Projeto MatWeb(108a): Razoes e Proporcoes

Projeto
MatWeb
Ensino Fundamental (108a)
Razões e Proporções

Razões

A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:

A
B

Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:

12
3
 = 4

enquanto que a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:

3
6
 = 1
2
 = 0,5

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:

A
B
 = A / B

Exemplo: Consideremos a situação apresentada na tabela abaixo.

Líquido S1 S2 S3  S4
Suco concentrado  3  6  8  30
Água  8 16 32  80
Suco pronto 11 22 40 110

Na situação S1, para cada 3 litros de suco concentrado coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.
Na situação S2, para cada 6 litros de suco concentrado coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.

Exemplo: Numa partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10. Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos.

10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.


Proporções

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

A
B
 = C
D

Notas
históricas
A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.


Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção:

A
B
 = C
D

os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A . D = B . C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:

3
4
 = 6
8

Exercício: Determinar o valor de X para que a razão x/3 esteja em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

X
3
 = 4
6

É fácil ver que X=2.


Razões e Proporções de Segmentos

Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.

A________B                   m(AB)=2 cm
C ______________ D   m(CD)=6 cm

Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.

m(AB)
m(CD)
 = 2
6
 = 1
3

Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 3 ou que CD está para AB na razão de 3 para 1.


Polígonos Semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

Exemplo: Consideremos os triângulos ABC e RST.

Observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.

Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :

ABC ~ DEF


Figuras Semelhantes

Dizemos que duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outras. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.

As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.

Exemplo: Nos triângulos

observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2

Dizemos, então, que as figuras (triângulos) ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:

ABC ~ DEF

Exemplo: Apresentamos o mapa do Brasil em duas escalas diferentes.

Observamos que os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.


Aplicações práticas das razões

Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.


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Construído por Desirée F. Balielo e Ulysses Sodré
Atualizada em: Thursday, September 14, 2000 10:36 PM.

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