Projeto MatWeb (Geometria Plana): Areas de regioes poligonais

Projeto MatWeb Geometria Plana
Áreas: Regiões poligonais

Triângulo e região triangular

Observamos no desenho abaixo, que o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos os pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A região triangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos do interior do triângulo ABC são pontos da região triangular.

Somente as linhas As linhas e todo o interior

Duas ou mais regiões triangulares são ditas não-sobrepostas quando a interseção é de um dos tipos:

Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares não-sobrepostas.


O conceito de região poligonal

Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos".

Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras

Duas ou mais regiões poligonais são ditas não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, for:

O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:


Observação importante

Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas:

Exemplo: A área do polígono ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição do polígono em triângulos. Após isto, realizamos as somas das áreas desses triângulos.

Área ABCDEFX = área XAB + área XBC +
área XCD + área XDE +
área XEF


Unidade de área

Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.


Área do Retângulo

A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, tendo por medidas: 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura.

O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo é o mesmo que aquele obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC.

Qualquer lado do retângulo pode ser considerado como a sua base e o lado adjacente será a sua altura.

Este exemplo sugere que a área do retângulo A é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h.

A = b.h


Área do quadrado

Observação importante: Um quadrado é um caso particular de retângulo cujo comprimento da base é igual ao comprimento da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto do comprimento da base por si mesmo. Esta é a razão pela qual a segunda potência de um número x, indicada por x2, tem o nome de quadrado deste número.

A área A do quadrado pode ser obtida pelo quadrado do comprimento a de seu lado.

A = a2

Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5 unidades.

A = b.h
A = (8 u).(5 u)
A = 40 u2

Observação: No cálculo de áreas em situações reais, expressamos medidas de comprimento em função de alguma unidade específica como metro, centímetro, quilômetro, etc... Por exemplo, para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.


Área do Paralelogramo

Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo.

Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.

No paralelogramo ABCD ao lado, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação a base AB.

No paralelogramo RSTV, os segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação a base RV.

A área A do paralelogramo pode ser obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h.

A = b.h

Justificativa para esta fórmula


Área do Triângulo

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura:

A = b.h/2

Justificativa para esta fórmula

Exemplo: Mostrar que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por: A=(1/2) s2 R[3], onde R[z] é a raiz quadrada de z.

h2 = s2 - (s/2)2
h2 = (3/4) s2
h = (1/2) R[3] s

Como A = b.h, então:

A = s . (1/2) (R[3] s = (1/2) R[3] s2

Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes tem mesma área.


Comparação de áreas entre triângulos semelhantes

Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos.

Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

Área de ABC   b2   a2   c2

=
=
=
Área de RST   s2   r2   t2


Área do Losango

A área do losango é igual à metade do produto dos comprimentos de suas diagonais, isto é:

A = (1/2) d1.d2

Justificativa para esta fórmula

Observação: O losango é um paralelogramo e portanto sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pelo medida da altura.


Área do Trapézio

A área do trapézio é dada pelo produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura.

A=(1/2)(b1+b2).h


Polígonos regulares

Um polígono regular possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Algumas características dos polígonos regulares são:


Elementos de um polígono

Apótema: OM
Raio: OA, OF
Ângulo central:AOF
Apótema: OX
Raio: OR, OT
Ângulo central:ROT

Observação: O ângulo central de um polígono regular de n-lados mede 360o/n


Áreas de Polígonos Regulares

Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de n-lados, iremos decompor este polígono em n triângulos congruentes. Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto da medida do apótema a pelo perímetro P, isto é:

A = (1/2) a.P

Justificativa para esta fórmula


Comparando áreas entre polígonos semelhantes

Na figura abaixo temos dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L traçamos diagonais dividindo cada pentágono em três triângulos. Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem ser semelhantes, o que pode ser verificado diretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Vamos assumir que esta propriedade seja válida para polígonos semelhantes com n-lados.

Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser divididos no mesmo número de triângulos e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono. Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados para demonstrar o seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes.

Teorema: A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

Área de ABCDE...   s2   t2

 =
=
Área de A'B'C'D'E'...   (s')2   (t')2


Projeto MatWeb: Matemática pela Internet.
Página construída por Sônia Ferreira L. Tóffoli
e Ulysses Sodré.

Faça sua escolha!

Interaula Clube
Download Grátis
Acessar sua conta
CDs de Matemática
CDs de Português