Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.

Exemplo: As pirâmides do Egito, que eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração de deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

• Base
  A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
• Vértice
  O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
• Eixo
  Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
• Altura
  Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
• Faces laterais
  São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.
• Arestas Laterais
  São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.
• Apótema
  É a altura de cada face lateral.
• Superfície Lateral
  É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
• Aresta da base
  É qualquer um dos lados do polígono da base.

triangular	quadrangular	pentagonal	hexagonal
base:triângulo	base:quadrado	base:pentágono	base:hexágono

Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.

	R	raio do circulo circunscrito
	r	raio do círculo inscrito
	l	aresta da base
	ap	apótema de uma face lateral
	h	altura da pirâmide
	al	aresta lateral
As faces laterais são triângulos isósceles congruentes

Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro material.

No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.
As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.
Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A_face a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:

Exemplo: Consideremos a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo apótema mede 4cm.

Como A_lateral = n.A_face e como a pirâmide é quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos triângulos, assim:

Desse modo

Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a área lateral.

Tomaremos a aresta como a=8 cm e a altura como h=10 cm. Primeiro vamos calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal. Calcularemos o raio r da base. Como a base é um hexágono regular temos que r = (a/2)R[3]

r = 8 R[3] / 2 = 4 R[3]

a_p²= r² + h²
a_p²= (4 R[3])² + 10²
a_p²= 48 + 100 = 148 = 4·37
a_p = 2 R[37]

A área da face é dada por:

A_face = 8·2[37]/2 = 8·R[37]
A_lateral = n·A_face = 6·8·R[37] = 48·R[37]

A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:

Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?

Já vimos que a área lateral é dada por A_lateral=n.A_face. Como cos(60º) = (lado/2)/a, então 1/2 = 9/a logo a = 18. Segue que

A_face = b·h/2 = (18·18)/2 = 324
A_lateral = 4·324 = 1296
A_base = 18² = 324

A_total = A_lateral + A_base
A_total = 1296 + 324 = 1620

Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Ajude-os calcular a área, sabendo-se que 2 passos = 1 metro.

A_base = 2·2 = 4 m²
A_lateral = 4·2·1 = 8 m³

A_total = S_lateral + S_base
A_total = 4·8 = 32 m²

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:

Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contem. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.
Como V_piram=A_base·h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que: A_base=a², logo:

A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2·R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado.

Dessa forma:

h² = L² - Q²
h² = 36 - 8 = 28
h = 2 R[7]

V = (1/3)·16·2R[7]=(32/3) R[7]

Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta corresponente da base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais:

• Numa pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.
• Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.
• Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.

	Vseção	Volume da seção até o vértice (volume da pirâmide menor)
	Vpiram	Volume da pirâmide (maior)
	Aseção	Área da seção transversal (base da pirâmide menor)
	Abase	Área da base da pirâmide (maior)
	h	Distância do vértice à seção (altura da pirâmide menor)
	H	Altura da pirâmide (maior)

Assim:

Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 3cm?

Como

V_pirMenor / V_pirâmide = h³ / H³
V_pirMenor / 108 = 6³ / 9³
V_pirMenor = 32

V_tronco = 108 - 32 = 76 cm³