Projeto MatWeb (Geometria Plana): Circulo, Circunferencia e Arcos

Projeto MatWeb Geometria Plana
Círculo, Circunferência e Arcos

A importância da circunferência

A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Quimica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.


Circunferência

A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência.


Círculo

Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.


Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo


Raio, corda e diâmetro


Posições relativas de uma reta e uma circunferência

Reta secante
Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contem uma corda.

Reta tangente
Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o xonto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.

Observações importantes:


Propriedades de secantes e de tangentes


Posições relativas de duas circunferências

Reta tangente comum
Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa.

Tangente comum internaTangente comum externa

Quando traçamos uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.

Circunferências internas
Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os seus pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.

Circunferências concêntricas
Duas ou mais circunferências com o mesmo centro mas com raios diferentes são circunferências concêntricas.

Circunferências tangentes
Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência.

Circunferências tangentes
uma externa à outra
Circunferências tangentes
uma interna à outra

As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.

Circunferências secantes
Duas circunferências são secantes se possuem somente dois pontos distintos em comum.


Segmentos tangentes

Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são congruentes.


Polígonos circunscritos

Um polígono é circunscrito a uma circunferência se possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.

Quadrilátero circunscritoTriângulo circunscrito

Propriedade dos quadriláteros circunscritos a uma circunferência: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.


Arco de circunferência e ângulo central

Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela definição de circunferência temos que OP = OQ = OR = ... e isto indica que os raios de uma circunferência são segmentos congruentes.

Circunferências congruentes
São circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número.

Ângulo central
O ângulo central de uma circunferência é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura ao lado o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.

Arco menor
É um arco que reune dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.

Arco maior
É um arco que reune dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior.

Semicircunferência
É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra.

Observações: Em uma circunferência dada, temos que:

Observação: Se em uma circunferência, um ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco menor, então:

m(DE) + m(EF) = m(DF)

mas se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior, então:

m(DE) + m(EF) = m(DEF)

Note que apenas esta segunda relação faz sentido para as duas figuras apresentadas.


Propriedades de arcos e cordas

Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar.

Observação: Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco.

Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida representa a distância entre o ponto e a reta.



Polígonos inscritos na circunferência

Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice do polígono é um ponto da circunferência e neste caso dizemos que a circunferência é circunscrita ao polígono.

Propriedade dos quadriláteros inscritos em uma circunferência: Se um quadrilátero é inscrito em uma circunferência então os ângulos opostos são suplementares, isto é a soma dos ângulos opostos é 180o.

 + Π= 180o
Ê + Ô = 180o
e além disso:
 + Ê + Î + Ô = 360o


Ângulos inscritos

Ângulo inscrito relativo a uma circunferência é um ângulo que tem o vértice na circunferência e os lados são secantes a ela. Na figura ao lado o ângulo AVB é inscrito e AB é o arco correspondente.

Medida do ângulo inscrito
A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da medida do ângulo central correspondente, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto é:

m = (1/2) n = (1/2) AB

Ângulo reto inscrito em uma circunferência
O arco correspondente a um ângulo reto inscrito em uma circunferência é uma semi-circunferência. Se um triângulo inscrito numa semi-circunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo e esse diâmetro é a hipotenusa do triângulo.


Ângulo semi-inscrito e arco capaz

Ângulo semi-inscrito
Ângulo semi-inscrito ou ângulo de segmento é um ângulo que possui um dos lados tangente à circunferência, o outro lado secante à circunferência e o vértice na circunferência. Este ângulo determina um arco (menor) sobre a circunferência.

Exemplo: No gráfico ao lado, a reta secante passa pelos pontos A e B e o arco correspondente ao ângulo semi-inscrito BAC é o arco AXB onde X é um ponto sobre o arco.

Observação: A medida de um ângulo semi-inscrito é a metade da medida do arco interceptado. Na figura o ângulo BÂC é igual a metade da medida do arco AXB.
Arco capaz
Dado um segmento AB e um ângulo k, pergunta-se: Qual é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que contem os vértices dos ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz.

Construção do arco capaz com régua e compasso:

  1. Traçar o segmento de reta AB;
  2. Pelo ponto A, traçar uma reta t que forma com o segmento AB um ângulo congruente a k (mesma medida que o ângulo k);
  3. Traçar uma reta p perpendicular à reta t passando pelo ponto A;
  4. Determinar o ponto médio M do segmento AB;
  5. Traçar a reta mediatriz m ao segmento AB;
  6. Obter o ponto O que é a interseção entre a reta p e a mediatriz m.
  7. Com o compasso centrado no ponto O e abertura OA, traçar o arco de circunferência localizado acima do segmento AB.
  8. O arco que aparece em vermelho no gráfico ao lado é o arco capaz.

Observação: Todo ângulo inscrito no arco capaz AB, com lados passando pelos pontos A e B são congruentes e isto significa que, o segmento de reta AB é sempre visto sob o mesmo ângulo de visão se o vértice deste ângulo está localizado no arco capaz. Observando a figura ao lado, os ângulos que passam por A e B e têm vértices em V1, V2, V3, ..., são todos congruentes, isto é, têm a mesma medida.

Na figura à esquerda, o arco capaz do ângulo semi-inscrito m de vértice em A é o arco AVB. Se n é ângulo central então:

medida(arco AB) = 2 medida(m) = medida(n)


Outras propriedades com cordas e segmentos

Na sequência, apresentaremos alguns resultados que fazem a conexão entre segmentos e cordas, que não são evidentes à primeira vista. Se a reta AB é tangente à circunferência no ponto B então o segmento AB é o segmento tangente de A até a circunferência. Se a reta RT é uma reta secante que intercepta a circunferência em S e T e R é um ponto exterior a circunferência, então RT é um segmento secante e RS é a parte externa do segmento secante.
Na sequência, usaremos a notação (PZ) para representar a medida do segmento PZ, em função das dificuldades que a linguagem HTML proporciona para a apresentação de materiais de Matemática.

Exemplo com potência de pontos: Consideremos a figura ao lado com as cordas AB e CD que se interceptam no ponto P, onde (AP)=5 cm, (PB)=8 cm, (CD)=14 cm. Iremos determinar a medida do segmento PD.
Tomando (PD)=x, poderemos escrever que (CP)=14-x e somente utilizaremos a unidade de medida no final. Assim:

(PD).(PC) = (PA).(PB)
assim:
x (14 - x) = 5 . 8
14x - x2 = 40
x2 -14x +40 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau, obtemos:

x = 4    ou    x = 10

Se uma das partes do segmento medir 4 cm, a outra medirá 10 cm. Pela figura anexada, observamos que o segmento PD é maior que o segmento PC e assim concluímos que (PD)=10 cm e (PC)=4 cm.


Projeto MatWeb: Matemática pela Internet.
Página construída por Jader Otávio Dalto,
Sônia F. L. Tóffoli e Ulysses Sodré.

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