Projeto MatWeb(108c): Divisao Proporcional

Projeto
MatWeb		 Ensino Fundamental (108c)
Divisão Proporcional

Divisão em duas partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a p e q, deve-se montar um sistema com duas equações e duas incógnitas:

X1 + X2 = M
X1
p1		   =   X2
p2

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
p1		   =   X2
p2		   =   X1+X2
p1+p2		   =   M
p1+p2		   = K

O último número K é que proporciona a solução pois:

X1 = K p1 e X2 = K p2.

Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema:

X1 + X2 = 100
X1
2		   =   X2
3

A solução segue da seguinte forma:

X1
2		   =   X2
3		   =   X1+X2
2+3		   =   100
5		   = 20

Como X1/2 = 20 , então X1=40 e como X2/3=20 então X2=60.

Exemplo: Determinar dois números X1 e X2 diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta escrever:

X1 - X2 = 60
X1
8		   =   X2
3

A solução segue da seguinte forma:

X1
8		   =   X2
3		   =   X1-X2
8-3		   =   60
5		   = 12

Como X1/8 = 12 , então X1=96 e como X2/3=12 então X2=36.

Divisão em várias partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em várias partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas:

X1 + X2 + ... + Xn = M
X1
p1		   =   X2
p2		   =   ...
...		   =   Xn
pn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
p1		   =   X2
p2		   =   X1+X2+...+Xn
p1+p2+...+pn		   =   M
p1+p2+...+pn

Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes X1, X2 e X3 diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas:

X1 + X2 + X3 = 120
X1
2		   =   X2
4		   =   Xn
6

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
2		   =   X2
4		   =   X3
6		   =   X1+X2+X3
2+4+6		   =   120
12		   = 10

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X1=20, X2=40 e X3=60.

Exemplo: Determinar três números X, Y e Z diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2X+3Y-4Z=120.

A montagem do problema fica na forma:

2 X + 3 Y - 4 Z = 120
X
2		   =   Y
4		   =   Z
6

A solução segue das propriedades das proporções:

X
2		   =   Y
4		   =   Z
6		   =   2.X+3.Y-4.Z
2.2+3.4-4.6		   =   120
-8		   = -15

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X=-30, Y=-60 e Z=-90.

Também existem proporções com números negativos! :-)

Divisão em duas partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes X1 e X2 inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q.

Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas:

X1 + X2 = M
X1
1/p1		   =   X2
1/p2

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
1/p1		   =   X2
1/p2		   =   X1+X2
1/p1+1/p2		   =   M p1 p2
p1+p2		   = K

O último número K é que proporciona a solução pois:

X1 = K / p1 e X2 = K / p2.

Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes X1 e X2 inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema:

X1 + X2 = 120
X1
1/2		   =   X2
1/3

A solução segue da seguinte forma:

X1
1/2		   =   X2
1/3		   =   X1+X2
1/2 + 1/3		   =   120
5/6		   = 144

Assim X1 = 72 e X2=48.

Exemplo: Determinar dois números X1 e X2 inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema basta escrever:

X1 - X2 = 10
X1
1/6		   =   X2
1/8

A solução segue da seguinte forma:

X1
1/6		   =   X2
1/8		   =   X1-X2
1/6-1/8		   =   10
1/24		   = 240

Assim X1 = 40 e X2 = 30.

Divisão em várias partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas fica:

X1 + X2 + ... + Xn = M
X1
1/p1		   =   X2
1/p2		   =   ...
...		   =   Xn
1/pn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
1/p1		  =  X2
1/p2		  =  X1+X2+...+Xn
1/p1+1/p2+...+1/pn		  =  M
1/p1+1/p2+...+1/pn

Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes X1, X2 e X3 inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas:

X1 + X2 + X3 = 220
X1
1/2		   =   X2
1/4		   =   Xn
1/6

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
1/2		   =   X2
1/4		   =   X3
1/6		   =   X1+X2+X3
1/2+1/4+1/6		   =   220
11/12		   = 240

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X1=120, X2=60 e X3=40.

Exemplo: Determinar três números X, Y e Z inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2X+3Y-4Z=10.

A montagem do problema fica na forma:

2 X + 3 Y - 4 Z = 10
X
1/2		   =   Y
1/4		   =   Z
1/6

A solução segue das propriedades das proporções:

X
1/2		  =  Y
1/4		  =  Z
1/6		  =  2 X + 3 Y - 4 Z
2.(1/2)+3.(1/4)-4.(1/6)		  =  10
13/12		  =  120
13

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X=60/13, Y=30/13 e Z=20/13.

Também existem proporções com números fracionários! :-)

Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a p1 e p2 e inversamente proporcionais a q1 e q2, deve-se decompor este número M em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a p1/q1 e p2/q2.

Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas:

X1 + X2 = M
X1
p1/q1 		  =   X2
p2/q2

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
p1/q1 		  =   X2
p2/q2 		  =   X1+X2
p1/q1+p2/q2 		  =   M q1 q2
p1q2+p2q1 		  = K

O último número K é que proporciona a solução pois:

X1 = K p1/q1 e X2 = K p2/q2.

Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a 2 e 3 e inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar o sistema:

X1 + X2 = 58
X1
2/5		   =   X2
3/7

A solução segue da seguinte forma:

X1
2/5		   =   X2
3/7		   =   X1+X2
2/5 + 3/7		   =   58
29/35		   = 70

Assim X1 = (2/5).70=28 e X2=(3/7).70=30.

Exemplo: Determinar dois números X1 e X2 diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever:

X1 - X2 = 21
X1
4/6		   =   X2
3/8

A solução segue da seguinte forma:

X1
4/6		   =   X2
3/8		   =   X1-X2
4/6-3/8		   =   21
7/24		   = 72

Assim X1 = (4/6).72=48 e X2 = (3/8).72=27.

Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p1/q2, ..., p1/qn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas fica:

X1 + X2 + ... + Xn = M
X1
p1/q1 		  =   X2
p2/q2 		  =   ...
... 		  =   Xn
pn/qn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
1/p1		  =  X2
1/p2		  =  X1+X2+...+Xn
1/p1+...+1/pn 		 =  M
1/p1+...+1/pn

Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes X1, X2 e X3 diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas:

X1 + X2 + X3 = 115
X1
1/4		   =   X2
2/5		   =   Xn
3/6

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
1/4		   =   X2
2/5		   =   X3
3/6		   =   X1+X2+X3
1/4+2/5+3/6		   =   115
23/20		   = 100

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X1=(1/4)100=25, X2=(2/5)100=40 e X3=(3/6)100=50.

Exemplo: Determinar três números X, Y e Z diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2X+3Y-4Z=10.

A montagem do problema fica na forma:

2 X + 3 Y - 4 Z = 10
X
1/2		   =   Y
10/4		   =   Z
2/5

A solução segue das propriedades das proporções:

X
1/2		  =  Y
10/4		  =  Z
2/5		  =  2 X + 3 Y - 4 Z
2(1/2)+3(10/4)-4(2/5)		  =  10
69/10		  =  100
69

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X=50/69, Y=250/69 e Z=40/69.

Regra de Sociedade

Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn.

Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:

pk = Ck tk

e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:

C = C1 + C2 + ... + Cn

A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.

Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas P1, P2 e P3 sendo que P1 entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, P2 entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e P3 entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?

Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:

p1 = 50x40=2000; p2 = 60x30=1800; p3 = 30x40=1200

A montagem do problema fica na forma:

X + Y + Z = 25000
X
2000		   =   Y
1800		   =   Z
1200

A solução segue das propriedades das proporções:

X
2000		   =   Y
1800		   =   Z
1200		   =   X + Y + Z
5000		   =   25000
5000		   = 5

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X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.

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