Projeto MatWeb (Geometria Espacial): Vetores no Espaco

Projeto MatWeb Geometria Espacial
Vetores no espaço tridimensional

A conexão entre vetores em R2 e R3

Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R2 e no espaço R3. Na verdade, o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre realizado da mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que existem em R3.



Definição de Vetor

Um vetor (geométrico) no espaço R3 é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade. Esta classe de objetos é representada por um segmento de reta desta família (representante) que tem as mesmas características.

O representante escolhido, quase sempre é o vetor v cuja origem é (0,0,0) e extremidade é o terno ordenado (a,b,c) do espaço R3. Denotamos este vetor por: v=(a,b,c).

Quando a origem do vetor não é a origem do sistema R3, realizamos a diferença entre a extremidade e a origem do vetor, como no exemplo que segue.

Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2,3) e extremidade em (7,12,15), ele é dado por v=(6,10,12), pois:

v = (7,12,15) - (1,2,3) = (6,10,12)

Observação: Existe uma definição mais ampla do conceito de vetor (não necessariamente geométrica) que envolve uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.


Soma de vetores

Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3)


Propriedades da soma de vetores


Aplicações geométricas


Diferença de vetores

Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a diferença entre v e w, por:

v - w = (v1-w1,v2-w2,v3-w3)

Exercício: Dados v=(1,3,4) e w=(1,8,12), construa no espaço os vetores v, w, -v, -w, v + w e v - w.


Produto de um escalar por um vetor

Se v=(a, b, c) e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, como:

k.v = (ka,kb,kc)


Propriedades do produto de escalares por vetores

Quaisquer que sejam os escalares k, k1 e k2 e os vetores v e w vetores:

  1. 1 v = v
  2. (k1 k2)v = k1 (k2 v) = k2 (k1 v)
  3. k1 v = k2 v e v é não nulo, então k1 = k2.
  4. k (v + w) = k v + k w
  5. (k1 + k2)v = k1 v + k2 v


Módulo de um vetor

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b,c) é definido por:


Vetores Unitários em R3

Um vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Observação(base canônica de R3): Existem 3 importantíssimos vetores unitários simples no espaço R3:

i = (1,0,0);    j = (0,1,0);    k = (0,0,1)

Estes três vetores formam a base canônica para o espaço R3, o que significa que qualquer vetor no espaço R3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então:

v = (a,b,c) = a i + b j + c k

Observação(Construção de um vetor unitário): Para obter um vetor unitário com a mesma direção e sentido que um vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

u = v / |v|

Observação(Construção de um vetor paralelo): Para construir um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar v multiplicado por um escalar, isto é:

w = k v

Observação: As três projeções ortogonais do vetor v=(a,b,c) sobre os planos X=0, Y=0 e Z=0, são respectivamente, dadas por:

vx=(0,b,c);     vy=(a,0,c);     vz=(a,b,0)

Exercício: Quais são os vetores que representam as projeções ortogonais do vetor v=(3,4,12)? Quais são os módulos de todos estes vetores? Esboce um gráfico com estes vetores.


Produto escalar

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto escalar ou produto interno entre v e w, como o número real obtido por:

v.w = v1w1 + v2w2 + v3w3

Exemplos: O produto escalar entre v=(1,2,5) e w=(2,-7,12) é:

v.w = 1.2 + 2.(-7) + 5.12 = 48

O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) é:

v.w = 2.(-5) + 5.2 + 8.0 = 0

Exercício: Faça um gráfico, com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v e w do último exemplo.


Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o escalar k:

  1. v.w = w.v
  2. v.v = |v| |v| = |v|2
  3. u.(v + w) = u.v + u.w
  4. (k v).w = v.(k w) = k (v.w)
  5. |k v| = |k| |v|
  6. |u.v| < |u| |v| (desigualdade de Schwarz)
  7. |u + v| < |u| + |v|(desigualdade triangular)


Ângulo entre dois vetores (Produto Escalar)

O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:

v.w = |v| |w| cos(T)

onde T é o ângulo formado pelos vetores v e w.

Com esta última definição, podemos obter o ângulo T (pertencente ao intervalo [0,]) entre dois vetores v e w, através de:

Exercício: Realizar uma análise acerca do produto escalar de dois vetores, quando T=0, T=pi/2 e T=pi.

Exercício: Determinar o ângulo entre os vetores v=(1,1,0) e w=(1,1,1). Nunca se esqueça de construir um gráfico com esses objetos matemáticos.


Vetores ortogonais

Dois vetores v e w são ortogonais se:

v.w = 0

Exercício: Dado o vetor v=(2,3,7), quais e quantos são os vetores ortogonais a v no espaço R3? Construa geometricamente esta situação.


Produto vetorial

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto vetorial (produto exterior) entre v e w, como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado como se fosse:

Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6), o produto vetorial é dado por vxw = -3i +6j -3k = (-3,6,-3), obtido a partir do "determinante":

Observação: Pelo exemplo acima, observamos que o produto vetorial é um vetor em R3.

Tomando v=(1,0,0) e w=(0,1,0), que estão no plano do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será vxw=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste plano, daí a razão deste produto ser denominado exterior. Na verdade, o produto vetorial v x w é um vetor que sempre será ortogonal a v e também a w, isto é, o produto vetorial será ortogonal ao plano que contem os dois vetores v e w.


Propriedades do Produto Vetorial

  1. vxw = - wxv
  2. ux(v + w) = uxv + uxw
  3. k(vxw) = (k v)xw = vx(k w)
  4. ixi = jxj = kxk = 0
  5. ixj = k, jxk = i, kxi = j
  6. Se v e w são não nulos e vxw = 0, então v e w são paralelos.


Ângulo entre dois vetores (produto vetorial)

O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:

v x w = |v| |w| sen(T) U

onde T é o ângulo formado pelos vetores v e w, e U é um vetor unitário que é paralelo ao produto vetorial v x w, logo U é perpendicular a v e também a w.

Tomando o módulo em ambos os lados da igualdade acima, obteremos:

|vxw| = |v| |w| sen(T)

Isto significa que com esta última definição de produto vetorial, podemos obter o ângulo T entre dois vetores v e w, através de:

sendo que T é um número real pertencente ao intervalo [0,pi].


Aplicações do Produto Vetorial


Produto misto

Dados os vetores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto misto entre u, v e w, como, o número real obtido a partir do determinante:


Aplicações do Produto Misto


Página Construída por Ulysses Sodré.

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