Projeto MatWeb (Geometria Plana): Areas de regioes circulares

Projeto MatWeb Geometria Plana
Áreas de regiões circulares

O círculo como o limite de regiões poligonais regulares

Nas figuras abaixo, temos três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes.

Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito observamos o seguinte:

Neste trabalho não é possível apresentar uma definição formal de limite e sem esta definição não podemos construir uma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal regular inscrita num círculo.

A idéia de limite nos permite aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do polígono regular inscrito nessa circunferência, à medida que o número de lados do polígono aumenta.

O mesmo ocorre com o cálculo da área do círculo, pois à medida que o número de lados da região poligonal inscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Este também é um processo através de limites.


Perímetro do círculo

Observação: Com base nestas definições podemos estabelecer um importante resultado sobre a relação existente entre o perímetro e o diâmetro da circunferência:

A razão entre o perímetro P e o diâmetro D da circunferência é uma constante.

Observação: Sejam respectivamente, duas circunferências de diâmetros D e D', com perímetros P e P'. A razão entre os perímetros P e P' é igual à razão entre os diâmetros D e D'. Como o diâmetro é o dobro do raio, então, o mesmo ocorre para a razão entre os raios r e r'.

P   D   r

=
=
P'   D'   r'

Observação: Para todo círculo (ou circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante. Esta constante é denotada pela letra grega Pi: . Pi é um número irracional, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para Pi com 10 dígitos decimais é:

Pi=3,1415926536....


Área do Círculo

A área de um círculo de raio r é o limite das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no mesmo. Nesse caso temos o diâmetro D=2r e uma fórmula para a área do círculo, dada por:

Área = Pi r2=(1/4) Pi D2

Consequência: Dados dois círculos de raios, respectivente, iguais a r e r', áreas A e A' e diâmetros D e D', a razão entre as áreas de dois círculos é a mesma que a razão entre os quadrados de seus raios ou os quadrados de seus diâmetros.

A   r2   D2

=
=
A'   (r')2   (D')2


Arcos

O comprimento de um arco AB pode ser descrito em termos de um limite. Pense o arco AB contendo vários pontos A=Po, P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn=B, formando n arcos e também n segmentos de reta de mesma medida: AP1, P1P2, ..., Pn-1B.

O comprimento de um arco AB de uma circunferência de raio r é o valor limite da soma dos comprimentos destas n cordas quando n cresce indefinidamente.

Um arco completo de circunferência corresponde a um ângulo que mede 360 graus ou 2Pi radianos. Se o raio da circunferência for r, o perímetro da circunferência coincide com o comprimento do arco da mesma e é dado por:

Perímetro = 2 Pi r

Se para um arco AB contido em uma circunferência de raio r tomarmos a medida do ângulo como m(AB)=m, sendo que m pode ser tomado em graus ou radianos, teremos:

  Pi r mo  
Comprimento do arco AB =
= r m rad
  180o  

Justificativa: Tais fórmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de três simples e diretas.

Se o ângulo do arco AB possui uma medida de mo, temos:

360o
2 Pi r
mo
Comprimento de AB
logo
comprimento de AB = Pi r mo / 180o

Se o ângulo associado ao arco AB mede m radianos, temos:

2 Pi rad
2 Pi r
m rad
comprimento de AB
assim
Comprimento de AB = r m radianos


Setor circular

Setor circular é a região limitada por dois raios e um arco do círculo.

  Pi r2 mo   Pi r2 m  
área do setor OACB =
=
rad
  360   2  

Justificativa: Tais fórmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de três simples e diretas.

Se o ângulo do arco AB possui uma medida de mo, temos:

360o
Pi r2
mo
Área do setor OACB
logo
Área do setor OACB = Pi r2 mo / 360o

Se o ângulo associado ao arco AB mede m radianos, temos:

2 Pi rad
Pi r2
m rad
Área setor OACB
assim
Área do setor OACB = (1/2) r2 m radianos


Segmento circular

Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Na figura ao lado podemos observar dois segmentos circulares: o segmento ACB e o segmento ADB.

A área do segmento ACB pode ser obtida subtraindo a área do triângulo AOB da área do setor OACB.

Área segmento ACB = Área setor OACB - Área triângulo AOB

A área do segmento ADB pode ser obtida subtraindo a área do segmento ACB da área do círculo ou somando a área do triângulo AOB à área do setor OADB.


Curiosidades sobre o número Pi

Observações sobre o cálculo de Pi: Analogamente ao resultado obtido através do limite de polígonos regulares inscritos também podemos aproximar o perímetro e a área do círculo de raio r, pelo valor limite de polígonos regulares circunscritos no círculo quando o número de lados desse cresce arbitrariamente.

Perímetro do
políg.inscrito
  Perímetro do
políg.circunscrito

< Pi <
2 r   2 r

Podemos notar esse fato através da seguinte tabela:

Número de lados do polígono Perímetro do polígono inscrito dividido por 2r Perímetro do polígono circunscrito dividido por 2r
63,000003,46411
123,105823,21540
243,132623,15967
483,139353,14609
963,141033,14272
1923,141453,14188
2563,141513,14175
5123,141573,14163
10243,141593,14160

Observe na tabela que quanto maior o número de lados de cada polígono mais dígitos decimais coincidem para obter o valor do número Pi, tanto para os polígonos inscritos como para os circunscritos. Com um polígono de 1024 lados, praticamente temos 4 algarismos exatos.

Outra forma (um pouco lenta) para obter o número Pi, pode ser:

  1   1   1   1   1   1   1   1    
Pi = 4 {
-
+
-
+
-
+
-
+ · · · }
  1   3   5   7   9   11   13   15  


Projeto MatWeb: Matemática pela Internet.
Construído por Sônia Ferreira L. Tóffoli
e Ulysses Sodré.

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