Matematica Essencial: Harmonia e Matematica MatemáticaEssencial Alegria Matemática Harmonia e Matemática Introdução à harmonia Média Harmônica Harmônico Global Aplicações práticas Torneiras amigas Torneiras inimigas Capacidade pessoal Resistores em paralelo Capacitores em série Segmentos paralelos Circunferências ex-inscritas Velocidade média Introdução à harmonia Há muito tempo conhecemos a importância da harmonia musical (quem não gosta de música?), porém o estudo da Harmonia, do ponto de vista da Matemática, não é comum em vários níveis educacionais. Tratamos aqui sobre os conceitos de Média Harmônica e de Harmônico Global, que aqui defino. Tais conceitos são apresentados através de suas definições e os conceitos interrelacionados aparecem em situações práticas. Média Harmônica A média harmônica de n números reais positivos x1, x2,... , xn é o número real positivo H, definido por: o que significa que estamos realizando o somatório sobre todos os inversos dos n números reais positivos dados, isto é, a Média Harmônica H é um número que é o inverso da média aritmética dos inversos dos n números x1, x2, ... , xn. É Evidentemente que esta explicação não é fácil de ser entendida por pessoas que não possuem um bom entendimento de Matemática, no entanto uma outra interpretação será apresentada na sequência, apelando para o senso prático. Podemos interpretar o valor numérico da Média Harmônica H como o número que representa a capacidade média individual da ação dos n agentes (indíviduos ou entes) que estão agindo harmonicamente, ou seja, H representa a capacidade de um agente que seja capaz de substituir cada um dos n agentes. A média harmônica é muito útil em diversas situações práticas, mas outra medida de caráter harmônico tem valor prático maior, o Harmônico global. Harmônico Global O Harmônico Global dos números reais positivos x1,x2,...,xn é o número real positivo h, definido por: isto é, o Harmônico Global h é um número que representa o inverso da soma dos inversos dos n números x1,x2,...,xn. Significando na prática que este número h representa a capacidade média global da ação dos n agentes (entes ou indíviduos) agindo em conjunto de uma forma harmônica, isto é, h representa a capacidade de um único agente substituir todos os agentes ao mesmo tempo. Aplicações práticas Apresentaremos vários problemas práticos que utilizam a definição Harmônico global e um exemplo com a Média Harmônica, assim como as fórmulas que devem ser usadas para obter as soluções, além das soluções. Torneiras amigas: Uma torneira enche uma caixa d'água em 4 horas e outra torneira enche a mesma caixa em 6 horas. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo, qual será o tempo necessário para encher a caixa? FórmulaDados t1t2Solução 4 h6 h2 h 24 min Torneiras inimigas: Uma torneira enche uma caixa d'água em 4 horas e outra torneira a esvazia em 6 horas. Abrindo-se as duas torneiras simultaneamente, quanto tempo será necessário para encher a caixa d’água? FórmulaDados t1t2Solução 4 h-6 h12 h Capacidade pessoal: Uma pessoa é capaz de construir um muro em 6 horas e outra pessoa tem a capacidade de trabalho para construir este mesmo muro em 9 horas. Pondo-se as duas pessoas trabalhando em conjunto, em quanto tempo o muro estará pronto? FórmulaDados t1t2Solução 6 h9 h3 h 36 min Resistores em paralelo: Qual é a resistência equivalente, no circuito elétrico abaixo contendo as resistências R1 e R2, ligadas em paralelo? FórmulaGráficoDados R1R2Solução 4 Ohm6 Ohm2,4 Ohm Capacitores em série: Qual é a capacidade equivalente de um capacitor que substitui os capacitores C1 e C2 no circuito abaixo se os dois capacitores estão ligados em série? FórmulaGráficoDados C1C2Solução 4 Farad6 Farad2,4 Farad Segmentos paralelos: Quanto mede o segmento EF na figura em anexo, sabendo-se que os segmentos AD e BC medem, respectivamente, 8 cm e 10 cm. FórmulaGráficoDados h1h2Solução 8 cm10 cm4,44...cm Circunferências ex-inscritas: Dadas três retas em um plano de modo que elas formam uma região triangular fechada ABC e diversas outras regiões abertas. É possível construir uma circunferência com raio r, inscrita no triângulo ABC. Prolongando as retas com os segmentos AB e BC, será possível construir uma circunferência inscrita de raio rb nesta região aberta cujos lados são: o segmento AC e as retas contendo AB e BC. Esta última circunferência é denominada circunferência ex-inscrita. Da mesma forma é possível construir outras duas circunferências ex-inscritas de raios ra e rc. É possível constatar que o raio r é o harmônico global dos raios ra, rb e rc, isto é: Velocidade média: Um carro se desloca de Londrina até NewLondres (distância de 100 Km), mantendo na ída uma velocidade média de 90 Km/h e na volta ao local de origem mantendo a velocidade média de 110 Km/h. Qual é a velocidade média durante todo o trajeto? FórmulaDados v1v2Solução 90 km/h110 km/h99 km/h !!! Este último problema é uma aplicação imediata da média harmônica e a resposta dada acima deverá dar um susto em muita gente descuidada, pois a maioria das pessoas "gostaria" que fosse 100 km/h. Todos os outros problemas, embora de situações distintas, mostram que o modelo matemático do Harmônico Global, é extremamente util no dia a dia. Em todas as situações acima, o que se nota é a harmonia da ação de todos os entes envolvidos, isto é, ocorre uma atitude conjunta e colaboradora com o objetivo de produzir um resultado. Existem muitas outras questões de caráter matemático que podem ser estudadas através do uso da Média Harmônica e do Harmônico Global. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: November 18, 2000. Fa�a sua escolha! Interaula Clube Download Gr�tis Acessar sua conta CDs de Matem�tica CDs de Portugu�s
Há muito tempo conhecemos a importância da harmonia musical (quem não gosta de música?), porém o estudo da Harmonia, do ponto de vista da Matemática, não é comum em vários níveis educacionais. Tratamos aqui sobre os conceitos de Média Harmônica e de Harmônico Global, que aqui defino. Tais conceitos são apresentados através de suas definições e os conceitos interrelacionados aparecem em situações práticas.
A média harmônica de n números reais positivos x1, x2,... , xn é o número real positivo H, definido por:
o que significa que estamos realizando o somatório sobre todos os inversos dos n números reais positivos dados, isto é, a Média Harmônica H é um número que é o inverso da média aritmética dos inversos dos n números x1, x2, ... , xn.
É Evidentemente que esta explicação não é fácil de ser entendida por pessoas que não possuem um bom entendimento de Matemática, no entanto uma outra interpretação será apresentada na sequência, apelando para o senso prático.
Podemos interpretar o valor numérico da Média Harmônica H como o número que representa a capacidade média individual da ação dos n agentes (indíviduos ou entes) que estão agindo harmonicamente, ou seja, H representa a capacidade de um agente que seja capaz de substituir cada um dos n agentes.
A média harmônica é muito útil em diversas situações práticas, mas outra medida de caráter harmônico tem valor prático maior, o Harmônico global.
O Harmônico Global dos números reais positivos x1,x2,...,xn é o número real positivo h, definido por:
isto é, o Harmônico Global h é um número que representa o inverso da soma dos inversos dos n números x1,x2,...,xn.
Significando na prática que este número h representa a capacidade média global da ação dos n agentes (entes ou indíviduos) agindo em conjunto de uma forma harmônica, isto é, h representa a capacidade de um único agente substituir todos os agentes ao mesmo tempo.
Apresentaremos vários problemas práticos que utilizam a definição Harmônico global e um exemplo com a Média Harmônica, assim como as fórmulas que devem ser usadas para obter as soluções, além das soluções.
Prolongando as retas com os segmentos AB e BC, será possível construir uma circunferência inscrita de raio rb nesta região aberta cujos lados são: o segmento AC e as retas contendo AB e BC. Esta última circunferência é denominada circunferência ex-inscrita. Da mesma forma é possível construir outras duas circunferências ex-inscritas de raios ra e rc. É possível constatar que o raio r é o harmônico global dos raios ra, rb e rc, isto é:
Este último problema é uma aplicação imediata da média harmônica e a resposta dada acima deverá dar um susto em muita gente descuidada, pois a maioria das pessoas "gostaria" que fosse 100 km/h.
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