Projeto MatWeb(111b): Funcao quadratica ProjetoMatWeb Ensino Fundamental (111b) A função quadrática (Parábola) A função quadrática (parábola) Aplicações práticas das parábolas O sinal do coeficiente a Sinal de Delta e a concavidade A função quadrática (Parábola) A função quadrática f : R --> R é definida por f(x) = a x2 + b x + c onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão a x2 + b x + c = 0 representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola. Aplicações práticas das parábolas Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são: faróis de carros Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental. antenas parabólicas Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente. radares Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente para a antena parabólica e para os faróis. lançamentos de projéteis Quando se lança um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena. Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus. O sinal do coeficiente do termo dominante O sinal do coeficiente do termo dominante desta função polinomial indica a concavidade da parábola ("boca aberta"). Se a>0 então a concavidade estará voltada para cima e se a<0 estará voltada para baixo. Exemplo: O gráfico da parábola dada por f(x)=x2+2x-3 pode ser visualizado no desenho, em anexo. O modo de construir esta parábola é atribuir valores para x e obter os valores correspondentes para f(x). A tabela a seguir mostra alguns pares ordenados de pontos do plano cartesiano onde a curva deverá passar: x-3-2-1 012 f(x)0-3-4 -305 Como a>0, a concavidade da nossa parábola estará voltada para cima. Exemplo: Construir o gráfico da parábola dada por f(x)=-x2+2x-3 A maneira de resolver esse exemplo é análoga ao primeiro, só que nesse caso, a<0, logo sua concavidade será voltada para baixo. A diferença entre esta parábola e a do exemplo anterior é que houve a mudança do sinal do coeficiente do termo dominante. A construção da tabela nos dá: x-10123 f(x)-6-3-2-3-6 Relacionamento entre o discriminante e a concavidade Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do discriminante com o sinal do coeficiente do termo dominante da função polinomial. DeltaA parábola no plano cartesiano a>0 concavidade (boca)voltada para cima a<0 concavidade (boca)voltada para baixo D > 0 Corta o eixo horizontalem 2 pontos D = 0 Toca em 1 pontodo eixo horizontal D < 0 Não corta oeixo horizontal Exercícios: Construir o gráfico cartesiano de cada uma das funções do segundo grau: f(x) = x2 - 3x -4 f(x) = -3 x2 + 5x - 8 f(x) = 4 x2 - 4x +1 Máximos e mínimos com funções quadráticas Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de máximos e mínimos. Exemplo: Determinar o retângulo de maior área que é possível construir se o seu perímetro mede 36 m. Se x é a medida do comprimento e y é a medida da largura, a área será dada por: A(x,y) = x y mas acontece que 2 x + 2 y = 36 ou seja x + y = 18 assim A(x) = x(18-x) Esta parábola corta o eixo OX nos pontos x=0 e x=18 e o ponto de máximo dessa curva ocorre no ponto médio entre x=0 e x=18, logo, o ponto de máximo desta curva ocorre em x=9. Observamos que este não é um retângulo qualquer mas é um quadrado pois x=y=9 e a área máxima será A=81 m2 Projeto MatWeb: Matemática pela Internet Construída por Andresa F. Barbieri e Ulysses Sodré Atualizada em: November 25, 2000. Fa�a sua escolha! Interaula Clube Download Gr�tis Acessar sua conta CDs de Matem�tica CDs de Portugu�s
A função quadrática (Parábola)
A função quadrática f : R --> R é definida por
onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão
representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.
Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:
Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.
Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente.
Quando se lança um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena. Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus.
O sinal do coeficiente do termo dominante desta função polinomial indica a concavidade da parábola ("boca aberta"). Se a>0 então a concavidade estará voltada para cima e se a<0 estará voltada para baixo.
Exemplo: O gráfico da parábola dada por f(x)=x2+2x-3 pode ser visualizado no desenho, em anexo.
O modo de construir esta parábola é atribuir valores para x e obter os valores correspondentes para f(x). A tabela a seguir mostra alguns pares ordenados de pontos do plano cartesiano onde a curva deverá passar:
Como a>0, a concavidade da nossa parábola estará voltada para cima.
Exemplo: Construir o gráfico da parábola dada por f(x)=-x2+2x-3
A maneira de resolver esse exemplo é análoga ao primeiro, só que nesse caso, a<0, logo sua concavidade será voltada para baixo.
A diferença entre esta parábola e a do exemplo anterior é que houve a mudança do sinal do coeficiente do termo dominante. A construção da tabela nos dá:
Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do discriminante com o sinal do coeficiente do termo dominante da função polinomial.
Exercícios: Construir o gráfico cartesiano de cada uma das funções do segundo grau:
Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de máximos e mínimos.
Exemplo: Determinar o retângulo de maior área que é possível construir se o seu perímetro mede 36 m.
Se x é a medida do comprimento e y é a medida da largura, a área será dada por:
mas acontece que
assim
Esta parábola corta o eixo OX nos pontos x=0 e x=18 e o ponto de máximo dessa curva ocorre no ponto médio entre x=0 e x=18, logo, o ponto de máximo desta curva ocorre em x=9. Observamos que este não é um retângulo qualquer mas é um quadrado pois x=y=9 e a área máxima será
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