Projeto MatWeb (Geometria Plana): Areas de regioes circulares Projeto MatWeb Geometria Plana Áreas de regiões circulares O círculo como o limite de regiões poligonais regulares Perímetro do círculo Área do Círculo Arcos Setor circular Segmento circular Curiosidades sobre o número Pi O círculo como o limite de regiões poligonais regulares Nas figuras abaixo, temos três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes. Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito observamos o seguinte: O apótema aumenta, aproximando-se do raio do cículo como um limite. O perímetro aumenta, aproximando-se da circunferência do cículo como um limite. A área aumenta, aproximando-se da área do círculo como um limite. Neste trabalho não é possível apresentar uma definição formal de limite e sem esta definição não podemos construir uma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal regular inscrita num círculo. A idéia de limite nos permite aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do polígono regular inscrito nessa circunferência, à medida que o número de lados do polígono aumenta. O mesmo ocorre com o cálculo da área do círculo, pois à medida que o número de lados da região poligonal inscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Este também é um processo através de limites. Perímetro do círculo O perímetro da circunferência de círculo é o valor limite da sequência dos perímetros dos polígonos regulares inscritos de n lados na circunferência à medida que o número n de lados aumenta indefinidamente. A área do círculo é o valor limite da sequência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente. Observação: Com base nestas definições podemos estabelecer um importante resultado sobre a relação existente entre o perímetro e o diâmetro da circunferência: A razão entre o perímetro P e o diâmetro D da circunferência é uma constante. Observação: Sejam respectivamente, duas circunferências de diâmetros D e D', com perímetros P e P'. A razão entre os perímetros P e P' é igual à razão entre os diâmetros D e D'. Como o diâmetro é o dobro do raio, então, o mesmo ocorre para a razão entre os raios r e r'. P D r = = P' D' r' Observação: Para todo círculo (ou circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante. Esta constante é denotada pela letra grega Pi: . Pi é um número irracional, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para Pi com 10 dígitos decimais é: Pi=3,1415926536.... Área do Círculo A área de um círculo de raio r é o limite das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no mesmo. Nesse caso temos o diâmetro D=2r e uma fórmula para a área do círculo, dada por: Área = Pi r2=(1/4) Pi D2 Consequência: Dados dois círculos de raios, respectivente, iguais a r e r', áreas A e A' e diâmetros D e D', a razão entre as áreas de dois círculos é a mesma que a razão entre os quadrados de seus raios ou os quadrados de seus diâmetros. A r2 D2 = = A' (r')2 (D')2 Arcos O comprimento de um arco AB pode ser descrito em termos de um limite. Pense o arco AB contendo vários pontos A=Po, P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn=B, formando n arcos e também n segmentos de reta de mesma medida: AP1, P1P2, ..., Pn-1B. O comprimento de um arco AB de uma circunferência de raio r é o valor limite da soma dos comprimentos destas n cordas quando n cresce indefinidamente. Um arco completo de circunferência corresponde a um ângulo que mede 360 graus ou 2Pi radianos. Se o raio da circunferência for r, o perímetro da circunferência coincide com o comprimento do arco da mesma e é dado por: Perímetro = 2 Pi r Se para um arco AB contido em uma circunferência de raio r tomarmos a medida do ângulo como m(AB)=m, sendo que m pode ser tomado em graus ou radianos, teremos: Pi r mo Comprimento do arco AB = = r m rad 180o Justificativa: Tais fórmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de três simples e diretas. Se o ângulo do arco AB possui uma medida de mo, temos: 360o2 Pi r mo Comprimento de AB logo comprimento de AB = Pi r mo / 180o Se o ângulo associado ao arco AB mede m radianos, temos: 2 Pi rad2 Pi r m radcomprimento de AB assim Comprimento de AB = r m radianos Setor circular Setor circular é a região limitada por dois raios e um arco do círculo. OACB é um setor circular OADB é um setor circular r é o raio de cada um dos setores ACB é o arco do setor OACB ADB é o arco do setor OADB. A medida do arco ACB, será m=m(ACB), sendo que m pode ser tomado em graus ou radianos. Pi r2 mo Pi r2 m área do setor OACB = = rad 360 2 Justificativa: Tais fórmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de três simples e diretas. Se o ângulo do arco AB possui uma medida de mo, temos: 360oPi r2 mo Área do setor OACB logo Área do setor OACB = Pi r2 mo / 360o Se o ângulo associado ao arco AB mede m radianos, temos: 2 Pi radPi r2 m radÁrea setor OACB assim Área do setor OACB = (1/2) r2 m radianos Segmento circular Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Na figura ao lado podemos observar dois segmentos circulares: o segmento ACB e o segmento ADB. A área do segmento ACB pode ser obtida subtraindo a área do triângulo AOB da área do setor OACB. Área segmento ACB = Área setor OACB - Área triângulo AOB A área do segmento ADB pode ser obtida subtraindo a área do segmento ACB da área do círculo ou somando a área do triângulo AOB à área do setor OADB. Curiosidades sobre o número Pi Na Bíblia (Antigo Testamento) existe uma passagem sugerindo que os Babilônios usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência. (Reis 7:23) Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre 3 1/7 e 3 10/71. O símbolo para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência somente foi introduzido no século XVIII. O valor de Pi correto com 10 dígitos decimais foi usado no cálculo do comprimento da linha do Equador terrestre. Dada uma unidade de comprimento, é impossível construir um segmento de comprimento Pi através de régua e compasso. O número Pi exerce um papel muito importante na Matemática e nas ciências, predominantemente quando determinamos perímetros, áreas, centros de gravidade, informações sobre segmentos e setores circulares e elípticos, inclusive em cálculos de navegação, etc. Com o uso de computadores, já foi calculado o valor exato de Pi com cem mil dígitos decimais. Observações sobre o cálculo de Pi: Analogamente ao resultado obtido através do limite de polígonos regulares inscritos também podemos aproximar o perímetro e a área do círculo de raio r, pelo valor limite de polígonos regulares circunscritos no círculo quando o número de lados desse cresce arbitrariamente. Perímetro do políg.inscrito Perímetro do políg.circunscrito < Pi < 2 r 2 r Podemos notar esse fato através da seguinte tabela: Número de lados do polígono Perímetro do polígono inscrito dividido por 2r Perímetro do polígono circunscrito dividido por 2r 63,000003,46411 123,105823,21540 243,132623,15967 483,139353,14609 963,141033,14272 1923,141453,14188 2563,141513,14175 5123,141573,14163 10243,141593,14160 Observe na tabela que quanto maior o número de lados de cada polígono mais dígitos decimais coincidem para obter o valor do número Pi, tanto para os polígonos inscritos como para os circunscritos. Com um polígono de 1024 lados, praticamente temos 4 algarismos exatos. Outra forma (um pouco lenta) para obter o número Pi, pode ser: 1 1 1 1 1 1 1 1 Pi = 4 { - + - + - + - + · · · } 1 3 5 7 9 11 13 15 Projeto MatWeb: Matemática pela Internet. Construído por Sônia Ferreira L. Tóffoli e Ulysses Sodré. Faça sua escolha! 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O círculo como o limite de regiões poligonais regulares
Nas figuras abaixo, temos três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes.
Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito observamos o seguinte:
Neste trabalho não é possível apresentar uma definição formal de limite e sem esta definição não podemos construir uma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal regular inscrita num círculo.
A idéia de limite nos permite aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do polígono regular inscrito nessa circunferência, à medida que o número de lados do polígono aumenta.
O mesmo ocorre com o cálculo da área do círculo, pois à medida que o número de lados da região poligonal inscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Este também é um processo através de limites.
Observação: Com base nestas definições podemos estabelecer um importante resultado sobre a relação existente entre o perímetro e o diâmetro da circunferência:
A razão entre o perímetro P e o diâmetro D da circunferência é uma constante.
Observação: Sejam respectivamente, duas circunferências de diâmetros D e D', com perímetros P e P'. A razão entre os perímetros P e P' é igual à razão entre os diâmetros D e D'. Como o diâmetro é o dobro do raio, então, o mesmo ocorre para a razão entre os raios r e r'.
Observação: Para todo círculo (ou circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante. Esta constante é denotada pela letra grega Pi: . Pi é um número irracional, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para Pi com 10 dígitos decimais é:
A área de um círculo de raio r é o limite das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no mesmo. Nesse caso temos o diâmetro D=2r e uma fórmula para a área do círculo, dada por:
Consequência: Dados dois círculos de raios, respectivente, iguais a r e r', áreas A e A' e diâmetros D e D', a razão entre as áreas de dois círculos é a mesma que a razão entre os quadrados de seus raios ou os quadrados de seus diâmetros.
O comprimento de um arco AB pode ser descrito em termos de um limite. Pense o arco AB contendo vários pontos A=Po, P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn=B, formando n arcos e também n segmentos de reta de mesma medida: AP1, P1P2, ..., Pn-1B.
O comprimento de um arco AB de uma circunferência de raio r é o valor limite da soma dos comprimentos destas n cordas quando n cresce indefinidamente.
Um arco completo de circunferência corresponde a um ângulo que mede 360 graus ou 2Pi radianos. Se o raio da circunferência for r, o perímetro da circunferência coincide com o comprimento do arco da mesma e é dado por:
Se para um arco AB contido em uma circunferência de raio r tomarmos a medida do ângulo como m(AB)=m, sendo que m pode ser tomado em graus ou radianos, teremos:
Justificativa: Tais fórmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de três simples e diretas.
Se o ângulo do arco AB possui uma medida de mo, temos:
Se o ângulo associado ao arco AB mede m radianos, temos:
Setor circular é a região limitada por dois raios e um arco do círculo.
Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Na figura ao lado podemos observar dois segmentos circulares: o segmento ACB e o segmento ADB.
A área do segmento ACB pode ser obtida subtraindo a área do triângulo AOB da área do setor OACB.
A área do segmento ADB pode ser obtida subtraindo a área do segmento ACB da área do círculo ou somando a área do triângulo AOB à área do setor OADB.
Observações sobre o cálculo de Pi: Analogamente ao resultado obtido através do limite de polígonos regulares inscritos também podemos aproximar o perímetro e a área do círculo de raio r, pelo valor limite de polígonos regulares circunscritos no círculo quando o número de lados desse cresce arbitrariamente.
Podemos notar esse fato através da seguinte tabela:
Observe na tabela que quanto maior o número de lados de cada polígono mais dígitos decimais coincidem para obter o valor do número Pi, tanto para os polígonos inscritos como para os circunscritos. Com um polígono de 1024 lados, praticamente temos 4 algarismos exatos.
Outra forma (um pouco lenta) para obter o número Pi, pode ser:
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