Projeto MatWeb(109): Expressoes Algebricas ProjetoMatWeb Ensino Fundamental (109) Expressões algébricas Utilidade Expr. algébricas Elementos históricos Expressões Numéricas Expressões algébricas Prioridade das operações Exemplos práticos Monômios e polinômios Identificando expr. algébricas Valor numérico expr.algébrica A regra dos sinais (X e ÷) Regras de potenciação Eliminação de parênteses Operações expr. algébricas Alguns Produtos notáveis A importância das expressões algébricas No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas. Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta. Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante. Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T. As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas. Expressão algébricaObjeto matemáticoFigura A = b x hÁrea do retângulo A = b x h / 2Área do triângulo P = 4 aPerímetro do quadrado Elementos históricos Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos. O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico. Expressões Numéricas São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Exemplos a = 7 + 5 + 4 b = 5 + 20 - 87 c = (6 + 8) - 10 d = (5 x 4) + 15 Expressões algébricas São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Exemplos A = 2a + 7b B = (3c + 4) - 5 C = 23c + 4 As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico. Prioridade das operações numa expressão algébrica Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem: Potenciação ou Radiciação Multiplicação ou Divisão Adição ou Subtração Observações: Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves. A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto . ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos. Exemplos: Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim P = 2(5) + 10 P = 10 + 10 P = 20 Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos: A = 2(9) + 10 A = 18 + 10 A = 28 Quando A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28. Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo: X = 4.(5) + 2 + 7 - 7 X = 20 + 2 - 0 X = 22 Quando A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, é igual a 22. Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C=-2 e D=1. Então: Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2) Y = 18 + 2 + 9 + 1 -16 Y = 30 -16 Y = 14 Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14. Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico. Exemplos práticos Lembrando-se que o triângulo eqüilátero é aquele que possui os três lados congruentes (mesma medida), calcular o perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm. Sugestão: O perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a. P = a + a + a = 3a P = 3 x 5 cm P = 15 cm Calcular a área do quadrado cujo lado mede 7 cm. Sugestão: A expressão algébrica da área do quadrado de lado L é: A = L x L = L2. A = L x L A = 7 x 7 A = 49 cm2 Observação: Se mudarmos o valor do lado para L=8 cm, o valor da área mudará. A = L x L A = 8 x 8 A = 64 cm2 Exercícios: Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo: Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos: O dobro desse número O sucessor desse número O antecessor desse número (se existir) A terça parte desse número somado com seu sucessor Como caso particular do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor de cada expressão. Calcular a área do trapézio ilustrado na figura ao lado, sabendo-se que esta área é dada pela (fórmula) expressão algébrica: Área = (B + b) x h / 2 Monômios e polinômios São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela: Nome No. determos Exemplo monômio um m(x,y) = 3 xy binômio dois b(x,y) = 6 x2y - 7y trinômio três f(x) = a x2 + bx + c polinômio vários p(x)=aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an Identificação das expressões algébricas Muitas vezes as expressões algébricas aparecem na forma: 3x2y onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como: p(x,y) = 3x2y para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y. Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática. Valor numérico de uma expressão algébrica identificada É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos. Exemplo: Se p(x,y)=3x2y, então para x=7 e y=2 temos que: p(7,2) = 3 . 72. 2 = 294 Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico: p(-1,5) = 3 . (-1)2. 5 = 3 · 5 = 15 mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos: p(7,2) = 3 . (-7)2. 2 = 294 A regra dos sinais (multiplicação ou divisão) (+1) × (+1) = +1 (+1) × ( -1) = -1 ( -1) × (+1) = -1 ( -1) × ( -1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1 (+1) ÷ ( -1) = -1 ( -1) ÷ (+1) = -1 ( -1) ÷ ( -1) = +1 Regras de potenciação Para todos x e y em R-{0} e m e n números inteiros, tem-se que: Propriedades Alguns exemplos xo = 1(x diferente de zero) 5o = 1 xm xn = xm+n 52 . 54 = 56 xm ym = (xy)m 52 32 = 152 xm ÷ xn = xm-n 520 ÷ 54 = 516 xm ÷ ym = (x/y)m 52 ÷ 32 = (5/3)2 (xm)n=xmn (53)2 = 1252 = 15625 = 56 xm÷n = (xm)1/n 53÷2 = (53)1/2 = 1251/2 x-m = 1 ÷ xm 5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125 x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n 5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2 = 1 ÷ (125)1/2 Eliminação de parênteses em Monômios Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Observação: Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo. Exemplo: A = -(4x) + (-7x) = -4x - 7x = -11x B = -(4x) + (+7x) = -4x + 7x = 3x C = +(4x) + (-7x) = 4x - 7x = - 3x D = +(4x) + (+7x) = 4x + 7x = 11x Operações com expressões algébricas de Monômios Adição ou Subtração de Monômios Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações. Exemplo: A = -(4x) + (-7x) = -4x - 7x = -11x B = -(4x) + (+7x) = -4x + 7x = 3x C = +(4x) + (-7x) = 4x - 7x = -3x D = +(4x) + (+7x) = 4x + 7x = 11x Multiplicação de Monômios Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada: Exemplo: A = -(4x2y).(-2xy) = + 8 x3y2 B = -(4x2y).(+2xy) = - 8 x3y2 C = +(4x2y).(-2xy) = - 8 x3y2 D = +(4x2y).(+2xy) = + 8 x3y2 Divisão de Monômios Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada: Exemplo: A = -(4x2y)÷(-2xy) = +2 x = 2x B = -(4x2y)÷(+2xy) = -2 x C = +(4x2y)÷(-2xy) = -2 x D = +(4x2y)÷(+2xy) = +2 x = 2x Potenciação de Monômios Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as literais e escrever a resposta de uma forma simplificada: Exemplo: A = (+4x2y)3 = 43 x2y x2y x2y = 256 x6 y3 B =(-4x2y)3 = -43 x2y x2y x2y = -256 x6 y3 Alguns Produtos notáveis No link Produtos Notáveis (33 identidades), existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes. Quadrado da soma de dois termos Sabemos que x2=x.x, y2=y.y, mas não é verdade que x2 + y2 = (x+y)2 a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é: (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números. Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3: x + y X x + y ------------------- x y + y2 x2 + x y ------------------- x2 + 2xy + y2 Compareasoperações 10 + 3 X 10 + 3 ------------------- 30 + 9 100 + 30 ------------------- 100 + 60 + 9 (1o + 2o)2 = (1o)2 +2 (1o)(2o) + (2o)2 Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo: (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 Exemplos: (x + 8)2 = x2 + 2.x.8 + 82 = x2 + 16x + 64 (3k + y)2 = (3k)2 + 2.3k.y + y2 = 9k2 + 6ky + y2 (2x/5 + 1)2 = (2x/5)2 +2.(2x/5).1 + 12 = 4x2/25 + 4x/5 + 1 Exercícios: Desenvolver as expressões algébricas. (a + 8)2 = (4y + 2)2 = (9k/8 + 3)2 = Pensando um pouco: Se (x + 7)2 = x2 + [ ] + 49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]? Se (5a + [ ])2 = 25a2 + 30a + [ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]? Se ([ ] + 9)2 = x2 + [ ] + 81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]? Se (4b + [ ])2 = l6b2 + 36b + [ ], substitua os [ ] por algo coerente. Se (c + 8)2 = c2 + [?] + [??], substitua os [ ] por algo coerente. Quadrado da diferença de dois termos Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo: (x-y)2 = x2 - 2xy + y2 Exemplos: (x - 4)2 = x2 - 2.x.4 + 42 = x2 - 8x + 16 (9 - k)2 = 92 - 2.9.k + k2 = 81 - 18k + k2 (2/y - x)2 = (2/y)2 - 2.(2/y).x + x2 Exercícios: Complete o que falta. (5x - 9)2 = (k - 6s)2 = (p - [ ])2 = p2 - 10p + [ ] Produto da soma pela diferença de dois termos Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos. x + y X x - y ------------------- -xy - y2 x2 + xy ------------------- x2 - y2 Compare as operações 10 + 3 X 10 - 3 ------------------- -30 - 9 100 + 30 ------------------- 100 - 9 (1o)2 - (2o)2 = (1o+2o) . (1o-2o) Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y. (x+y)(x-y) = x2 - y2 Exemplo: (x + 2)(x - 2) = x2 - 2x + 2x - 4 = x2 - 4 (g - 8)(g + 8) = g2 - 8g + 8g - 64 = g2- 64 (k - 20)(k + 20) = k2 - 400 (9 - z)(9 + z) = 81 - z2 Exercícios: Complete. (6 - m)(6 + m) = (b + 6)(b - 6) = (6 + b)(b - 6) = (6 + b)(6 - b) = (100 - u)(100 + u) = (u - 100)(100 + u) = Construída por Valdirene M. Santos e Ulysses Sodré Faça sua escolha! Interaula Clube Download Grátis Acessar sua conta CDs de Matemática CDs de Português
No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.
Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.
As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.
Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.
O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.
São expressões matemáticas que envolvem operações com números.
Exemplos
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
Observações:
Exemplos:
P = 2(5) + 10 P = 10 + 10 P = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2(9) + 10 A = 18 + 10 A = 28
Quando A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
X = 4.(5) + 2 + 7 - 7 X = 20 + 2 - 0 X = 22
Quando A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, é igual a 22.
Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2) Y = 18 + 2 + 9 + 1 -16 Y = 30 -16 Y = 14
Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
Sugestão: O perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a.
P = a + a + a = 3a P = 3 x 5 cm P = 15 cm
Sugestão: A expressão algébrica da área do quadrado de lado L é: A = L x L = L2.
A = L x L A = 7 x 7 A = 49 cm2
Observação: Se mudarmos o valor do lado para L=8 cm, o valor da área mudará.
A = L x L A = 8 x 8 A = 64 cm2
Exercícios:
São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:
Muitas vezes as expressões algébricas aparecem na forma:
onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:
para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.
Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.
É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.
Exemplo: Se p(x,y)=3x2y, então para x=7 e y=2 temos que:
Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:
mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:
Para todos x e y em R-{0} e m e n números inteiros, tem-se que:
Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais.
Observação: Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.
Exemplo:
No link Produtos Notáveis (33 identidades), existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes.
Sabemos que x2=x.x, y2=y.y, mas não é verdade que
a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:
Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.
Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:
Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:
Exercícios: Desenvolver as expressões algébricas.
Pensando um pouco:
Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:
Exercícios: Complete o que falta.
Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.
Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.
Exercícios: Complete.
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