Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.

Vamos trabalhar com uma situação real e a partir dela, tirar algumas informações importantes. Observe a seguinte balança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

Podemos observar que toda equação tem:

• Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, denominados variáveis ou incognitas;
• Um sinal de igualdade, denotado por =.
• Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro;
• Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro.

Relacionadas com as equações de 1o. grau, temos as desigualdades de primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:

Nas desigualdades, deseja-se obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:

Para resolver esta desigualdade, deveremos seguir os seguintes passos:

Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6:

Para obter todos os números pares positivos satisfazendo à desigualdade

Observação: Quando aparece mais do que um dos quatro de desigualdade, temos várias desigualdades "disfarçadas" em uma.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as desigualdades:

Para resolver estas desigualdades, poderemos seguir o seguinte processo:

Concluímos que o conjunto solução é:

Para obter todos os números inteiros negativos satisfazendo às desigualdades

teremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:

Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma geral típica, pode ser:

onde a, b e c são valores dados.

Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:

Como exemplo, observamos que o conjunto solução contem os pares:

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

• Traçamos a reta 2x+3y=0;
• Identificamos um par ordenado fora da reta, por exemplo o par (1,1);
• Se este ponto satisfaz à desigualdade, colorimos a região que o contém.
• Se este ponto não satisfaz à desigualdade, colorimos a região que não contém o ponto.
• A região colorida representa o conjunto solução para a desigualdade.

Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações. Podemos observar que x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:

Um processo para obter a solução deste sistema : A idéia básica é isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação. Este é o método de substituição.

Consideremos o sistema:

Para extrair o valor de x na primeira equação, usamos o seguinte processo:

Para substituir o valor de x na segunda equação 3x-2y=18, seguiremos o seguinte:

Substituindo y=6 na equação x = 19 - (3y/2), obtemos:

x = 19 - 3×6/2
x = 19 - 18/2
x = 19 - 9 = 10

x + y = 2
x - y = 0

Observação: Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano. Há três possibilidades para construir estas retas no plano cartesiano:

• Retas concorrentes
  O sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas;
• Retas paralelas
  O sistema não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas;
• Retas coincidentes
  O sistema admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.

Acerca das três situações, apresentamos exemplos com as equações postas uma ao lado da outra e não uma sobre a outra como é comum encontrar nos livros.

Exemplos: Os mesmos problemas apresentados antes, vistos agora do ponto de vista de equações.

1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
   Resolução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será:

   C + A = 22
   C - A = 4

   Resposta: C = 13 e A = 9

2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
   Resolucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será:

   A + B = 100000
   A = 3B

   Resposta: A = 75000, B= 25000.

3. Uma casa com 260m² de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m² ?
   Resolução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será:

   3D + O = 260
   O = 140

   Resposta: D = 40

Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y. Uma forma geral pode ter a seguinte forma típica:

onde a, b, c, d, e e f são valores conhecidos.

Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

• Traçamos a reta 2x+3y=6 (em vermelho no desenho);
• Escolhemos um ponto fora da reta, por exemplo, o par (2,2);
• Observamos que este ponto satisfaz à primeira desigualdade;
• Colorimos o semi-plano contendo o ponto (2,2) (cor rosa).
• Traçamos a reta 5x+2y=20 (em azul no desenho);
• Escolhemos um ponto fora da reta, por exemplo, o próprio par já usado antes (2,2). (não é necessário que seja o mesmo)
• Observamos que este ponto satisfaz à segunda desigualdade;
• Colorimos o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a própria reta. (cor azul)
• Construímos a interseção (em vermelho) das duas regiões coloridas.
• Esta interseção é o conjunto solução para o sistema com as duas desigualdades.