Introduziremos aqui diversos conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Posteriormente construiremos uma página mais aprofundada sobre o mesmo assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns. Algumas aplicações da trigonometria são:

• Determinação da altura de um certo prédio.
  
• Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
• Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.
• Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
• Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

É um triângulo que possui um dos seus ângulos medindo noventa graus, ou seja, possui um ângulo reto, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus, então os outros dois ângulos medirão 90 graus.

Observação: Quando a soma de dois ângulos mede 90 graus, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.

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Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:

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Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.

Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.

Ângulos

O triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.

Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.

A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos.


A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.

• Segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa a.
• Segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa a.
• Segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa a.

Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.

Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta.

Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB serão indicadas por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.

Agora iremos estudar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.

• m = projeção de c sobre a hipotenusa.
• n = projeção de b sobre a hipotenusa.
• a = m+n.
• h = média geométrica entre m e n.

Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CAD=B e DAB=C.

Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.

Assim:

a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m

Temos também outras relações a partir do triângulo inicial ABC.

Como a=m+n então, somando c² com b² , teremos:

que resulta no Teorema de Pitágoras:

A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.

As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo será indicado pela letra x.

Se tomarmos um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa igual a 1 (uma) unidade de medida, então o seno do ângulo sob análise será o seu cateto oposto, e o cosseno do mesmo, será o seu cateto adjacente. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno do mesmo ângulo.

Para todo ângulo x (em radianos), vale a importante relação: