Matematica Essencial: Projeto MatWeb(104) - Fracoes

Projeto
MatWeb
Ensino Fundamental: mod104
Frações


Elementos Históricos sobre frações

Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.
As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.


Introdução ao conceito de fração

pizza

Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho. Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.

Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:

Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.

O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.


Elementos gerais para a construção de frações

Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matemático denominado fração.

O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N será representado por:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Logo, todos os números naturais representam partes inteiras.

Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, constituem os números racionais não-negativos, aqui representados por Q+, onde esta letra Q significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais.

Q+ = { 0,..., 1/4,..., 1/2,..., 1,...,2,... }

Numeral: Relativo a número ou indicativo de número.
Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.


Definição de fração

Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração.

Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração.

Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.

Exemplo: Consideremos a fração

 1

4

1/4 1/4
1/4 1/4

Em linguagem matemática, as fracões podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum. A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes.

Observação: A linguagem HTML (usada para construir páginas) não proporciona ainda um método simples para a implementação da barra de fração, razão pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a divisão de dois números.


Leitura de frações
  1. O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1<d<10

    A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como:

    Fração1/21/31/4 1/51/61/71/81/9
    Leituraum meioum terço um quartoum quintoum sexto um sétimoum oitavoum nono

  2. O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d>10

    Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos.

    Avos: Substantivo masculino, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se emprega na leitura das frações, cujo denominador é maior do que dez.

    FraçãoLeitura
    1/11um onze avos
    1/12um doze avos
    1/13um treze avos
    1/14um quatorze avos
    1/15um quinze avos
    1/16um dezesseis avos
    1/17um dezessete avos
    1/18um dezoito avos
    1/19um dezenove avos

  3. O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10

    Se o denominador for múltiplo de 10, lemos:

    FraçãoLeituraLeitura Comum
    1/10um dez avosum décimo
    1/20um vinte avosum vigésimo
    1/30um trinta avosum trigésimo
    1/40um quarenta avosum quadragésimo
    1/50um cinqüenta avosum qüinquagésimo
    1/60um sessenta avosum sexagésimo
    1/70um setenta avosum septuagésimo
    1/80um oitenta avosum octogésimo
    1/90um noventa avosum nonagésimo
    1/100um cem avosum centésimo
    1/1000um mil avosum milésimo
    1/10000um dez mil avosum décimo milésimo
    1/100000um cem mil avosum centésimo milésimo
    1/1000000um milhão avosum milionésimo

Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um três mil quinhentos e noventa e sete avos.


Tipos de frações

1/4 1/4
1/4 1/4

A representação gráfica mostra a fração 3/4 que é uma fração cujo numerador é um número natural menor do que o denominador.
A fração cujo numerador é menor que o denominador, isto é, a parte é tomada dentro do inteiro, é chamada fração própria.

A fração cujo numerador é maior do que o denominador, isto é, representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais é chamada fração imprópria.

3/3
1/3
1/3
1/3
 +  2/3
1/3
1/3
1/3
 =  5/3=1+2/3
1 1/3
1/3
1/3

A fração cujo numerador é um múltiplo do denominador, aparenta ser uma fração mas não o é, pois representa um número inteiro. Esta é chamada fração aparente.

Caso particular: O zero é múltiplo de todo número inteiro, logo, as frações 0/3, 0/8 , 0/15 são consideradas aparentes, pois representam o número inteiro zero.

Frações Equivalentes são aquelas que representam a mesma parte do inteiro. Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente pelos números naturais, teremos um conjunto infinito de frações que constitui um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada.

1/2
1/2
1/2
2/4
1/4 1/4
1/4 1/4
3/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
4/8
1/8 1/8 1/8 1/8
1/8 1/8 1/8 1/8


Propriedades fundamentais


A fração como uma classe de equivalência

A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante desta classe. Esta fração será denominada um número racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a 1/3, como:

  1   2   3   4   5   6  
Classe de 1/3 = {
 , 
 , 
 , 
 , 
 , 
 ,··· , }
  3   6   9   12   15   18  


Número Misto

Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador, podemos realizar uma operação de decomposição desta fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado número misto.

Transformação de uma fração imprópria em um número misto

17/4 = (16 + 1 ) /4 = 16/4 + 1/4 = 4 + 1/4

Transformação de um número misto em uma fração imprópria

4 + 1/4 = 16/4 + 1/4 = (16 + 1)/4 = 17/4


Simplificação de Frações

Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada.

O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração irredutível, isto é, uma fração para a qual o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e o Denominador devem ser primos entre si. Essa simplificação pode ser feita através dos processos de divisão sucessiva e pela fatoração.

A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fração por um mesmo número (fator comum ) até que ela se torne irredutível.

36 ÷2 18 ÷2 9 ÷3 3

 = 
 = 
 = 
60 ÷2 30 ÷2 15 ÷3 5

Respectivamente, dividimos os termos das frações por 2, 2 e 3.

Observação: Outra maneira de divisão das frações é obter o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador e simplificar a fração diretamente por esse valor.

Exemplo: Simplificar a fração 54/72, usando o método do Máximo Divisor Comum.

Como MDC(54,72) = 18, então 54 : 18 = 3 e 72 : 18 = 4, logo:

54   3

 = 
72   4


Comparação de duas frações


Divisão de frações

Vamos considerar inicialmente a divisão D de duas frações:

  1  2
D=
÷
  2  3

O modo mais fácil que conheço para explicar esta divisao é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:

  1  2  3  4  3
D=
÷
=
÷
=
  2  3  6  6  4

Observamos que a fração 1/2 é equivalente a 3/6 e a fração 2/3 é equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.

3/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
4/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6

Realizar a divisão entre dois números A e B fracionários ou não, é o mesmo que procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?

No desenho, observamos que os numeradores dessas frações estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.

Temos a impressão que este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:

 1  2  1  3  3
D=
÷
=
×
=
  2  3  2  2  4

Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo número real c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:

 a  c  a  d  a.d
D=
÷
=
×
=
  b  d  b  c  b.c


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Construída por Patrícia E. Silva e Ulysses Sodré
Atualizada em: 10/02/2001.

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