Matematica Essencial: Projeto MatWeb(104) - Fracoes ProjetoMatWeb Ensino Fundamental: mod104 Frações Histórico sobre frações O conceito de fração Construindo frações Definição de fração Leitura de frações Tipos de frações Propriedades fundamentais Fração=classe de equivalência Número misto Simplificação de frações Comparação de frações Divisão de frações Elementos Históricos sobre frações Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas. As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o número fracionário, onde eles utilizavam as frações. Introdução ao conceito de fração Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho. Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo. Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão: Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga. Você concorda com esta divisão? Por quê? Como você resolveria esta situação para que todos comessem partes iguais? O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte. Elementos gerais para a construção de frações Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matemático denominado fração. O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N será representado por: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } Logo, todos os números naturais representam partes inteiras. Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, constituem os números racionais não-negativos, aqui representados por Q+, onde esta letra Q significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais. Q+ = { 0,..., 1/4,..., 1/2,..., 1,...,2,... } Numeral: Relativo a número ou indicativo de número. Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade. Definição de fração Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração. Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração. Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero. Exemplo: Consideremos a fração 1 4 1/4 1/4 1/4 1/4 Em linguagem matemática, as fracões podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum. A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes. Observação: A linguagem HTML (usada para construir páginas) não proporciona ainda um método simples para a implementação da barra de fração, razão pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a divisão de dois números. Leitura de frações O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1<d<10 A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como: Fração1/21/31/4 1/51/61/71/81/9 Leituraum meioum terço um quartoum quintoum sexto um sétimoum oitavoum nono O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d>10 Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos. Avos: Substantivo masculino, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se emprega na leitura das frações, cujo denominador é maior do que dez. FraçãoLeitura 1/11um onze avos 1/12um doze avos 1/13um treze avos 1/14um quatorze avos 1/15um quinze avos 1/16um dezesseis avos 1/17um dezessete avos 1/18um dezoito avos 1/19um dezenove avos O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10 Se o denominador for múltiplo de 10, lemos: FraçãoLeituraLeitura Comum 1/10um dez avosum décimo 1/20um vinte avosum vigésimo 1/30um trinta avosum trigésimo 1/40um quarenta avosum quadragésimo 1/50um cinqüenta avosum qüinquagésimo 1/60um sessenta avosum sexagésimo 1/70um setenta avosum septuagésimo 1/80um oitenta avosum octogésimo 1/90um noventa avosum nonagésimo 1/100um cem avosum centésimo 1/1000um mil avosum milésimo 1/10000um dez mil avosum décimo milésimo 1/100000um cem mil avosum centésimo milésimo 1/1000000um milhão avosum milionésimo Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um três mil quinhentos e noventa e sete avos. Tipos de frações 1/4 1/4 1/4 1/4 A representação gráfica mostra a fração 3/4 que é uma fração cujo numerador é um número natural menor do que o denominador. A fração cujo numerador é menor que o denominador, isto é, a parte é tomada dentro do inteiro, é chamada fração própria. A fração cujo numerador é maior do que o denominador, isto é, representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais é chamada fração imprópria. 3/3 1/3 1/3 1/3 + 2/3 1/3 1/3 1/3 = 5/3=1+2/3 1 1/3 1/3 1/3 A fração cujo numerador é um múltiplo do denominador, aparenta ser uma fração mas não o é, pois representa um número inteiro. Esta é chamada fração aparente. Caso particular: O zero é múltiplo de todo número inteiro, logo, as frações 0/3, 0/8 , 0/15 são consideradas aparentes, pois representam o número inteiro zero. Frações Equivalentes são aquelas que representam a mesma parte do inteiro. Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente pelos números naturais, teremos um conjunto infinito de frações que constitui um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada. 1/2 1/2 1/2 2/4 1/4 1/4 1/4 1/4 3/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 4/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Propriedades fundamentais Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada: 1 2 = 2 4 ou seja 1x2 2 = 2x2 4 Quando for possível dividir os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada: 12 6 = 16 8 ou seja 12÷2 6 = 16÷2 8 A fração como uma classe de equivalência A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante desta classe. Esta fração será denominada um número racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a 1/3, como: 1 2 3 4 5 6 Classe de 1/3 = { , , , , , ,··· , } 3 6 9 12 15 18 Número Misto Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador, podemos realizar uma operação de decomposição desta fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado número misto. Transformação de uma fração imprópria em um número misto 17/4 = (16 + 1 ) /4 = 16/4 + 1/4 = 4 + 1/4 Transformação de um número misto em uma fração imprópria 4 + 1/4 = 16/4 + 1/4 = (16 + 1)/4 = 17/4 Simplificação de Frações Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada. O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração irredutível, isto é, uma fração para a qual o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e o Denominador devem ser primos entre si. Essa simplificação pode ser feita através dos processos de divisão sucessiva e pela fatoração. A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fração por um mesmo número (fator comum ) até que ela se torne irredutível. 36 ÷2 18 ÷2 9 ÷3 3 = = = 60 ÷2 30 ÷2 15 ÷3 5 Respectivamente, dividimos os termos das frações por 2, 2 e 3. Observação: Outra maneira de divisão das frações é obter o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador e simplificar a fração diretamente por esse valor. Exemplo: Simplificar a fração 54/72, usando o método do Máximo Divisor Comum. Como MDC(54,72) = 18, então 54 : 18 = 3 e 72 : 18 = 4, logo: 54 3 = 72 4 Comparação de duas frações Por redução ao mesmo denominador Se duas frações têm denominadores iguais, a maior fração será aquela em que o numerador for maior. Exemplo: 3 4 < 5 5 Tanto os numeradores como os denominadores das duas frações são diferentes Deveremos reduzir ambas as frações a um denominador comum e o processo depende do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum entre os dois denominadores e este será o denominador comum às duas frações. Na seqüência, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador. Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e 3/5. Como os denominadores são 3 e 5, temos que MMC(3,5)=15. Reduzindo ambas as frações ao mesmo denominador comum 15, aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo denominador de cada fração e na seqüência multiplica-se esse respectivo número pelo numerador. 2 3 2x5 3x3 10 9 ? => > => > 3 5 3x5 5x3 15 15 As frações têm um mesmo numerador Se os numeradores de duas frações forem iguais, será maior a fração cujo denominador for menor. Exemplo: 3 3 > 4 8 Uma representação gráfica é: 3/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 3/4=6/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Divisão de frações Vamos considerar inicialmente a divisão D de duas frações: 1 2 D= ÷ 2 3 O modo mais fácil que conheço para explicar esta divisao é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é: 1 2 3 4 3 D= ÷ = ÷ = 2 3 6 6 4 Observamos que a fração 1/2 é equivalente a 3/6 e a fração 2/3 é equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6. 3/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 4/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Realizar a divisão entre dois números A e B fracionários ou não, é o mesmo que procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6? No desenho, observamos que os numeradores dessas frações estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas. Temos a impressão que este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso: 1 2 1 3 3 D= ÷ = × = 2 3 2 2 4 Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo número real c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim: a c a d a.d D= ÷ = × = b d b c b.c Projeto MatWeb: Matemática pela Internet. Construída por Patrícia E. Silva e Ulysses Sodré Atualizada em: 10/02/2001. Fa�a sua escolha! Interaula Clube Download Gr�tis Acessar sua conta CDs de Matem�tica CDs de Portugu�s
Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas. As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.
Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho. Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.
Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:
Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.
O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.
Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matemático denominado fração.
O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N será representado por:
Logo, todos os números naturais representam partes inteiras.
Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, constituem os números racionais não-negativos, aqui representados por Q+, onde esta letra Q significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais.
Numeral: Relativo a número ou indicativo de número. Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.
Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração.
Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração.
Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.
Exemplo: Consideremos a fração
Em linguagem matemática, as fracões podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum. A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes.
Observação: A linguagem HTML (usada para construir páginas) não proporciona ainda um método simples para a implementação da barra de fração, razão pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a divisão de dois números.
A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como:
Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos.
Se o denominador for múltiplo de 10, lemos:
Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um três mil quinhentos e noventa e sete avos.
A representação gráfica mostra a fração 3/4 que é uma fração cujo numerador é um número natural menor do que o denominador. A fração cujo numerador é menor que o denominador, isto é, a parte é tomada dentro do inteiro, é chamada fração própria.
A fração cujo numerador é maior do que o denominador, isto é, representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais é chamada fração imprópria.
A fração cujo numerador é um múltiplo do denominador, aparenta ser uma fração mas não o é, pois representa um número inteiro. Esta é chamada fração aparente.
Caso particular: O zero é múltiplo de todo número inteiro, logo, as frações 0/3, 0/8 , 0/15 são consideradas aparentes, pois representam o número inteiro zero.
Frações Equivalentes são aquelas que representam a mesma parte do inteiro. Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente pelos números naturais, teremos um conjunto infinito de frações que constitui um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada.
A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante desta classe. Esta fração será denominada um número racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a 1/3, como:
Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador, podemos realizar uma operação de decomposição desta fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado número misto.
Transformação de uma fração imprópria em um número misto
Transformação de um número misto em uma fração imprópria
Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada.
O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração irredutível, isto é, uma fração para a qual o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e o Denominador devem ser primos entre si. Essa simplificação pode ser feita através dos processos de divisão sucessiva e pela fatoração.
A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fração por um mesmo número (fator comum ) até que ela se torne irredutível.
Respectivamente, dividimos os termos das frações por 2, 2 e 3.
Observação: Outra maneira de divisão das frações é obter o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador e simplificar a fração diretamente por esse valor.
Exemplo: Simplificar a fração 54/72, usando o método do Máximo Divisor Comum.
Como MDC(54,72) = 18, então 54 : 18 = 3 e 72 : 18 = 4, logo:
Se duas frações têm denominadores iguais, a maior fração será aquela em que o numerador for maior.
Exemplo:
Deveremos reduzir ambas as frações a um denominador comum e o processo depende do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum entre os dois denominadores e este será o denominador comum às duas frações. Na seqüência, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador.
Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e 3/5. Como os denominadores são 3 e 5, temos que MMC(3,5)=15. Reduzindo ambas as frações ao mesmo denominador comum 15, aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo denominador de cada fração e na seqüência multiplica-se esse respectivo número pelo numerador.
Se os numeradores de duas frações forem iguais, será maior a fração cujo denominador for menor.
Uma representação gráfica é:
Vamos considerar inicialmente a divisão D de duas frações:
O modo mais fácil que conheço para explicar esta divisao é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:
Observamos que a fração 1/2 é equivalente a 3/6 e a fração 2/3 é equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.
Realizar a divisão entre dois números A e B fracionários ou não, é o mesmo que procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?
No desenho, observamos que os numeradores dessas frações estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.
Temos a impressão que este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:
Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo número real c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:
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