Projeto MatWeb(109): Expressoes Algebricas ProjetoMatWeb Ensino Fundamental (109) Expressões algébricas Utilidade Expr. algébricas Elementos históricos Expressões Numéricas Expressões algébricas Prioridade das operações Exemplos práticos Monômios e polinômios Identificando expr. algébricas Valor numérico expr.algébrica A regra dos sinais (X e ÷) Regras de potenciação Eliminação de parênteses Operações expr. algébricas Alguns Produtos notáveis A importância das expressões algébricas No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas. Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta. Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante. Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T. As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas. Expressão algébricaObjeto matemáticoFigura A = b x hÁrea do retângulo A = b x h / 2Área do triângulo P = 4 aPerímetro do quadrado Elementos históricos Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos. O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico. Expressões Numéricas São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Exemplos a = 7 + 5 + 4 b = 5 + 20 - 87 c = (6 + 8) - 10 d = (5 x 4) + 15 Expressões algébricas São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Exemplos A = 2a + 7b B = (3c + 4) - 5 C = 23c + 4 As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico. Prioridade das operações numa expressão algébrica Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem: Potenciação ou Radiciação Multiplicação ou Divisão Adição ou Subtração Observações: Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves. A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto . ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos. Exemplos: Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim P = 2(5) + 10 P = 10 + 10 P = 20 Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos: A = 2(9) + 10 A = 18 + 10 A = 28 Quando A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28. Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo: X = 4.(5) + 2 + 7 - 7 X = 20 + 2 - 0 X = 22 Quando A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, é igual a 22. Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C=-2 e D=1. Então: Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2) Y = 18 + 2 + 9 + 1 -16 Y = 30 -16 Y = 14 Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14. Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico. Exemplos práticos Lembrando-se que o triângulo eqüilátero é aquele que possui os três lados congruentes (mesma medida), calcular o perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm. Sugestão: O perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a. P = a + a + a = 3a P = 3 x 5 cm P = 15 cm Calcular a área do quadrado cujo lado mede 7 cm. Sugestão: A expressão algébrica da área do quadrado de lado L é: A = L x L = L2. A = L x L A = 7 x 7 A = 49 cm2 Observação: Se mudarmos o valor do lado para L=8 cm, o valor da área mudará. A = L x L A = 8 x 8 A = 64 cm2 Exercícios: Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo: Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos: O dobro desse número O sucessor desse número O antecessor desse número (se existir) A terça parte desse número somado com seu sucessor Como caso particular do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor de cada expressão. Calcular a área do trapézio ilustrado na figura ao lado, sabendo-se que esta área é dada pela (fórmula) expressão algébrica: Área = (B + b) x h / 2 Monômios e polinômios São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela: Nome No. determos Exemplo monômio um m(x,y) = 3 xy binômio dois b(x,y) = 6 x2y - 7y trinômio três f(x) = a x2 + bx + c polinômio vários p(x)=aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an Identificação das expressões algébricas Muitas vezes as expressões algébricas aparecem na forma: 3x2y onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como: p(x,y) = 3x2y para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y. Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática. Valor numérico de uma expressão algébrica identificada É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos. Exemplo: Se p(x,y)=3x2y, então para x=7 e y=2 temos que: p(7,2) = 3 . 72. 2 = 294 Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico: p(-1,5) = 3 . (-1)2. 5 = 3 · 5 = 15 mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos: p(7,2) = 3 . (-7)2. 2 = 294 A regra dos sinais (multiplicação ou divisão) (+1) × (+1) = +1 (+1) × ( -1) = -1 ( -1) × (+1) = -1 ( -1) × ( -1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1 (+1) ÷ ( -1) = -1 ( -1) ÷ (+1) = -1 ( -1) ÷ ( -1) = +1 Regras de potenciação Para todos x e y em R-{0} e m e n números inteiros, tem-se que: Propriedades Alguns exemplos xo = 1(x diferente de zero) 5o = 1 xm xn = xm+n 52 . 54 = 56 xm ym = (xy)m 52 32 = 152 xm ÷ xn = xm-n 520 ÷ 54 = 516 xm ÷ ym = (x/y)m 52 ÷ 32 = (5/3)2 (xm)n=xmn (53)2 = 1252 = 15625 = 56 xm÷n = (xm)1/n 53÷2 = (53)1/2 = 1251/2 x-m = 1 ÷ xm 5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125 x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n 5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2 = 1 ÷ (125)1/2 Eliminação de parênteses em Monômios Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Observação: Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo. Exemplo: A = -(4x) + (-7x) = -4x - 7x = -11x B = -(4x) + (+7x) = -4x + 7x = 3x C = +(4x) + (-7x) = 4x - 7x = - 3x D = +(4x) + (+7x) = 4x + 7x = 11x Operações com expressões algébricas de Monômios Adição ou Subtração de Monômios Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações. Exemplo: A = -(4x) + (-7x) = -4x - 7x = -11x B = -(4x) + (+7x) = -4x + 7x = 3x C = +(4x) + (-7x) = 4x - 7x = -3x D = +(4x) + (+7x) = 4x + 7x = 11x Multiplicação de Monômios Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada: Exemplo: A = -(4x2y).(-2xy) = + 8 x3y2 B = -(4x2y).(+2xy) = - 8 x3y2 C = +(4x2y).(-2xy) = - 8 x3y2 D = +(4x2y).(+2xy) = + 8 x3y2 Divisão de Monômios Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada: Exemplo: A = -(4x2y)÷(-2xy) = +2 x = 2x B = -(4x2y)÷(+2xy) = -2 x C = +(4x2y)÷(-2xy) = -2 x D = +(4x2y)÷(+2xy) = +2 x = 2x Potenciação de Monômios Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as literais e escrever a resposta de uma forma simplificada: Exemplo: A = (+4x2y)3 = 43 x2y x2y x2y = 256 x6 y3 B =(-4x2y)3 = -43 x2y x2y x2y = -256 x6 y3 Alguns Produtos notáveis No link Produtos Notáveis (33 identidades), existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes. Quadrado da soma de dois termos Sabemos que x2=x.x, y2=y.y, mas não é verdade que x2 + y2 = (x+y)2 a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é: (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números. Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3: x + y X x + y ------------------- x y + y2 x2 + x y ------------------- x2 + 2xy + y2 Compareasoperações 10 + 3 X 10 + 3 ------------------- 30 + 9 100 + 30 ------------------- 100 + 60 + 9 (1o + 2o)2 = (1o)2 +2 (1o)(2o) + (2o)2 Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo: (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 Exemplos: (x + 8)2 = x2 + 2.x.8 + 82 = x2 + 16x + 64 (3k + y)2 = (3k)2 + 2.3k.y + y2 = 9k2 + 6ky + y2 (2x/5 + 1)2 = (2x/5)2 +2.(2x/5).1 + 12 = 4x2/25 + 4x/5 + 1 Exercícios: Desenvolver as expressões algébricas. (a + 8)2 = (4y + 2)2 = (9k/8 + 3)2 = Pensando um pouco: Se (x + 7)2 = x2 + [ ] + 49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]? Se (5a + [ ])2 = 25a2 + 30a + [ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]? Se ([ ] + 9)2 = x2 + [ ] + 81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]? Se (4b + [ ])2 = l6b2 + 36b + [ ], substitua os [ ] por algo coerente. Se (c + 8)2 = c2 + [?] + [??], substitua os [ ] por algo coerente. Quadrado da diferença de dois termos Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo: (x-y)2 = x2 - 2xy + y2 Exemplos: (x - 4)2 = x2 - 2.x.4 + 42 = x2 - 8x + 16 (9 - k)2 = 92 - 2.9.k + k2 = 81 - 18k + k2 (2/y - x)2 = (2/y)2 - 2.(2/y).x + x2 Exercícios: Complete o que falta. (5x - 9)2 = (k - 6s)2 = (p - [ ])2 = p2 - 10p + [ ] Produto da soma pela diferença de dois termos Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos. x + y X x - y ------------------- -xy - y2 x2 + xy ------------------- x2 - y2 Compare as operações 10 + 3 X 10 - 3 ------------------- -30 - 9 100 + 30 ------------------- 100 - 9 (1o)2 - (2o)2 = (1o+2o) . (1o-2o) Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y. (x+y)(x-y) = x2 - y2 Exemplo: (x + 2)(x - 2) = x2 - 2x + 2x - 4 = x2 - 4 (g - 8)(g + 8) = g2 - 8g + 8g - 64 = g2- 64 (k - 20)(k + 20) = k2 - 400 (9 - z)(9 + z) = 81 - z2 Exercícios: Complete. (6 - m)(6 + m) = (b + 6)(b - 6) = (6 + b)(b - 6) = (6 + b)(6 - b) = (100 - u)(100 + u) = (u - 100)(100 + u) = Construída por Valdirene M. Santos e Ulysses Sodré Fa�a sua escolha! Interaula Clube Download Gr�tis Acessar sua conta CDs de Matem�tica CDs de Portugu�s
No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.
Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.
As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.
Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.
O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.
São expressões matemáticas que envolvem operações com números.
Exemplos
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
Observações:
Exemplos:
P = 2(5) + 10 P = 10 + 10 P = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2(9) + 10 A = 18 + 10 A = 28
Quando A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
X = 4.(5) + 2 + 7 - 7 X = 20 + 2 - 0 X = 22
Quando A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, é igual a 22.
Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2) Y = 18 + 2 + 9 + 1 -16 Y = 30 -16 Y = 14
Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
Sugestão: O perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a.
P = a + a + a = 3a P = 3 x 5 cm P = 15 cm
Sugestão: A expressão algébrica da área do quadrado de lado L é: A = L x L = L2.
A = L x L A = 7 x 7 A = 49 cm2
Observação: Se mudarmos o valor do lado para L=8 cm, o valor da área mudará.
A = L x L A = 8 x 8 A = 64 cm2
Exercícios:
São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:
Muitas vezes as expressões algébricas aparecem na forma:
onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:
para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.
Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.
É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.
Exemplo: Se p(x,y)=3x2y, então para x=7 e y=2 temos que:
Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:
mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:
Para todos x e y em R-{0} e m e n números inteiros, tem-se que:
Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais.
Observação: Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.
Exemplo:
No link Produtos Notáveis (33 identidades), existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes.
Sabemos que x2=x.x, y2=y.y, mas não é verdade que
a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:
Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.
Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:
Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:
Exercícios: Desenvolver as expressões algébricas.
Pensando um pouco:
Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:
Exercícios: Complete o que falta.
Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.
Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.
Exercícios: Complete.
Fa�a sua escolha!
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