Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:

Quais são os números de recipientes x₁, x₂ e x₃ de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 containers do tipo II e 33 containers do tipo III.

Montagem do sistema linear:

4 x₁ + 5 x₂ + 2 x₃ = 42
3 x₁ + 3 x₂ + 2 x₃ = 27
2 x₁ + 2 x₂ + 2 x₃ = 33

O sangue humano contem três possíveis antígenos denotados por A, B e Rh. Dependendo dos antígenos presentes, existem oito possíveis tipos sangüineos conhecidos por:

Os antígenos presentes em cada sangue podem ser descritos através de um diagrama de Venn-Euler na figura:

No diagrama em anexo, os conjuntos indicados respectivamente por A, B e Rh contêm os antígenos A, B e Rh.

O desenho mostra que existem três conjuntos de informações que possuem interseções, sendo estas importantes por determinar certo tipo sangüíneo comum.

Podemos construir uma tabela que informa os tipos de sangue e os tipos de antígenos que os mesmos possuem, colocando sim quando um tipo de sangue contem um determinado antígeno.

Esta tabela significa, do ponto de vista da Teoria de Conjuntos, que, por exemplo AB+ pertence aos três conjuntos enquanto que AB- pertence somente aos conjuntos A e B. O sangue O- não pertence a nenhum dos três conjuntos A, B e Rh.

Matrizes de dupla entrada são importantes nas ciências em geral. Apresentaremos uma situação real onde as matrizes são utilizadas como forma de apresentação de informações vitais para o ser humano.

Um ser humano tem quatro tipos de sangue: A, B, AB e O e tais tipos dependem das proteínas encontradas nos glóbulos vermelhos e no plasma sangüíneo. As proteínas dos glóbulos vermelhos são denominadas aglutinogêneos e as proteínas do plasma são as aglutininas. Os aglutinogêneos são de dois tipos: A e B. As aglutininas também são de dois tipos: a e b.

Consideremos algumas pessoas com os seus tipos sanguíneos identificados na tabela:

Em função das informações apresentadas, podemos utilizar o diagrama de Venn-Euler da Teoria de Conjuntos, para a construção de gráficos para melhorar entender o papel do aglutinogêneo e da aglutinina.

Se um determinado sangue tem um aglutinogêneo diferente daquele que possuímos, o nosso corpo trata o outro tipo de aglutinogêneo como um intruso e ocorre a rejeição do sangue.

Se o indivíduo P1 recebesse a transfusão de sangue de P2, então as suas aglutininas b iriam fazer com que as novas células sanguíneas se aglutinassem e desta forma não poderiam se deslocar pelo corpo. Tendo em vista esta situação, as células não conseguiriam distribuir Oxigênio pelo corpo humano, pondo esta pessoa sob sério risco de vida.

Também o sangue de tipo B rejeita o sangue de tipo A pelo mesmo motivo citado anteriormente.

O sangue de tipo O também não é compatível com qualquer dos outros A, B e AB, razão pela qual os doadores e receptores fazem análises de tipos sanguíneos antes de uma doação no sentido de evitar rejeição. Na verdade, nenhum dos tipos de sangue têm uma reação ruim ao sangue de tipo O, o que acontece é que não existem aglutinogêneos nos glóbulos vermelhos capazes de provocar reações a outros tipos de sangue.

Em função do que citamos acima, toda a pessoa que possui o sangue tipo O, recebe o nome de doador universal o que permite que ele possa doar sangue a todas as pessoas.

Uma pessoa com sangue AB tem proteínas A e B, logo poderá receber sangue de qualquer pessoa, o que a torna uma receptora universal.

Levando em consideração a possibilidade de doação de sangue, podemos construir um exemplo prático onde aplicamos o conceito matemático de Relação:

O O, O A, O B, O AB
A A, A AB
B B, B AB
AB AB

Tais sentidos das doações são melhor visualizados através da Relação matemática gráfica:

Os glóbulos vermelhos de alguns indivíduos contêm uma proteína denominada fator Rh, razão pela qual o sangue de quem a possui é indicado com Rh+ (Rh positivo). Quando um indivíduo não possui o fator Rh, dizemos que o seu sangue é Rh- (Rh negativo). Pessoas com fator Rh- somente podem receber sangue de outras pessoas com fator Rh-. Se uma pessoa com fator Rh- receber sangue com fator Rh+, haverá reação e uma rejeição ao sangue Rh+ após a primeira transfusão de sangue.

Novamente, usamos objetos gráficos para mostrar a forma como a Matemática funciona como uma ferramenta essencial nos contextos científicos, usando aqui um outro tipo de gráfico bastante comum:

O diâmetro da Terra foi medido pela primeira vez por Eratóstenes e este feito foi conseguido sem que ele saisse da biblioteca em que trabalhava, localizada na cidade de Alexandria, no norte do Egito, entre 276 a.C e 196 a.C. Eratóstenes era o responsável pela biblioteca do museu e tinha interesses múltiplos acerca das ciências.

Eratóstenes ouviu comentários de viajantes que tinham estado na cidade de Siene, onde está localizada hoje a represa de Assuam, que exatamente ao meio dia do primeiro dia de verão (21 de junho), o Sol se colocava sobre as cabeças das pessoas, dirigindo os raios de uma forma vertical. Olhando-se um poço profundo, podia-se ver o reflexo do Sol no fundo do poço.

Eratóstenes observou que neste mesmo dia e hora em Alexandria havia uma sombra provocada por raios solares que não estavam sendo projetados verticalmente, mas formando um ângulo um pouquinho maior que 7^o em relação à cidade de Siene que ficava 800 Km mais ao Sul.

Partindo destas informações e levando em consideração que muitas medidas da época eram imprecisas, Eratóstenes calculou o diâmetro da Terra fazendo a seguinte análise:

Se uma circunferência tem 360^o e um deslocamento angular de 7^o corresponde aproximadamente a 1/50 de um círculo e esta medida em graus equivale a 800 Km, então a volta completa deverá corresponder ao diâmetro da Terra, que deverá ser aproximadamente 800 x 50 Km = 40.000 Km.

Atualmente, o diâmetro da Terra mede 39.830 Km e observamos que a medida obtida para a época era excelente.

Observamos que a simples análise de uma regra de três simples e direta permitiu tal cálculo juntamente com outra idéia matemática de que a projeção de raios solares pode ser observada através da montagem de um triângulo retângulo e a medida do diâmetro pode ser calculada sem o acesso real ao local da medida. Percebemos aqui a importância dos conceitos de trigonometria e de semelhança de triângulos.

Lançamentos de projéteis são comuns em Cinemática e estão relacionados com o estudo da parábola.

Consideremos o lançamento de um dardo de massa m a partir da origem do sistema cartesiano e suponhamos que no instante inicial ele sai da origem com velocidade inicial v_o (Vamos admitir que v_o seja a intensidade da velocidade) formando um ângulo A (ou a letra grega alfa) de lançamento com o eixo horizontal.

O vetor v_o pode ser decomposto em suas componentes horizontal e vertical como:

Se não levarmos em consideração o fato que existe a resistência do ar, vento, etc, a única força que atuará sobre o objeto lançado será a força devida à aceleração da gravidade g.

Neste caso a curva descrita pelo objeto será o gráfico formado pelos pontos (x,y)=(x(t),y(t)) do plano, onde t é o tempo em cada instante, a essas coordenadas são dadas por:

x(t) = v_ocos(A) t
y(t) = v_o sen(A).t - (g/2).t²

Assim podemos mostrar que a altura máxima atingida pelo objeto será dada por:

e o alcance máximo horizontal atingido pelo objeto é:

O tempo que o objeto permanecerá no ar até atingir o solo será:

A maior distância horizontal será atingida quando

isto é, quando o ângulo de lançamento for:

Em todos os lançamentos, observamos que o ângulo alfa exerce um papel importante.

Considerando a velocidade inicial v_o fixa e tomando g=9,81m/s² e permitindo todas as possibilidades para a variação do ângulo de lançamento A, observaremos que para cada A, ocorrerá uma parábola diferente mas um fato extremamente interessante é que todas elas estarão dentro de uma outra parábola maior denominada parábola de segurança.

Esta parábola de segurança funciona como uma curva localizada no plano cartesiano, de forma que se uma pessoa localizada na origem do sistema começar a arremessar dardos em todas as direções, e se você estiver fora desta região parabólica que contem a origem, você estará seguro pois nenhum dardo o atingirá.

Todo dia, um laboratório produz 100 gramas de um perigoso ingrediente I1, o qual é utilizado para a confecção de remédios (drogas) A, B, C e D. Estes remédios necessitam de I1 na sua confecção, de modo que:

Para prevenir qualquer desastre com o perigoso I1, o laboratório necessita utilizar todas as 100 g produzidas na confecção de x₁ g de A, x₂ g de B, x₃ g de C e x₄ g de D e para que isto aconteça, devemos ter:

0,1 x₁ + 0,3 x₂ + 0,5 x₃ + 0,2 x₄ = 100

Suponhamos além disso que, na produção dos remédios A, B, C e D, haja a necessidade de um outro ingrediente I2 de modo que:

Se o laboratório produz 300 g do ingrediente I2, este deseja saber qual a produção x₁ g de A, x₂ g de B, x₃ g de C e x₄ g de D de forma que todas as 300 g de I2 sejam utilizadas.

Assim temos:

0,4 x₁ + 0,2 x₂ + 0,3 x₃ + 0,8 x₄ = 300

Dessa forma, temos um sistema com duas equações lineares:

0,1 x₁ + 0,3 x₂ + 0,5 x₃ + 0,2 x₄ = 100
0,4 x₁ + 0,2 x₂ + 0,3 x₃ + 0,8 x₄ = 300

Solução 1: x₁=305, x₂=15, x₃=50, x₄=200
Solução 2: x₁=104, x₂=32, x₃=40, x₄=300

Este problema está envolvido com os conceitos matemáticos de Equação linear e Sistema de equações lineares.

Num experimento em Psicologia, um rato é colocado em uma célula com três portas a, b e c. O rato deixa a célula através de uma das portas. Ao alcançar a interseção ela vira à esquerda ou à direita e na próxima interseção ele vira à esquerda ou à direita novamente.

Considerando E={a,b,c} e V={esquerda,direita}, o caminho que o rato pode tomar pode ser representado como um elemento do produto cartesiano:

São 12 os caminhos possíveis que podem ser obtidos com o produto #(E).#(V).#(V), onde #(X)=número de elementos do conjunto X.

Um nutricionista quer produzir um alimento contendo dois tipos de itens:

Se cada alimento deve ter no mínimo 8 unidades de Ferro e 10 unidades de Vitamina D, quantas unidades de cada item deverão ser colocados para que o alimento tenha a menor quantidade de calorias.

Identificaremos x com o item A e y com o item B. A função objetivo que define as unidades de calorias será indicada por:

Cada item deve ser não negativo, então: x>0 e y>0.

Com relação às unidades de Ferro, deve-se ter que:

pois entram 1 unidade do item A e 2 unidades do item B, com o mínimo de 8 unidades.

Com relação às unidades de Vitamina D, deve-se ter que:

pois entram 2 unidades do item A e 2 unidades do item B, com o mínimo de 10 unidades.

Reunindo todas as desigualdades, teremos:

z = 3x + 4y (Função objetivo)
x > 0
y > 0
1.x + 2.y > 8
2.x + 2.y > 10

Solução do problema:

1. Construir um plano cartesiano e identificar o vetor (3,4) que aparece na função objetivo;
2. Construir as retas x + 2y = 8 e 2x + 2y = 10;
3. Sombrear a região do primeiro quadrante localizada acima das retas x + 2y = 8 e 2x + 2y = 10;
4. Construir uma reta perpendicular ao vetor (3,4);
5. Traçar várias retas paralelas a esta última de tal forma que estas retas estejam localizadas sobre a região sombreada;
6. Dentre as retas traçadas, procure a que passa mais próximo da origem do sistema obtendo o par (x,y) que pertence a esta reta e ainda está na região sombreada. Este será o par que resolve o sistema.
7. A solução será o ponto P=(2,3) que é a interseção das retas x+2y=8 e 2x+2y=10 e que também está na reta perpendicular ao vetor (3,4) mais próxima da origem do sistema.