Matematica Essencial - Projeto MatWeb: Equacoes do segundo grau

Projeto
MatWeb
Ensino Fundamental (111a)
Equações do 2o. grau

Introdução às equações algébricas

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.

Exemplos:

Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela está escrita na forma:

ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0

onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.

Exemplo: A equação:

4 x2 + 3x + 2 = 0

tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.


A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

a x2 + b x + c = 0

com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

x2 + (b/a) x + c/a = 0

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

x2 + (b/a) x = -c/a

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:

x2 + (b/a) x + (b/2a)2 = -c/a + (b/2a)2

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

[x+(b/2a)]2 = (b2 - 4ac) / 4a2

Notação Uso a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x onde x é não negativo. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, uma vez que o consórcio W3C ainda não entrou em acordo com os produtores de browsers para que possamos apresentar notações matemáticas na Web de uma forma fácil. A promessa foi feita para março de 1998, mas até hoje nada vimos de efetivo.

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

x + (b/2a) = + R[(b2-4ac) / 4a2]
ou seja
x + (b/2a) = - R[(b2-4ac) / 4a2]

que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:

contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:

x' = -b/2a + R[b2-4ac] /2a
x" = -b/2a - R[b2-4ac] /2a

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

onde D (às vezes se usa também a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:

D = b2 - 4ac


Equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau na incógnita x é uma equação do tipo:

a x2 + b x + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.


Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:


Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se o coeficientes b ou c são nulos, juntos ou separadamente. Mesmo na equação incompleta o coeficiente a é sempre diferente de zero.

Exemplos:


Resolução de equações incompletas do 2o. grau


Exemplos gerais

Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.


Resolução de equações completas do 2o. grau

Como vimos, uma equação do tipo:

a x2 + b x + c = 0

é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula de Bhaskara, que também pode ser escrita na forma:

onde D=b2-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:

x' = (-b + R[D])/2a
x" = (-b - R[D])/2a

Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau e analisando os tipos de raízes da equação.

Equação a b c Delta Tipos de raízes
x2 - 6 x + 8 = 0 1-684 reais e diferentes
x2 - 10x + 25 = 0          
x2 + 2 x + 7 = 0          
x2 + 2 x + 1 = 0          
x2 + 2 x = 0          


O uso da fórmula de Bhaskara

Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes existe o link Números Complexos.

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x2 - 5 x + 6 = 0


Exercícios
  1. Calcular o discriminante de cada equação e analise as raízes em cada caso:
    • x2 + 9 x + 8 = 0
    • 9 x2 - 24 x + 16 = 0
    • x2 - 2 x + 4 = 0
    • 3 x2 - 15 x + 12 = 0
    • 10 x2 + 72 x - 64 = 0

  2. Resolva as equações:
    • x2 + 6 x + 9 = 0
    • 3 x2 - x + 3 = 0
    • 2 x2 - 2 x - 12 = 0
    • 3 x2 - 10 x + 3 = 0


Equações fracionárias do segundo grau

São equações do 2o. grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:


Equações bi-quadradas

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:

a x4 + b x2 + c = 0

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:

y = x2

para gerar

a y2 + b y + c = 0

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez

x2 = y'
x2 = y"

e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

Exemplos:


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