Projeto MatWeb (Geometria Plana): Exercicios de areas circulares

Projeto MatWeb Geometria Plana
Exercícios resolvidos de Áreas circulares

Notações:


  1. Calcular o comprimento da circunferência de raio igual a:

    1. r = 5 cm
    2. r = 7/2 cm
    3. r = 3k cm
    4. r = a/2 cm

    Resposta
    1. 10 pi cm
    2. 7 pi cm
    3. 9k pi cm
    4. a pi cm


  2. Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas?

    Resposta 96 pi metros


  3. Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma distância de 66 metros.

    Resposta r = 11/(2.pi) metros


  4. Dado um quadrado de perímetro 4k, calcular o raio da circunferência inscrita neste quadrado e também o raio da circunferência circunscrita neste quadrado.

    Resposta O lado do quadado mede k e o raio da circunferência inscrita é a metade do lado.

      r = k/2

    O raio da circunferência circunscrita é a metade da diagonal do quadrado de lado k;

      r2=2(k/2)2 = k2/2
      r = k.R[2]/2


  5. Em um plano coordenado, uma circunferência tem centro no ponto (2,1) e passa pelo ponto (5,-3). Calcular o comprimento da circunferência.

    Resposta O raio da circunferência é a distância entre o centro (2,1) e o ponto (5,-3). Pelo teorema de Pitágoras temos:

      r2 = (5 - 2)2 + (-3 - 1)2 = 9 + 16 = 25
      r=5

    O comprimento da circunferência é 2.5.pi = 10.pi unidades


  6. Calcular a área do círculo conhecendo-se o raio ou o diâmentro.

    1. r = 3 cm
    2. d = 3kR[2] cm
    3. r = 2R[3] cm
    4. d = 9 cm

    Resposta
    1. A = 9 pi cm2
    2. A = (1/2)9.k2 pi cm2
    3. A = 12 pi cm2
    4. A = 81/4 pi cm2


  7. Calcular a área da região limitada por duas circunferências concêntricas, uma com raio 10 cm e a outra com raio 6 cm.

    Resposta Na figura a região está pintada de verde e sua área é a área do círculo maior menos a área do círculo menor.

    Área = pi(R2 - r2) = pi(100 - 36) = 64 pi cm2


  8. Os comprimentos de duas circunferências tem razão 2:3. Qual é a razão entre as áreas das duas circunferências?

    Resposta A razão é 4:9


  9. Calcular a área de um círculo circunscrito em um triângulo equilátero de lados medindo 18 cm.

    Resposta Na figura ao lado, seja a o apótema, r o raio e h a altura do triângulo então;
    h = a + r
    182 = h2 + 92
    h = R[324 - 81] = R[243] = 9 R[3]

    r2 = 92 + (h-r)2
    r2 = 81 + h2 - 2.h.r + r2
    81 + 243 - 2.9 R[3].r = 0
    r = 18/R[3]

    Área do círculo = pi.r2 = 108 pi cm2


  10. A razão entre as áreas de dois círculos é 3:1. Qual é a área do círculo menor se a a área do círculo maior é 27 pi cm2.

    Resposta Área = 3 cm2


  11. Um jardim de formato circular com 6 metros de raio tem a metade de sua área removida para contenção de despesas. Para isto foi cortada uma borda de largura uniforme em toda a sua volta. Qual é a largura desta borda?

    Resposta Largura da borda = (6 - 3 R[2]) metros


  12. Um triângulo equilátero de perímetro igual a 18 cm está inscrito em uma circunferência. Calcular a área da região externa ao triângulo que está dentro da circunferência.

    Resposta A área da região é a área do círculo menos a área do triângulo. Se a é o apótema, r é o raio e h é a altura do triângulo, então h = a + r. Assim:
    62 = h2 + 32
    h = R[36 - 9] = R[27] = 3 R[3]
    r2 = 32 + (h-r)2
    9 + 27 - 2.3 R[3].r = 0
    r = 6/R[3]
    Área do círculo = pi.r2 = 12 pi cm2
    Área do triângulo = 6.h/2 = 6.3 R[3]/2 = 9 R[3] cm2
    Área do círculo - Área do triângulo = (12 pi - 9 R[3]) cm2


  13. Mostre que no hexágono regular o raio e o lado são congruentes.

    Dica Divida o hexágono em 6 triângulos com vértices no centro e mostre que eles são equiláteros.


  14. Dado um hexágono regular com área 48 R[3] cm2. Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito.

    Resposta Sejam r o raio, a o apótema, L o lado e p o perímetro do hexágono. Assim p = 6L e área do hexágono regular = a.p/2 = 3.a.L.
    3.a.L = 48 R[3]

    O apótema a do hexágono é a altura do triângulo equilátero, assim;
    a = (1/2).L.R[3]
    3 (1/2) L.R[3].L = 48 R[3]
    (3/2).L2 = 48
    L = 4R[2] cm

    No hexágono regular L=r e o raio do círculo inscrito é o apótema a e o raio do círculo circunscrito é o raio r do hexágono. Logo, a razão entre as áreas é:
             A1/A2 = a2/r2 = ((1/2).r.R[3] /r )2 = (R[3] / 2)2 = 3/4


  15. Dado um hexágono regular com área 48 k2 R[3] cm2. Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito.

    Resposta A razão entre suas áreas é igual a 3/4.


  16. As diagonais de um losango medem 18 cm e 24 cm. Qual é a área do círculo inscrito neste losango?

    Resposta Área = 296/25 pi cm2


  17. Na figura ao lado, calcular a área e o perímetro do setor circular, sendo que o raio da circunferência mede 12cm e o arco mede 60 graus.
    Resposta Área = m(AB).pi.r2/360 = 60.pi.122/360 = 24 pi cm2
    Perímetro = m(AB).2pi.r/360+2r = 60.2pi.12/360+24 = (4pi+24) cm


  18. Dada uma circunferência cujo raio mede 6 cm, calcular a área de um setor circular cujo arco A subjacente mede 120 graus.
    Resposta Área do setor = m(A).pi.r2/360 = 120.pi.62/360 =12 pi cm2


  19. Dada uma circunferência cujo raio mede 6 cm, calcular a área de um segmento circular cujo arco A=120 graus.
    Resposta Áreasetor = m(A).pi.r2/360 = 120.pi.62/360 =12 pi cm2
    Áreatriângulo = 6 R[3] 3/2 = 9 R[3] cm2
    Áreasegmento = Áreasetor - Áreatriângulo = (12 pi - 9R[3]) cm2


  20. Consideremos um triângulo equilátero cujo lado mede 2a. Ao traçar arcos de circunferências de raio a, centrados nos três vértices do triângulo, obtemos a região colorida como mostra a figura ao lado. Calcular a área desta região.
    Resposta A área desejada é a área do triângulo menos a soma das áreas dos três setores circulares.
    Seja 2a a medida do lado do triângulo, assim;
    Áreatriângulo = (2a)2R[3]/4 = a2R[3] u.a.
    Áreasetor circular = 60.pi.(a)2/360 = pi.a2/6 u.a.
    Áreadesejada = a2R[3] - 3.pi.a2/6 = a2(R[3] - pi/2) u.a.


  21. Em cada lado de um triângulo retângulo é traçada uma semicircunferência como mostra a figura. Mostre que a soma das áreas das lúnulas (pintadas de azul e verde) é igual a área do triângulo.
    Resposta a e b serão os catetos e c a hipotenusa do triângulo. Os semicírculos de raios a/2, b/2 e c/2, serão Sa, Sb e Sc. T será o triângulo.
    Soma da áreas brancas= área(Sc) - área(T)
    Áreas das lúnulas=área(Sa) + área(Sb)-Soma das áreas brancas.
    Áreas das lúnulas=área(Sa) + área(Sb)-área(Sc) + área(T)
    Área(Sc) = pi (c/2)2/2 = pi(a2+b2)/8
    Área(T) = a.b/2
    Soma das áreas brancas = pi(a2+b2)/8 - a.b/2
    Área(Sa) = pi(a/2)2/2 = pi.a2/8
    Área(Sb) = pi(b/2)2/2 = pi.b2/8
    Áreas das lúnulas = pi(a2+b2)/8-(pi(a2+b2)/8 -a.b/2)=a.b/2
    A soma das áreas das lúnulas é igual à área do triângulo.


  22. Semicircunferências são traçados sobre os lados de um quadrado de lados medindo 10 cm. Calcular a área das quatro pétalas pintada na figura ao lado.
    Resposta Se calcularmos a soma das áreas dos quatro semicículos teremos calculado a área do quadrado mais a área das quatro pétalas, assim basta fazermos a diferença entre a soma das áreas dos quatro semicírculos e a área do quadrado.

    Áreasemicírculo = pi(10)2/2 = 50.pi cm2
    Áreaquadrado = (10)2 = 100 cm2
    4 Áreasemicírculo - Áreaquadrado = 4.(50.pi)-100 = (200.pi-100) cm2
    Área desejada = (200.pi - 100) cm2


  23. Semicircunferências são traçados sobre dois lados de um quadrado de lados medindo 6 cm. Calcular a área da região pintada na figura ao lado.
    Resposta Área = 27 - (9/2)pi cm2


  24. Duas circunferências com raios de medidas 4 cm e 12 cm estão lado a lado, como mostra a figura ao lado. Qual é o comprimento da menor correia de couro que dê a volta nas duas circunferências?
    R
    e
    s
    p
    o
    s
    t
    a
    Devemos obter o comprimento do segmento AB e também as medidas dos ângulos BO'O e AOO'. Dessa forma:
    OO' = 12+4 = 16 cm e CO' = 12-4 = 8 cm
    Como m(AB)=m(OC) e o triângulo retângulo OCO' tem ângulo reto em C, temos que:
    (OC)2 = (OO')2-(CO')2
    m(OC) = R[256-64] = 8 R[3]

    ângulo(BO'O)=arccos(8/16)=arccos(1/2)=60o
    ângulo(BO'O) + ângulo(AOO') = 180o
    ângulo(AOO') = 180o-60o=120o
    (1/2) medida da correia =m(EA)+AB+m(BF)
    m(EA) = (1/2)pi(4)2-m(AG) = (1/2)pi.16-120.pi.(4)2/360=8pi-8/3.pi=16/3 pi
    m(BF)=(1/2)pi.122-m(BF)=(1/2) pi.144 - 60.pi.122/360=72pi-24pi=48 pi
    medida da correia =2 (16.pi/3+8.R[3] + 48.pi) = (128.pi+16.R[3]) cm


  25. Na figura, as circunferências de centros O e O' tem raios medindo 3 cm e 2 cm, respectivamente, e a distância OO' entre os centros é 13 cm. A reta t é uma tangente comum as duas circunferências nos pontos A e B. Calcular a medida do segmento AB.
    Resposta
    (CO')2 = (OO')2 - (OC)2
    (CO')2 = (13)2 - 52 = 144
    CO' = 12

    Como CO'e AB são congruentes;

    AB = 12 cm


  26. Na figura ao lado calcular a área da região pintada, onde cada semicírculo possui o diâmetro igual ao raio do círculo imediatamente maior.
    Resposta Área = pi.r2/4 unidades quadradas



Página construída por Sônia F. L. Tóffoli
Atualizado em: Saturday, July 15, 2000 05:46 AM.

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