Para detalhes matemáticos sobre as Sequências de Fibonacci, veja o nosso link sobre Propriedades Matemáticas das Sequências de Fibonacci.

Juntando dois quadrados unitários (Lado=1), teremos um retângulo 2x1, sendo que o comprimento 2 é igual à soma dos lados dos quadrados anteriores). De novo anexamos outro quadrado com L=2 (o maior dos lados do retângulo anterior) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos antes. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3, 5, 8, 13, ... que é a sequência de Fibonacci.

Com um compasso, trace um quarto de circunferência no quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado. De acordo com o desenho ao lado, trace quartos de circunferências nos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1.

Considerando as concordâncias dessas curvas, você obterá uma espiral como a que aparece no Nautilus marinho.

Fibonacci quando examinava o Triângulo Chinês (que é o nosso conhecido Triângulo de Pascal) dos anos 1300, observou que esta sequência numérica aparecia naquele documento. O aparecimento se dava através da soma de vários números binomiais localizados acima e ao lado direito do número anterior.

Quando temos um segmento de reta com extremidades A e B, podemos determinar um ponto D neste segmento, dividindo-o em média e extrema razão, isto é, é possível obter um ponto que permita obter o segmento áureo neste segmento AB. O objetivo é encontrar um ponto D entre A e B tal que a razão entre o segmento AB e o segmento AD seja =(1,61803...). Isto significa que o maior segmento AD é 1,61803... vezes o tamanho do menor segmento DB.

AB		AD				1+
----	=	----	=		=	------
AD		DB				2

Primeiro necessitamos determinar o ponto médio do segmento AB. Para tanto, coloque a ponta seca do compasso em um extremo, abra-o até o outro extremo e trace um arco para cima e para baixo do segmento de reta AB. Repita este procedimento com o outro extremo da reta, sem alterar a abertura do compasso. Os pontos onde os arcos se cruzam devem ser unidos por um segmento de reta (em vermelho) e o ponto onde este segmento cruza o primeiro segmento AB, é o ponto médio de AB;
Agora precisamos traçar uma reta perpendicular a AB passando por B com a metade do comprimento de AB;
Primeiro trace a reta perpendicular a AB usando um jogo de esquadros;
Com a ponta seca do compasso em B, abra-o até o ponto médio M e trace um arco até que este cruze a reta perpendicular a AB;
Temos agora uma nova reta BC perpendicular a AB com exatamente a metade do comprimento de AB;
Una este ponto que acabou de encontrar com o ponto A da primeira reta para formar um triângulo ABC;
Coloque a ponta seca do compasso no vértice C do triângulo e abra-o até o ponto B. Use este raio para marcar o ponto E na hipotenusa do triângulo;
Finalmente, com a ponta seca do compasso no vértice A, abra-o até o novo ponto E marcado na hipotenusa, e use este raio para marcar o ponto D na primeira reta AB. Este ponto é o ponto que divide o segmento AB em duas partes, onde o maior segmento é 1,6183....vezes o menor.

Obtivemos assim o ponto D que estávamos procurando. Como podemos justificar este procedimento do ponto de vista matemático?

Se o lado AB do triângulo mede 1 u. de comprimento, então o lado BC mede 1/2 u., obtemos a medida da hipotenusa com o teorema de Pitágoras.

AC=(1/2)

O ponto E na hipotenusa é marcado de forma que CE tenha o mesmo comprimento que que o lado CB, isto é 1/2, então;

AE=(1/2)-1/2

O ponto D é marcado a mesma distância de A, assim

AD = AE = (1/2)-1/2

Temos então a proporção:

Algumas plantas apresentam os números de Fibonacci no crescimento de seus galhos. Suponhamos que nasça um novo broto de um galho a cada mês, sendo que um broto leva dois meses para produzir o seu primeiro broto. Existem várias plantas cujo crescimento se parecem com o descrito aqui. Existe uma planta denominada Achillea ptarmica, que tem estas características.

O macho da família de abelhas é chamado zangão, que é chocado de ovos não fertilizados (partogênese). Como consequência disto, cada zangão não tem pai mas têm um avô por parte materna. Usando as idéias de sequências de Fibonacci, você saberia calcular o número de ancestrais de um zangão n gerações atrás? Se não souber, faça uma pesquisa na Internet pois existem páginas excelentes sobre o assunto.

Consideremos dois vidros transparentes colados um sobre o outro e vamos admitir que incida um raio de luz sobre os vidros formando um ângulo oblíquo. O desenho nos mostra a seção transversal dos vidros.

A situação (a) representa um raio de luz genérico. A situação (b) representa um raio de luz que refletiu na superfície interna de contato entre as duas lâminas de vidro. A situação (c) é o caso em que houve reflexão na superfície inferior das lâminas coladas de vidro.
Se a luz é refletida duas vezes, temos uma situação como
Se a luz é refletida três vezes, a situação se parece com

Você saberia indicar o número de possibilidades quando a luz refletir 4, 5, 6, 7, ou, n vezes?

Os números de Fibonacci também são encontrados em arranjos de folhas (Filotaxia). Consideremos que exista um padrão helicoidal (para a esquerda ou para a direita) para as folhas em torno do caule. Cada conjunto de 3 folhas consecutivas (1,2,3) nascem formando um mesmo ângulo entre 1 e 2 e entre 2 e 3, mantendo uma certa distância ao longo do caule. Na figura, a folha 3 forma um mesmo ângulo com 2 da mesma forma que a folha 2 forma com 1. Admitimos o mesmo padrão para todas as folhas restantes. Neste exemplo, temos 5 folhas e 2 voltas. Cada volta é entendida como uma rotação de 360^o para que uma folha possa se sobrepor à outra. Para que isto ocorra cada ângulo deverá ser igual a 2x360^o÷5=144^o.

Podemos identificar o período p como o número de voltas necessárias até nascer uma nova folha se sobrepondo à primeira e m indicará o número de folhas por período, neste caso, p=2 e m=5. Numerosas experiências com plantas mostraram que p e m assumem mais frequentemente valores como 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., que são os números da sequência de Fibonacci. Existem também exceções, mas os números de Fibonacci ocorrem tão frequentamente que não podem ser explicados como casuais. Os biólogos tantaram explicar a predominância dos números de Fibonacci na Filotaxia. A simetria das folhas pode dar equilíbrio ao caule e também facilitar a exposição à luz, mas a ciência está longe de uma explicação satisfatória.

Pode-se analisar o cone de um pinheiro e observar as pétalas que se formam no mesmo. Pode-se observar a formação de dois tipos de espirais, para a esquerda e para a direita. Tais espirais são do mesmo tipo que aquelas estudadas anteriormente. O número de pétalas quase sempre segue os números de Fibonacci. Normalmente um cone de pinheiro possui a espiral apoiada em quadrados iniciais com lados iguais a 5 e 8 ou 8 e 13. As folhas das violetas africanas segue o padrão de Fibonacci. Uma grande quantidade de flores segue um padrão semelhante ao padrão da sequência de Fibonnaci.

Tome uma margarida, um girassol ou qualquer outra flor e olhe as posições relativas de suas pétalas assim como o núcleo onde fica a região branca na margarida ou as sementes no girassol. No girassol, as espirais são apoiadas em quadrados iniciais com 34 e 55 ou 55 e 89.

Tome um abacaxi e observe as espirais à direita e à esquerda que são formadas na casca do mesmo. Se você retirar a casca do abacaxi, você verá claramente os "olhos" que aparecem junto à parta interna da fruta. Não deixe de comer o abacaxi! Normalmente a espiral no abacaxi está apoiada em quadrados iniciais com lados iguais a 13, 21 ou 34.

Observe o tronco da planta "Agave" que tem folhas com extremidades pontiagudas. Se as folhas forem retiradas você observará claramente as espirais com padrão de Fibonacci.

Muitos artistas que viveram depois de Phidias usaram a proporção Áurea em seus trabalhos. Da Vinci chamava esta de Divina Proporção e a usou em muitos de seus trabalhos.

No quadro Mona Lisa pode-se observar a proporção Áurea em várias situações. Por exemplo, se construirmos um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este possui a proporção do retângulo Áureo. Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos para traçar uma reta horizontal e temos novamente a proporção Áurea. Podemos continuar a explorar esta proporção em várias outras partes do corpo.

Muitos artistas têm usado a razão de ouro (medida de Ouro) em seus trabalhos de pintura e arte. Os trabalhos de Seurat e Mondrian mostram tal relacionamento matemático.

Leonardo da Vinci, em seus estudos de Anatomia, trabalhou com um modelo padrão (0 canon) para a forma de um ser humano, utilizando Vitrúvio como modelo. Tais dimensões aparecem na gravura abaixo.

Há vários exemplos sobre o modo como o retângulo áureo se ajusta à construção do Parthenon. O Parthenon, agora em ruínas, é um dos templos que foi construído em Athenas por volta dos anos 430-440 a.C. e nele podemos observar a proporção Áurea. A planta do Parthenon mostra que o templo foi construído tendo por base um retângulo com comprimento igual a raiz quadrada de 5 e largura igual a 1.

Neste século, o arquiteto francês Le Corbusier utilizou também de relações harmônicas para projetar estruturas. O padrão utilizado por ele nas relações humanas foi o Modulor, que aparece na gravura abaixo.

Empresas usam a sequência de Fibonacci de uma forma intuitiva, até mesmo porque as dimensões associadas representam algo bonito e econômico, mas é provável que muitos usuários desta sequência e das relações áureas nem saibam que fazem uso da mesma. Um cartão de crédito parece ter a forma das medidas áureas, sempre relacionadas com o número Phi. Você já experimentou medir as dimensões aproximadas de um cartão de crédito?

Construiremos um retângulo cujos lados medem 1 e 1,618034..., o retângulo Áureo

Construa um quadrado de lado unitário;
Divida um dos lados do quadrado ao meio;
Trace uma diagonal do vértice A do último retângulo ao vértice oposto B e estenda a base do quadrado;
Usando a diagonal como raio, trace um arco do vértice direito superior do retângulo à base que foi estendida;
Pelo ponto de interseção do arco com o segmento da base trace um segmento perpendicular à base. Estenda o lado superior do quadrado até encontrar este último segmento para formar o retângulo;
Este último é o retângulo Áureo!

Consideremos um retângulo onde X é a medida do comprimento e Y é a medida da altura do mesmo. Vamos supor que existe uma relação "especial" entre X e Y tal que: X : Y = Y : (X+Y). Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, logo:

e esta relação nos informa que Y é a média geométrica entre X e X+Y. Se calcularmos a razão entre Y e X obteremos Phi. O retângulo com estas dimensões é o retângulo áureo e os segmentos de medidas X e Y são os segmentos áureos. Tais medidas são usadas em testes para avaliar aspectos de beleza em gravuras ou objetos.

Faça uma análise com o uso da gravura abaixo para observar como um ser humano se adapta às dimensões áureas.

Existem muitos livros sobre o uso da Sequência de Fibonacci em situações da vida. Em português, existe um excelente livro publicado pela Editora Universidade de Brasília em 1985: "A divina proporção: Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática", H. E. Huntley, Brasília-DF.

Dentre as páginas da Web que conheço, a que dá melhor tratamento geral sobre as Sequências de Fibonacci é: Fibonacci Numbers and The Golden Section.