Projeto MatWeb (Geometria Plana): Areas de regioes poligonais Projeto MatWeb Geometria Plana Áreas: Regiões poligonais Triângulo e região triangular O conceito de região poligonal Unidade de área Área do retângulo Área do quadrado Área do paralelogramo Área do triângulo Comparando áreas de triângulos Área do losango Área do trapézio Polígonos regulares Elementos de um polígono Áreas de polígonos regulares Comparando áreas de polígonos Triângulo e região triangular Observamos no desenho abaixo, que o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos os pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A região triangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos do interior do triângulo ABC são pontos da região triangular. Duas ou mais regiões triangulares são ditas não-sobrepostas quando a interseção é de um dos tipos: Vazia Um ponto Um segmento de reta Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares não-sobrepostas. O conceito de região poligonal Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos". Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras Duas ou mais regiões poligonais são ditas não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, for: Vazia Um conjunto finito de pontos Um segmento de reta Um conjunto finito de pontos e um segmento de reta O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos: A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma das áreas das n-regiões. Observação importante Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas: Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver possibilidade de confusão entre o polígono e a região. Usaremos expressões como "a área do triângulo ABC" e "a área do retângulo RSTU" para substituir expressões como "a área da região triangular ABC" e "a área da região limitada pelo retângulo RSTU". Exemplo: A área do polígono ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição do polígono em triângulos. Após isto, realizamos as somas das áreas desses triângulos. Área ABCDEFX = área XAB + área XBC + área XCD + área XDE + área XEF Unidade de área Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento. Área do Retângulo A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, tendo por medidas: 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área. A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo é o mesmo que aquele obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC. Qualquer lado do retângulo pode ser considerado como a sua base e o lado adjacente será a sua altura. Este exemplo sugere que a área do retângulo A é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h. A = b.h Área do quadrado Observação importante: Um quadrado é um caso particular de retângulo cujo comprimento da base é igual ao comprimento da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto do comprimento da base por si mesmo. Esta é a razão pela qual a segunda potência de um número x, indicada por x2, tem o nome de quadrado deste número. A área A do quadrado pode ser obtida pelo quadrado do comprimento a de seu lado. A = a2 Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5 unidades. A = b.h A = (8 u).(5 u) A = 40 u2 Observação: No cálculo de áreas em situações reais, expressamos medidas de comprimento em função de alguma unidade específica como metro, centímetro, quilômetro, etc... Por exemplo, para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área. Transformando as medidas em metros Como h=2 m e b = 120 cm = 1,20 m, a área do retângulo será dada por: A = b.h A = (1,20 m).(2 m) A = 2,40 m2 Transformando as medidas em centímetros Como h=2 m = 200 cm e b = 120 cm, a área do retângulo será dada por: A = b.h A = (120 cm).(200 cm) A = 24000 cm2 Área do Paralelogramo Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo. Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo. No paralelogramo ABCD ao lado, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação a base AB. No paralelogramo RSTV, os segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação a base RV. A área A do paralelogramo pode ser obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h. A = b.h Justificativa para esta fórmula Área do Triângulo A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura: A = b.h/2 Justificativa para esta fórmula Exemplo: Mostrar que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por: A=(1/2) s2 R[3], onde R[z] é a raiz quadrada de z. h2 = s2 - (s/2)2 h2 = (3/4) s2 h = (1/2) R[3] s Como A = b.h, então: A = s . (1/2) (R[3] s = (1/2) R[3] s2 Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes tem mesma área. Comparação de áreas entre triângulos semelhantes Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos. Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes. Área de ABC b2 a2 c2 = = = Área de RST s2 r2 t2 Área do Losango A área do losango é igual à metade do produto dos comprimentos de suas diagonais, isto é: A = (1/2) d1.d2 Justificativa para esta fórmula Observação: O losango é um paralelogramo e portanto sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pelo medida da altura. Área do Trapézio A área do trapézio é dada pelo produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura. A=(1/2)(b1+b2).h Polígonos regulares Um polígono regular possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Algumas características dos polígonos regulares são: Em qualquer polígono regular de n lados, podemos construir uma circunferência circunscrita, isto é, uma circunferência que passa em todos os vértices do polígono e que contem o polígono em seu interior. Em qualquer polígono regular de n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita, isto é, uma circunferência que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida no polígono. Elementos de um polígono O centro de um polígono regular é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita. O raio da circunferência circunscrita a um polígono regular é a distância do centro do polígono até um dos vértices. O raio da circunferência inscrita em um polígono regular é o apótema do polígono regular, isto é, a distância do centro do polígono ao ponto médio de um dos lados. O ângulo central de um polígono regular é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contém vértices consecutivos do polígono. Apótema: OM Raio: OA, OF Ângulo central:AOF Apótema: OX Raio: OR, OT Ângulo central:ROT Observação: O ângulo central de um polígono regular de n-lados mede 360o/n Áreas de Polígonos Regulares Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de n-lados, iremos decompor este polígono em n triângulos congruentes. Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto da medida do apótema a pelo perímetro P, isto é: A = (1/2) a.P Justificativa para esta fórmula Comparando áreas entre polígonos semelhantes Na figura abaixo temos dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L traçamos diagonais dividindo cada pentágono em três triângulos. Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem ser semelhantes, o que pode ser verificado diretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Vamos assumir que esta propriedade seja válida para polígonos semelhantes com n-lados. Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser divididos no mesmo número de triângulos e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono. Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados para demonstrar o seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes. Teorema: A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes. Área de ABCDE... s2 t2 = = Área de A'B'C'D'E'... (s')2 (t')2 Projeto MatWeb: Matemática pela Internet. Página construída por Sônia Ferreira L. Tóffoli e Ulysses Sodré. Faça sua escolha! Interaula Clube Download Grátis Acessar sua conta CDs de Matemática CDs de Português
Triângulo e região triangular
Observamos no desenho abaixo, que o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos os pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A região triangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos do interior do triângulo ABC são pontos da região triangular.
Duas ou mais regiões triangulares são ditas não-sobrepostas quando a interseção é de um dos tipos:
Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares não-sobrepostas.
Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos".
Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras
Duas ou mais regiões poligonais são ditas não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, for:
O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:
Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas:
Exemplo: A área do polígono ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição do polígono em triângulos. Após isto, realizamos as somas das áreas desses triângulos.
Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.
A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, tendo por medidas: 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura.
O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.
A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo é o mesmo que aquele obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC.
Qualquer lado do retângulo pode ser considerado como a sua base e o lado adjacente será a sua altura.
Este exemplo sugere que a área do retângulo A é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h.
Observação importante: Um quadrado é um caso particular de retângulo cujo comprimento da base é igual ao comprimento da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto do comprimento da base por si mesmo. Esta é a razão pela qual a segunda potência de um número x, indicada por x2, tem o nome de quadrado deste número.
A área A do quadrado pode ser obtida pelo quadrado do comprimento a de seu lado.
Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5 unidades.
A = b.h A = (8 u).(5 u) A = 40 u2
Observação: No cálculo de áreas em situações reais, expressamos medidas de comprimento em função de alguma unidade específica como metro, centímetro, quilômetro, etc... Por exemplo, para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.
Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo.
Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.
No paralelogramo ABCD ao lado, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação a base AB.
No paralelogramo RSTV, os segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação a base RV.
A área A do paralelogramo pode ser obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h.
A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura:
Exemplo: Mostrar que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por: A=(1/2) s2 R[3], onde R[z] é a raiz quadrada de z.
Como A = b.h, então:
Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes tem mesma área.
Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos.
Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
A área do losango é igual à metade do produto dos comprimentos de suas diagonais, isto é:
Observação: O losango é um paralelogramo e portanto sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pelo medida da altura.
A área do trapézio é dada pelo produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura.
Um polígono regular possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Algumas características dos polígonos regulares são:
Observação: O ângulo central de um polígono regular de n-lados mede 360o/n
Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de n-lados, iremos decompor este polígono em n triângulos congruentes. Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto da medida do apótema a pelo perímetro P, isto é:
Na figura abaixo temos dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L traçamos diagonais dividindo cada pentágono em três triângulos. Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem ser semelhantes, o que pode ser verificado diretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Vamos assumir que esta propriedade seja válida para polígonos semelhantes com n-lados.
Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser divididos no mesmo número de triângulos e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono. Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados para demonstrar o seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes.
Teorema: A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
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