• Interseção de circunferências em R²;
• Equações de circunferências centradas na origem e fora dela;
• Coordenadas polares com o polo fora da origem;
• Descrição de uma região plana em coordenadas polares;
• Mudança de variáveis em uma integral dupla;
• Cálculo de área com uma integral dupla;
• Solução numérica de uma equação.

Como alternativa para obter a resposta, tomaremos C1 a circunferência de raio R com centro em (0,0):

e construiremos uma circunferência C2 com raio R+d e centro no ponto B=(R,0) onde está amarrado o burro:

Visando seccionar o círculo em duas partes de modo que ambas tenham a mesma área, deveremos calcular a área da região marcada em azul, localizada entre as duas circunferências e impor a condição para que esta área seja a metade da área do círculo de raio R, isto é:

Ni(sequência, obteremos a abscissa z do ponto de interseção das circunferências, que é obtida pela resolução do sistema:

O valor de z depende de R e de d e será dado por:

Reescreveremos as equações das duas circunferências em Coordenadas Polares, substituindo x=R+p.cos(t) e y=p.sen(t), para obter:

sendo que estas curvas são apropriadas para o cálculo da área, na região em que o argumento t pertence ao intervalo [-t_o,t_o].

Como

assim, em virtude da simetria da região, a área pode ser obtida pela integral dupla sobre a região marcada de azul, ou seja:

e esta integral proporciona:

Todos os nossos cálculos dependem de R e de d e é claro que o valor de d é dependente sobre o valor de R, logo, se tomarmos em(xarticular R=1, teremos:

Para R=1, devemos calcular um valor de d tal que:

Utilizando um método numérico, o valor aproximado:

Para um raio R arbitrário, o comprimento da corda deverá ser:

Do ponto de vista prático, se você tomar uma corda com uma medida 15,87% a mais do que o raio do círculo, você terá um excelente cálculo!

Exercício: Determinar as medidas das cordas c, de forma que as áreas das regiões ocupadas pelo burro sejam, respectivamente iguais a, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ... da área do círculo.