Projeto MatWeb(108a): Razoes e Proporcoes ProjetoMatWeb Ensino Fundamental (108a) Razões e Proporções Razões Proporções Propriedade fundamental Razões/Proporções de Segmentos Polígonos Semelhantes Figuras Semelhantes Aplicações práticas das razões Razões A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por: AB Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque: 123 = 4 enquanto que a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois: 36 = 12 = 0,5 A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão: AB = A / B Exemplo: Consideremos a situação apresentada na tabela abaixo. Líquido S1 S2 S3 S4 Suco concentrado 3 6 8 30 Água 8 16 32 80 Suco pronto 11 22 40 110 Na situação S1, para cada 3 litros de suco concentrado coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto. Na situação S2, para cada 6 litros de suco concentrado coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto. Exemplo: Numa partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10. Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos. 10 : 20 = 1 : 2 = 0,5 o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso. Proporções Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade: AB = CD Notashistóricas A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma 6:3::8:4. Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento. Propriedade fundamental das proporções Numa proporção: AB = CD os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é: A . D = B . C Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois: 34 = 68 Exercício: Determinar o valor de X para que a razão x/3 esteja em proporção com 4/6. Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma: X3 = 46 É fácil ver que X=2. Razões e Proporções de Segmentos Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm. A________B m(AB)=2 cm C ______________ D m(CD)=6 cm Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas. m(AB)m(CD) = 26 = 13 Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 3 ou que CD está para AB na razão de 3 para 1. Polígonos Semelhantes Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. Exemplo: Consideremos os triângulos ABC e RST. Observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais. AB/RS = 5/2,5 = 2 BC/ST = 4/2 = 2 AC/RT = 3/1,5 = 2 Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por : ABC ~ DEF Figuras Semelhantes Dizemos que duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outras. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes. As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras. Exemplo: Nos triângulos observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais. AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2 Dizemos, então, que as figuras (triângulos) ABC e DEF são semelhantes e indicamos por: ABC ~ DEF Exemplo: Apresentamos o mapa do Brasil em duas escalas diferentes. Observamos que os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde. Aplicações práticas das razões Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo. Velocidade Média A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos) . Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso? vmédia = distância percorrida / tempo gasto A partir dos dados do problema, teremos: vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km. Escala Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade. escala = comprimento no desenho / comprimento real Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc. Exemplo: Observemos as figuras dos barcos: Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4 Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8 Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6 O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção. Densidade Demográfica O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região. Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra. Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km2. De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim: dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km2 densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2 Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes. Densidade de um Corpo Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m3, dm3 ou qualquer outra unidade de volume. Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm3 então para cada dm3 há uma massa de 8,75 kg. Curiosidade Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam. Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades SubstânciaDensidade [g/cm3] madeira0,5 gasolina0,7 álcool0,8 alumínio2,7 ferro7,8 mercúrio13,6 Pi: Uma razão muito famosa Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente: Pi = 3,1415926535 Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável: C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950... significando que C = Pi . D Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5 cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43 cm. Projeto MatWeb: Matemática pela Internet Construído por Desirée F. Balielo e Ulysses Sodré Atualizada em: Thursday, September 14, 2000 10:36 PM. Fa�a sua escolha! Interaula Clube Download Gr�tis Acessar sua conta CDs de Matem�tica CDs de Portugu�s
A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:
Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:
enquanto que a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:
A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:
Exemplo: Consideremos a situação apresentada na tabela abaixo.
Na situação S1, para cada 3 litros de suco concentrado coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto. Na situação S2, para cada 6 litros de suco concentrado coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.
Exemplo: Numa partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10. Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos.
o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:
Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.
Numa proporção:
os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
Exercício: Determinar o valor de X para que a razão x/3 esteja em proporção com 4/6. Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
É fácil ver que X=2.
Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.
Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.
Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 3 ou que CD está para AB na razão de 3 para 1.
Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.
Exemplo: Consideremos os triângulos ABC e RST.
Observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.
Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :
Dizemos que duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outras. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.
As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.
Exemplo: Nos triângulos
observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.
Dizemos, então, que as figuras (triângulos) ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:
Exemplo: Apresentamos o mapa do Brasil em duas escalas diferentes.
Observamos que os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.
Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.
Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?
A partir dos dados do problema, teremos:
o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:
O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.
Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.
Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km2. De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:
Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.
Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm3 então para cada dm3 há uma massa de 8,75 kg.
Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam. Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor.
Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:
significando que
Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5 cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43 cm.
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