de 7: M(7) = {0,7,14,21,28,35,42,...}

Exemplo: Múltiplos de 11: M(11) = {0,11,22,33,44,55,66,77,...}

Observação: Como estamos considerando 0 como um número natural, então o número 0 (zero) será múltiplo de todo número natural. Tomando k=0 em a=k.b obtemos a=0 para todo b natural.

Exemplo: Alguns múltiplos de zero.

• 0 = 0 × 2
• 0 = 0 × 5
• 0 = 0 × 12
• 0 = 0 × 15

Observação: Um número b é sempre múltiplo dele mesmo.

Exemplos: Basta tomar o mesmo número muiltiplicado por 1 para obter um múltiplo dele próprio.

• 3 = 1 x 3
• 5 = 1 x 5
• 15 = 1 x 15

A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b.

Exemplo: 3 é divisor de 15, pois 15=3×5, logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5.

Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos números naturais não podemos dividir 6 por um número maior do que ele.

Os divisores naturais de 6 são os números 1, 2, 3, 6, o que significa que o número 6 tem 4 divisores.

Os divisores de um número y também formam um conjunto finito, aqui denotado por D(y).

Exemplos:

• Divisores de 18: D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }
• Divisores de 15: D(15) = { 1, 3, 5, 15 }

Observação:

• O número 0(zero) é múltiplo de todo número natural.
• Zero(0) não é divisor de nenhum número natural, exceto dele próprio.

Se pudéssemos considerar que 6÷0=b, então teríamos que admitir que:

mas não existe um número b que multiplicado por 0 (zero) seja igual a 6, portanto a divisão de 6 por 0 é impossível.

A divisão de zero por zero é indeterminada, o que significa que pode existir uma situação que ela passe a ter significado, no sentido seguinte:

Se aceitarmos que

então também poderemos aceitar que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos nesta proporção e assim:

que não é contraditório e isto pode ser realizado para todo X real, razão pela qual a expressão da forma 0 ÷ 0 é dita indeterminada.

Um número primo é um número natural com exatamente dois divisores naturais distintos.

Exemplos:

• 2 é primo pois D(2) = {1,2}
• 3 é primo pois D(3) = {1,3}
• 5 é primo pois D(5) = {1,5}
• 7 é primo pois D(7) = {1,7}
• 14 não é primo pois D(14) = {1,2,7,14}

É um processo para a obtenção de números primos menores do que um determinado número natural k. Normalmente construímos uma tabela contendo todos os primeiros k números naturais.

Para determinar os números primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos.

1. Determinamos o primeiro número primo que é 2, lembrando que 1 não é primo.
2. Eliminamos todos os múltiplos de 2 que encontrarmos na tabela.
3. Determinamos o próximo número primo que será 3, que coincidirá com o próximo número não marcado da tabela.
4. Eliminamos todos os múltiplos de 3.
5. Voltamos ao passo 3, com o próximo número primo.
6. Continuamos o processo.

Na tabela, listamos os 100 primeiros números naturais, indicando com a cor de fundo "amarela" os números primos e com a cor de fundo "bege" os números que não são primos. Como exemplo, 2 é primo, enquanto 25 não é primo, pois é múltiplo de 5.

Assim encontramos os seguintes números primos na tabela.

Observações:

• 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor.
• Todo número natural pode ser escrito como o produto de números primos, de forma única.

Diz-se que um número m é múltiplo comum dos número a e b se m é múltiplo de a e também é múltiplo de b, ou seja.

onde k e w números naturais.

Exemplos: Múltiplos comuns

• 24 é múltiplo comum de 6 e 8.
• 15 é múltiplo comum de 3 e 5.

Determinaremos agora todos os números que tem 18 como múltiplo comum, o que é o mesmo que obter todos os divisores naturais de 18.

Observe que 18 é múltiplo comum de todos os seus divisores, logo:

Agora determinaremos os múltiplos comuns dos números a e b. Para isso denotaremos por M(a) o conjunto dos múltiplos de a, por M(b) o conjunto dos múltiplos de b e tomar a interseção entre os conjuntos M(a) e M(b).

Exemplo: Múltiplos comuns de 3 e 5.

M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...}
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...}

Desse modo, a interseção entre os conjuntos M(3) e M(5) forma um conjunto infinito com os múltiplos comuns de 3 e de 5.

M(3)M(5) = {0,15,30,45,...}

Como estamos considerando 0 (zero) como número natural, ele irá fazer parte dos conjuntos de todos os múltiplos de números naturais e será sempre o menor múltiplo comum.

Por definição, o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números naturais é o menor múltiplo comum a esses números que é diferente de zero. Logo, no conjunto:

M(3)M(5) = {0, 15, 30, 45, ...}

o Mínimo Múltiplo Comum entre 3 e 5 é igual a 15.

Quando trabalharmos com dois números a e b, utilizaremos a notação MMC(a,b) para representar o Mínimo Múltiplo Comum entre os números naturais a e b, lembrando sempre que o menor múltiplo comum deve ser diferente de zero.

Exemplo: Como:

É interessante notar que o conjunto dos múltiplos do MMC(a,b) é igual ao conjunto dos múltiplos comuns de a e b.

Realmente: MMC(3,5)=15

M(15) = {0,15,30,45,60,...}
M(3) = {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...}
M(5) = {0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...}
M(3)M(5) = {0,15,30,45,...}

Observe que M(15) = M(3)M(5)

Método para determinar o MMC: Do ponto de vista pedagógico, o processo acima é excelente para mostrar o significado do MMC mas existe um método prático para realizar tal tarefa sem trabalhar com conjuntos.

1. Em um papel faça um traço vertical, de forma que sobre espaço livre tanto à direita como à esquerda do traço.

2. Do lado esquerdo do traço escreva os números naturais a, b, c, ... como uma lista, separados por vírgulas, para obter o MMC(a,b,c,...). Por exemplo, tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do traço vertical e do lado direito do traço colocamos o menor número primo que divide algum dos números da lista que está à esquerda.

   12	22	28	|	2
   			|
   			|
   			|

3. Dividimos todos os números da lista da esquerda, que são múltiplos do número primo que está à direita do traço, criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os valores resultantes das divisões (possíveis) e com os números que não foram divididos.

   12	22	28	|	2
   6	11	14	|
   			|
   			|

4. Repetimos a partir do passo 3 até que os valores da lista que está do lado esquerdo do traço se tornem todos iguais a um.

   12	22	28	|	2
   6	11	14	|	2
   3	11	7	|	3
   1	11	7	|	7
   1	11	1	|	11
   1	1	1	|	924

5. O MMC é o produto de todos os números primos que colocamos do lado direito do traço
   Neste caso: MMC(12,22,28)=924.

Exemplo: Determinaremos os MMC dos números 12 e 15.

1. Montagem da tabela:

   12	15	|	2
   		|
   		|
   		|

2. Dividimos todos os números da lista da esquerda pelos números primos (quando a divisão for possível), criando novas listas sob as listas anteriores.

   12	15	|	2
   6	15	|	2
   3	15	|	3
   1	5	|	5
   1	1	|	60

3. O MMC(12,15)=60 é o produto de todos os números primos que colocamos do lado direito do traço.

Para obter o Máximo Divisor Comum devemos introduzir o conceito de divisor comum a vários números naturais. Um número d é divisor comum de outros dois números naturais a e b se, d divide a e d divide b simultaneamente. Assim:

Exemplos: Divisores comuns.

• 8 é divisor comum de 24 e 56, pois:
  24 = 3 x 8 e 56 = 7 x 8

• 3 é divisor comum de 15 e 36, pois:
  15 = 5 x 3 e 36 = 12 x 3

Observação: Um número d é divisor de todos os seus múltiplos. O conjunto dos divisores comuns de dois números é finito, pois o conjunto dos divisores de um número é finito.

Agora determinaremos os divisores comuns aos números 16 e 24.

D(16) = { 1, 2, 4, 8, 16 }
D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }

D(16)D(24) = {1, 2, 4, 8}

Ocorre que o menor divisor comum entre os números 16 e 24, é 1, assim não interessa o menor divisor comum mas sim o maior divisor que pertence simultaneamente aos dois conjuntos de divisores.

Denotaremos por MDC(a,b), o Máximo Divisor Comum entre os números naturais a e b.

Exemplos: Como:

MDC(16,24) = max( D(16)D(24)) = 8

Método prático para a determinação do MDC: De forma similar ao cálculo do MMC(a,b), temos também um procedimento prático para determinar o MDC(a,b) entre dois números naturais, pois encontrar conjuntos de divisores para cada número pode ser trabalhoso. Para introduzir este método, determinaremos o MDC entre os números 30 e 72.

1. Comece construindo uma grade com 3 linhas e algumas colunas, colocando os números dados na linha do meio. Na primeira coluna coloque o maior deles e na segunda coluna o menor.

   72	30

2. Efetue a divisão do maior pelo menor colocando o quociente no espaço sobre o número menor na primeira linha e o resto da divisão no espaço logo abaixo do maior número na terceira linha.

   	2
   72	30
   12

3. Passe o resto da divisão para o espaço localizado à direita do menor número na linha central.

   	2
   72	30	12
   12

4. Realizamos agora a divisão do número 30, pelo resto obtido anteriormente que é 12. Novamente, o quociente será colocado sobre o número 12 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 30.

   	2	2
   72	30	12	6
   12	6

5. Realizamos agora a (última!) divisão do número 12, pelo resto obtido anteriormente que é 6. Novamente, o quociente será colocado sobre o número 6 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 12.

   	2	2	2
   72	30	12	6
   12	6	0

6. Como o resto da última divisão é 0 (zero), o último quociente encontrado representa o MDC entre 30 e 72, logo denotamos tal fato por:
   MDC(30,72)=6

Exercício: Se a diferença entre dois números naturais é 126 e o máximo divisor comum entre eles é 18, quais são esses números?
Solução: Sejam X e Y os tais números procurados. Assim, X e Y devem ser múltiplos de 18, logo podem ser escritos na forma X = 18a e Y = 18b onde a e b devem ser determinados. Assim:

18a - 18b = 126
18 (a - b) = 18 × 7
a - b = 7
Tomando a=8 e b=1 teremos X = 144 e Y = 18

Exercício: Se a soma de dois números naturais é 420 e o máximo divisor comum entre eles é 60, quais são esses números?
Solução: Sejam X e Y os tais números procurados. Se MDC(X,Y)=60, os números X e Y devem ser múltiplos de 60, logo podem ser escritos na forma X = 60a e Y = 60b onde a e b são números inteiros positivos. Assim

X + Y = 60a + 60b = 420
o que garante que
a + b = 7
Devemos escolher números naturais tal que a+b=7, logo
se tomarmos a = 6 e b = 1 teremos X = 360 e Y = 60.
se tomarmos a = 5 e b = 2 teremos X = 300 e Y = 120.
se tomarmos a = 4 e b = 3 teremos X = 240 e Y = 180.
se tomarmos a = 3 e b = 4 teremos X = 180 e Y = 240.
se tomarmos a = 2 e b = 5 teremos X = 120 e Y = 300.
se tomarmos a = 1 e b = 6 teremos X = 60 e Y = 360.

Exercício: Se a divisão entre dois números naturais é igual a 6/5 e o máximo divisor comum entre eles é 15, quais são esses números?
Solução: Sejam X e Y os tais números procurados. Se MDC(X,Y)=15, então X e Y devem ser múltiplos de 15, logo podem ser escritos na forma X = 15a e Y = 15b. Assim:

15a ÷ 15b = 1,2
a ÷ b = 1,2 = 12 ÷ 10 = 6 ÷ 5
Temos muitas soluções para o problema, mas escolhendo os números a=6 e b=5, teremos X=90 e Y=75
Outras escolhas possíveis são:
Se a=12 e b=10 então X=180 e Y=150
Se a=18 e b=15 então X=270 e Y=225, ...

Uma relação importante e bastante útil entre o MMC e o MDC é o fato que o MDC(a,b) multiplicado pelo MMC(a,b) é igual ao produto de a por b, isto é:

Exemplo:

MDC(12,15) = 3
MMC(12,15) = 60
3 x 60 = 180 = 12 x 15

Esta relação é útil quando precisamos encontrar o MMC e o MDC de dois números, basta encontrar um deles e usar a relação acima.

Exemplo: Determinar o MMC e o MDC entre 15 e 20.

O primeiro passo é determinar o MDC ou o MMC entre 15 e 20, obtido o MDC(15,20) = 5 e sabendo que 15 x 20 = 300, basta lembrar que MDC(15,20). MMC(15,20) = 15 x 20 e fazer

Donde obtem-se que o MMC(15,20) é igual a 300 dividido por 5, ou seja MMC(15,20) = 60

Exercício: Se a soma de dois números é 320 e o mínimo múltiplo comum entre eles é 600, quais são esses números? Qual é o máximo divisor comum entre eles?
Solução: Sejam X e Y os números procurados. Assim, X e Y devem satisfazer à relação:

X e Y devem dividir 600, logo devem pertencer ao conjunto
D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 75, 100,
     120, 150, 200, 300, 600}
Dois números deste conjunto que somados dão 320, são:
300 e 20 ou 200 e 120
Descartamos o par: 300 e 20 pois mmc(300,20)=300
Os números são X=200 e Y=120 cujo mmc(200,120)=600
O mdc(200,120) = 40.

Dois números naturais são primos entre si quando o MDC entre eles é igual a 1.

Exemplo: 16 não é um número primo, 21 também não é um número primo mas 16 e 21 são primos entre si pois MDC(16,21) = 1

Radiciação de ordem n é o processo pelo qual dado um número natural a devemos determinar um número natural b tal que:

onde n é um número natural. É o processo inverso da potenciação.

Representamos a operação de radiciação por: Rⁿ[a], a^(1/n), pot(a,1/n), pow(a,1/n) ou por um símbolo clássico:

que se lê: raiz n-ésima de a. Uma notação simples e muito comum no meio científico é aquela que usa o acento circunflexo: a^(1/n).

Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número não negativo (não somente natural) é um outro número não negativo b tal que:

A raiz quadrada de um número não negativo a pode ser denotada por a^(1/2).

Exemplo: Para determinar a raiz quadrada de 36 deve-se obter b de forma que

Por tentativa devemos dividir 36 por seus divisores até que o divisor seja igual ao quociente

Portanto +6 é a raiz quadrada de 36.

Raiz cúbica: A raiz cúbica de um número (não somente natural) a é um número b tal que:

A raiz cúbica de um número a pode ser denotada por a^(1/3).

Exemplo: Para determinar a raiz cúbica de 64, deve-se determinar b de forma a obter

Por tentativa, temos :

Portanto 4 é raiz cúbica de 64.

Em estudos mais avançados, pode-se aprender a extrair a raiz quadrada ou a raiz cúbica de um número não necessariamente natural, com qualquer precisão que se queira.

Para calcular raízes com o browser Netscape, digite (ou copie com Control+C) a linha de comando:

javascript:Math.sqrt(961)
ou
javascript:Math.pow(961,1/2)

exatamente da forma como está escrito, dentro da caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você deverá ver uma nova janela como o número 31 que é a raiz quadrada (em inglês: sqrt) de 961. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.

Agora digite (ou copie com Control+C) na caixa:

javascript:Math.pow(343,1/3)

e pressione ENTER. Você obterá a raiz cúbica de 343 que é: 6.999999999999999 que é uma excelente aproximação para 7, a raiz exata. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.

Para obter a raiz n-ésima de um número não negativo M, digite na caixa:

javascript:Math.pow(M,1/n)

e pressione ENTER. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.