Projeto MatWeb(109): Expressoes Algebricas

Projeto
MatWeb
Ensino Fundamental (109)
Expressões algébricas

A importância das expressões algébricas

No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.

Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.

Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.

Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.

As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.

Expressão algébricaObjeto matemáticoFigura
A = b x hÁrea do retângulo
A = b x h / 2Área do triângulo
P = 4 aPerímetro do quadrado


Elementos históricos

Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.

O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.


Expressões Numéricas

São expressões matemáticas que envolvem operações com números.

Exemplos


Expressões algébricas

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.

Exemplos

As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.


Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

  1. Potenciação ou Radiciação
  2. Multiplicação ou Divisão
  3. Adição ou Subtração

Observações:

Exemplos:

  1. Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
    P = 2(5) + 10
    P = 10 + 10
    P = 20

    Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:

    A = 2(9) + 10
    A = 18 + 10
    A = 28

    Quando A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.

  2. Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo:

    X = 4.(5) + 2 + 7 - 7
    X = 20 + 2 - 0
    X = 22

    Quando A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, é igual a 22.

  3. Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C=-2 e D=1. Então:

    Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2)
    Y = 18 + 2 + 9 + 1 -16
    Y = 30 -16
    Y = 14

    Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.

Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.


Exemplos práticos


Exercícios:

  1. Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo:

  2. Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos:

    • O dobro desse número
    • O sucessor desse número
    • O antecessor desse número (se existir)
    • A terça parte desse número somado com seu sucessor

  3. Como caso particular do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor de cada expressão.

  4. Calcular a área do trapézio ilustrado na figura ao lado, sabendo-se que esta área é dada pela (fórmula) expressão algébrica:

    Área = (B + b) x h / 2


Monômios e polinômios

São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:

Nome No. de
termos
Exemplo
monômio um m(x,y) = 3 xy
binômio dois b(x,y) = 6 x2y - 7y
trinômio três f(x) = a x2 + bx + c
polinômio vários p(x)=aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an


Identificação das expressões algébricas

Muitas vezes as expressões algébricas aparecem na forma:

3x2y

onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:

p(x,y) = 3x2y

para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.

Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.


Valor numérico de uma expressão algébrica identificada

É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.

Exemplo: Se p(x,y)=3x2y, então para x=7 e y=2 temos que:

p(7,2) = 3 . 72. 2 = 294

Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:

p(-1,5) = 3 . (-1)2. 5 = 3 · 5 = 15

mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:

p(7,2) = 3 . (-7)2. 2 = 294


A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)

(+1) × (+1) = +1
(+1) × ( -1) =  -1
( -1) × (+1) =  -1
( -1) × ( -1) = +1
(+1) ÷ (+1) = +1
(+1) ÷ ( -1) =  -1
( -1) ÷ (+1) =  -1
( -1) ÷ ( -1) = +1


Regras de potenciação

Para todos x e y em R-{0} e m e n números inteiros, tem-se que:

Propriedades Alguns exemplos
xo = 1(x diferente de zero) 5o = 1
xm xn = xm+n 52 . 54 = 56
xm ym = (xy)m 52 32 = 152
xm ÷ xn = xm-n 520 ÷ 54 = 516
xm ÷ ym = (x/y)m 52 ÷ 32 = (5/3)2
(xm)n=xmn (53)2 = 1252 = 15625 = 56
xm÷n = (xm)1/n 53÷2 = (53)1/2 = 1251/2
x-m = 1 ÷ xm 5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125
x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n 5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2 = 1 ÷ (125)1/2


Eliminação de parênteses em Monômios

Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais.

Observação: Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.

Exemplo:


Operações com expressões algébricas de Monômios


  1. Adição ou Subtração de Monômios
    Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.

    Exemplo:

    • A = -(4x) + (-7x) = -4x - 7x = -11x
    • B = -(4x) + (+7x) = -4x + 7x = 3x
    • C = +(4x) + (-7x) = 4x - 7x = -3x
    • D = +(4x) + (+7x) = 4x + 7x = 11x


  2. Multiplicação de Monômios
    Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

    Exemplo:

    • A = -(4x2y).(-2xy) = + 8 x3y2
    • B = -(4x2y).(+2xy) = - 8 x3y2
    • C = +(4x2y).(-2xy) = - 8 x3y2
    • D = +(4x2y).(+2xy) = + 8 x3y2


  3. Divisão de Monômios
    Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

    Exemplo:

    • A = -(4x2y)÷(-2xy) = +2 x = 2x
    • B = -(4x2y)÷(+2xy) = -2 x
    • C = +(4x2y)÷(-2xy) = -2 x
    • D = +(4x2y)÷(+2xy) = +2 x = 2x


  4. Potenciação de Monômios
    Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:

    Exemplo:

    • A = (+4x2y)3 = 43 x2y x2y x2y = 256 x6 y3
    • B =(-4x2y)3 = -43 x2y x2y x2y = -256 x6 y3


Alguns Produtos notáveis

No link Produtos Notáveis (33 identidades), existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes.


  1. Quadrado da soma de dois termos

    Sabemos que x2=x.x, y2=y.y, mas não é verdade que

    x2 + y2 = (x+y)2

    a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:

    (x+y)2 = x2 + 2xy + y2

    Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.

    Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:

      
    x
    +
    y
    X  
    x
    +
    y
    -------------------
       
    x y
    +
    y2
    x2
    +
    x y
       
    -------------------
    x2
    +
    2xy
    +
    y2
    Compare
    as
    operações
      
    10
    +
    3
    X  
    10
    +
    3
    -------------------
       
    30
    +
    9
    100
    +
    30
      
    -------------------
    100
    +
    60
    +
    9
    (1o + 2o)2 = (1o)2 +2 (1o)(2o) + (2o)2

    Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:

    (x+y)2 = x2 + 2xy + y2

    Exemplos:

    • (x + 8)2 = x2 + 2.x.8 + 82 = x2 + 16x + 64
    • (3k + y)2 = (3k)2 + 2.3k.y + y2 = 9k2 + 6ky + y2
    • (2x/5 + 1)2 = (2x/5)2 +2.(2x/5).1 + 12 = 4x2/25 + 4x/5 + 1

    Exercícios: Desenvolver as expressões algébricas.

    • (a + 8)2 =
    • (4y + 2)2 =
    • (9k/8 + 3)2 =

    Pensando um pouco:

    • Se (x + 7)2 = x2 + [ ] + 49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]?
    • Se (5a + [ ])2 = 25a2 + 30a + [ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
    • Se ([ ] + 9)2 = x2 + [ ] + 81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
    • Se (4b + [ ])2 = l6b2 + 36b + [ ], substitua os [ ] por algo coerente.
    • Se (c + 8)2 = c2 + [?] + [??], substitua os [ ] por algo coerente.


  2. Quadrado da diferença de dois termos

    Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:

    (x-y)2 = x2 - 2xy + y2

    Exemplos:

    • (x - 4)2 = x2 - 2.x.4 + 42 = x2 - 8x + 16
    • (9 - k)2 = 92 - 2.9.k + k2 = 81 - 18k + k2
    • (2/y - x)2 = (2/y)2 - 2.(2/y).x + x2

    Exercícios: Complete o que falta.

    • (5x - 9)2 =
    • (k - 6s)2 =
    • (p - [ ])2 = p2 - 10p + [ ]


  3. Produto da soma pela diferença de dois termos

    Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.

      
    x
    +
    y
    X  
    x
    -
    y
    -------------------
       
    -xy
    -
    y2
    x2
    +
    xy
       
    -------------------
    x2
     
    -
    y2
    Compare
    as
    operações
      
    10
    +
    3
    X  
    10
    -
    3
    -------------------
       
    -30
    -
    9
    100
    +
    30
       
    -------------------
    100
     
     
    -
    9
    (1o)2 - (2o)2 = (1o+2o) . (1o-2o)

    Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.

    (x+y)(x-y) = x2 - y2

    Exemplo:

    • (x + 2)(x - 2) = x2 - 2x + 2x - 4 = x2 - 4
    • (g - 8)(g + 8) = g2 - 8g + 8g - 64 = g2- 64
    • (k - 20)(k + 20) = k2 - 400
    • (9 - z)(9 + z) = 81 - z2

    Exercícios: Complete.

    • (6 - m)(6 + m) =
    • (b + 6)(b - 6) =
    • (6 + b)(b - 6) =
    • (6 + b)(6 - b) =
    • (100 - u)(100 + u) =
    • (u - 100)(100 + u) =


Construída por Valdirene M. Santos e Ulysses Sodré

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