Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.

Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.

Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:

PONTO: estrela no céu, pingo de caneta, furo de agulha num papel, ...

RETA: fio esticado, lados de um quadro, ...

PLANO: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...

As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:

• Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;
• Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;
• Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).

Observação: Por um único ponto passam infinitas retas.

De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto.

Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.

As expressões "infinitos pontos" ou "infinitas retas", significam "tantos pontos ou retas quantas você desejar".

Pontos colineares
São pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.

Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os próprios A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto chamado origem e terminam em outro ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.

Segmentos Consecutivos
Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.

AB e BC são consecutivos	MN e NP são consecutivos	EF e GH não são consecutivos

Segmentos Colineares
Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.

AB e CD são colineares	MN e NP são colineares	EF e FG não são colineares

Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações:

Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares

Os segmentos de reta EF e FG são consecutivos, mas não são colineares

Segmentos Congruentes
Dois segmentos são congruentes quando têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde "~" é o símbolo de congruência.

Segmentos Adjacentes
Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum.
MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.

M é o ponto médio do segmento de reta AB, se M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes, ou seja, AM~MB. O ponto médio é o ponto de equilíbrio de um segmento de reta.

Construção do ponto médio com régua e compasso

1. Com o compasso centrado no ponto A, traçamos um arco com o raio igual à medida do segmento AB;
2. Com o compasso centrado no ponto B, traçamos um outro arco com o mesmo raio que antes;
3. Os arcos terão interseção em dois pontos localizados fora do segmento AB;
4. Traçamos a reta (vermelha) ligando os pontos obtidos na interseção dos arcos;
5. O ponto médio M é a interseção da reta (vermelha) com o segmento AB.

Propriedade da paralela
Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta paralela. Este fato é verdadeiro apenas na Geometria Euclidiana, que é a Geometria do nosso cotidiano.

Construção de paralela com régua e compasso
Dada uma reta r e um ponto C fora dessa reta, podemos construir uma reta paralela à reta dada que passa por C. Este tipo de construção gerou muitas controvérsias e culminou com outras definições de geometrias denominadas "não Euclidianas", que embora sejam utilizadas na prática, não se comportam da forma usual que um ser humano olha localmente para um objeto geométrico.

1. Centrar o compasso no ponto C, traçar um arco que corta a reta em E.
2. Com a mesma abertura do compasso, colocar a ponta seca do mesmo no ponto E e traçar um outro arco cortando a reta em F.
3. Do ponto E, com abertura igual à corda CF, traçar um arco para obter D.
4. Traçar uma reta ligando os pontos C e D e observar que a reta que passa em CD é paralela à reta que passa em EF.

1. Centrar o compasso no ponto P e com uma abertura maior do que a distância de P à reta e traçar um arco cortando a reta em dois pontos A e B;
2. Centrar o compasso no ponto A e com um raio igual à medida do segmento AB traçar um arco;
3. Centrar o compasso no ponto B e com a mesma abertura que antes traçar outro arco cortando o arco obtido antes no ponto C;
4. A reta que une os pontos P e C é perpendicular à reta dada, Portanto AB é perpendicular a PC.

1. Centrar o compasso no ponto P e marcar os pontos A e B sobre a reta que estão à mesma distância de P;
2. Centrar o compasso no ponto A e raio igual à medida de AB para traçar um arco;
3. Centrar o compasso no ponto B e com o mesmo raio, traçar um outro arco;
4. Os arcos cruzam-se em C;
5. A reta contendo PC é perpendicular à reta contendo o segmento AB.

Ângulos alternos e colaterais ainda podem ser internos ou externos:

Propriedades das retas tranversais

1. Se duas retas paralelas (em cor preta) são cortadas por uma reta transversal (em cor vermelha), os ângulos correspondentes são congruentes, isto é, têm as mesmas medidas.
   
   
2. Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, os ângulos alternos internos são congruentes.
   
   
   
3. Na figura ao lado, observamos que o ângulo 3 também é congruente aos ângulos 1 e 2.
   
   
4. Quando duas retas r e s são paralelas e uma reta transversal t é perpendicular a uma das paralelas, então ela também será perpendicular à outra.

• agudos;
• retos;
• obtusos.

• os dois ângulos são retos ou
• um dos ângulos é agudo e o outro obtuso.

Em todos os exercícios abaixo, você deve obter as medidas dos ângulos, levando em consideração cada figura anexada.

1. Calcular a medida do ângulo x.
   Solução:
   x/2 = 40^o, pois são ângulos agudos de lados perpendiculares x=80^o
   
   

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2. Calcular a medida do ângulo x.
   Solução:
   2x + 40^o=180^o (ângulos de lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso)
   x=70^o
   
   

   ---

   

3. Calcular as medidas dos ângulos x e y.
   Solução:
   x+2x/3=180^o (ângulos colaterais externos)
   3x+2x=540^o
   x=108^o
   Mas
   y=2x/3 (ângulos opostos pelos vértices)
   y=72^o

   ---

   

4. Calcular as medidas dos ângulo a, b e c.
   Solução:
   b+120^o=180^o (ângulos com lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso)
   b = 60^o
   
   Mas
   a=c (ângulos agudos com lados perpendiculares)
   e
   a+b+90^o=180^o(soma dos ângulos de um triângulo)
   a = 30^o e c = 30^o

   ---

   

5. Calcular as medidas dos ângulos a e b, se as retas r, s e t são paralelas.
   Solução:
   a = 35^o (r //s e os ângulos são correspondentes)
   b - a = 70^o (s // t e os ângulos são correspondentes)
   b = 105^o

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6. As retas r e s são paralelas. Determinar as medidas dos ângulos a, b e c.

   Solução:

   a + 125^o = 180^o (ângulos com lados paralelos um agudo e outro obtuso)
   b + 60^o = 125^o (ângulos agudos com lados paralelos)
   
   Assim;
   a = 55^o, b= 65^o