Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:

A B   =   C D

• Os números A, B, C e D são os termos da proporção;
• Os números A e B são os dois primeiros termos da proporção;
• Os números C e D são os dois últimos termos da proporção;
• Os números A e C são os antecedentes da proporção;
• Os números B e D são os consequentes da proporção;
• A e D são os extremos da proporção;
• B e C são os meios da proporção.
• A divisão entre A e B (=a divisão entre C e D) é uma constante K, denominada constante de proporcionalidade K dessa razão.

Para a proporção

A B   =   C D

valem as seguintes propriedades:

1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

   A . D = B . C

2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:

   A+B A  = C+D C

   A-B A  = C-D C

3. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é:

   A+B B  = C+D D

   A-B B  = C-D D

4. A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é:

   A+C B+D  = A B  = C D

   A-C B-D  = A B  = C D

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.

Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que:

X Y  = K

Exemplos:

1. Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água amarela. A cada 15 minutos é medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos)

   15 minutos 50 cm	30 minutos 100 cm	45 minutos 150 cm

   Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência:

   Tempo (min)	Altura (cm)
   15	50
   30	100
   45	150

   Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do nível da água também é triplicada.

   Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.

   1. Quando o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Observamos que estas duas razões são iguais:

      15 30  = 50 100  = 1 2

   2. Quando o intervalo de tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a altura na razão 50/150. Então, notamos que essas razões são iguais:

      15 45  = 50 150  = 1 3

      Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela água é sempre igual, assim dizemos então que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.

2. Em média, um automóvel percorre 80 Km em 1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3 horas. (Km=quilômetro, h=hora)

   Construímos uma tabela da situação:

   Distância (Km)	Tempo (h)
   80	1
   160	2
   240	3

   Notamos que quando duplica o intervalo de tempo, duplica também a distância percorrida e quando o intervalo de tempo é triplicado, a distância também é triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta na mesma proporção.

   Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.

   1. Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância percorrida varia de 80 Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na razão de 1/2 enquanto a distância percorrida varia na razão 80/160. Assim temos que tais razões são iguais, isto é:

      1 2  = 80 160

   2. Quando o intervalo de tempo varia de 2 h para 3 h, a distância percorrida varia de 160 Km para 240 Km. Nesse caso, o tempo varia na razão 2/3 e a distância percorrida na razão 160/240 e observamos que essas razões são iguais, isto é:

      2 3  = 160 240

      Concluímos que o tempo gasto e a distância percorrida, variam sempre na mesma razão e isto significa que a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo gasto para percorrê-la, se a velocidade média do automóvel se mantiver constante.

Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:

X · Y = K

Exemplos:

1) A professora de um colégio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno.

Escolhendo apenas o melhor aluno, este aluno terá 24 livros.
Escolhendo os 2 melhores alunos, cada aluno terá 12 livros.
Escolhendo os 3 melhores alunos, cada aluno terá 8 livros.
Escolhendo os 4 melhores alunos, cada aluno terá 6 livros.
Escolhendo os 6 melhores alunos, cada aluno terá 4 livros.

Vamos colocar esses dados numa tabela:

Alunos escolhidos	Livros para cada aluno
1	24
2	12
3	8
4	6
6	4

De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:

• Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade.
• Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.
• Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.
• Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.

Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.

Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6.

Notemos que essas razões não são iguais, são inversas:

2 4  = 1 12/6

12 6  = 1 2/4

Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 4.

Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:

2 6  = 1 12/4

12 4  = 1 2/6

Podemos representar essas grandezas inversamente proporcionais através da função f(x)=24/x, apresentada no gráfico

2) Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 120 Km da primeira. Se o percurso é realizado em:

• 1 hora, o carro mantem uma velocidade média de 120 Km/h
• 2 horas, o carro mantem uma velocidade média de 60 Km/h
• 3 horas, o carro mantem uma velocidade média de 40 Km/h

Construiremos uma tabela desta situação:

Velocidade (Km/h)	Tempo (h)
120	1
60	2
40	3

De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade média de 120 Km/h. Quando diminui a velocidade à metade, ou seja 60 Km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a terça parte, 40 Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica.

Concluímos que para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais.

Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.

Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

X Y  = K

W Z  = K

Logo

X Y  = W Z

Exemplo: Na extremidade de uma mola colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10 Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54 cm. Se colocarmos um corpo com 15 Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola? (Kg=quilograma e cm=centímetro)

Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos:

Massa do corpo (Kg)	Deslocamento da mola (cm)
10	54
15	X

As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X.

Pelos dados da tabela, podemos montar a proporção:

10 15  = 54 X

Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta que apareceram na tabela anterior.

Desse modo:

10 · X = 15 · 54
10 · X = 810
X = 81

Logo, o deslocamento da mola será de 81 cm.

Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.

Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

A · B = K

C · D = K

segue que

A · B = C · D

logo

A C  = D B

Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo) Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do problema, temos:

Velocidade (Km/h)	Tempo (s)
180	20
200	T

Estamos relacionando grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.

180 200  = T 20

Observamos que os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.

Assim:

180 · 20 = 200 · X
200 · X = 3600
X = 3600/200 = 18

Se a velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18 s para realizar o mesmo percurso.

Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.

Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.

Situação	Grand.1	Grand.2	Grand.3	Grand.4	Grand.5	Grand...	Grand.?
Sit.1	A1	B1	C1	D1	E1	...	Z1
Sit.2	A2	B2	C2	D2	E2	...	Z2

Quando todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, à grandeza Z, resolvemos a proporção:

Z1 Z2  = A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 · ... A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · E2 · ...

Quando todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção:

Z1 Z2  = A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1 · ... A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · E2 · ...

Observe que B1 e B2 ficaram na posição invertida na segunda razão.

As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela que apareceram na tabela.

Por exemplo, se temos cinco (5) grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo que a primeira (A) e a terceira (C) são diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas (B) e (D) são inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção:

Z1 Z2  = A1 · B2 · C1 · D2 A2 · B1 · C2 · D1

Observação importante: O problema mais difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista geral, apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação.

Exemplos:

1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?

   Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

   No. de máquinas (A)	No. de dias(B)	No. de peças (C)
   5	6	400
   7	9	X

   A grandeza Número de peças (C) é a que servirá como referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

   Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Devemos fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.

   Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. Novamente devemos usar a lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de peças e se tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas grandezas também são diretamente proporcionais.

   Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver a proporção:

   400 X  = 5 · 6 7 ·9

   Resolvendo a proporção, obtemos:

   30 · X = 63 · 400
   30 · X = 25200
   X = 25200/30 = 840

   Se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças.

2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro)

   Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

   Quilômetros (A)	Horas por dia (B)	No. de dias (C)
   200	4	2
   500	5	X

   A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

   Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor número de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.

   Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia. Verificar que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias utilizaremos menor número de horas por dia e se tivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para p mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais.

   Desse modo

   2 X  = 200 · 5 500 · 4

   Resolvendo esta proporção, teremos:

   200 · 5 · X = 2 · 500 · 4
   1000 X = 4000
   X = 4

   Para percorrer 500 Km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias.

Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.

Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis.

Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é:

Produto = 10% · 80 = 10/100 · 80 = 800 / 100 = 8

Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos o produto:

Produto = M% · N = M · N / 100

Exemplos:

1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? Quantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?

   Par = 52% de 25 = 52% · 25 = 52 · 25 / 100 = 13

   Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar.

2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase?

   Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte forma:

   X% de 4 = 3 Assim:

   X/100 · 4 = 3
   4X/100 = 3
   4X = 300
   X = 75

   Logo, nessa primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%.

3. Numa indústria trabalham 255 mulheres. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria?

   Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser representado por:

   42,5% de X = 255

   Assim:

   42,5% · X = 255
   42,5 / 100 · X = 255
   42,5 · X / 100 = 255
   42,5 · X = 25500
   425 · X = 255000
   X = 255000/425 = 600

   Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens.

4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?

   Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço original e isto significa que

   92% de X = 690 logo

   92% · X = 690
   92/100 · X = 690
   92 · X / 100 = 690
   92 · X = 69000
   X = 69000 / 92 = 750

   O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.

Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar:

• O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital.
• A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa de juros.
• O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.
• O total pago no final do empréstimo (capital + juro) é denominado montante.

Para calcular os juros simples de um capital C, durante t períodos com a taxa de i% ao período, basta usar a fórmula:

j =  C · i · t 100

Exemplos:

1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja?

   A diferença entre os preços dados pela loja é:

   652,00 - 450,00 = 202,50

   A quantia mensal que deve ser paga de juros é:

   202,50 / 5 = 40,50

   Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser representado por:

   X% de 450,00 = 40,50
   X/100 · 450,00 = 40,50
   450 X / 100 = 40,50
   450 X = 4050
   X = 4050 / 450
   X = 9

   A taxa de juros é de 9% ao mês.

2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de juro. Qual foi o capital aplicado?

   O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente de juros foi de:

   1920,00 / 2 = 960,00

   Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por:

   3% de C = 960,00
   3/100 · C = 960,00
   3 C / 100 = 960,00
   3 C = 96000
   C = 96000/3 = 32000,00

   O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.