A conexão entre vetores em R² e R³

Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R² e no espaço R³. Na verdade, o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre realizado da mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que existem em R³.

Definição de Vetor

Um vetor (geométrico) no espaço R³ é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade. Esta classe de objetos é representada por um segmento de reta desta família (representante) que tem as mesmas características.

O representante escolhido, quase sempre é o vetor v cuja origem é (0,0,0) e extremidade é o terno ordenado (a,b,c) do espaço R³. Denotamos este vetor por: v=(a,b,c).

Quando a origem do vetor não é a origem do sistema R³, realizamos a diferença entre a extremidade e a origem do vetor, como no exemplo que segue.

Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2,3) e extremidade em (7,12,15), ele é dado por v=(6,10,12), pois:

Observação: Existe uma definição mais ampla do conceito de vetor (não necessariamente geométrica) que envolve uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.

Soma de vetores

Se v=(v₁,v₂,v₃) e w=(w₁,w₂,w₃), definimos a soma de v e w, por:

Propriedades da soma de vetores

• Fecho: Para quaisquer u e v de R³, a soma u+v está em R³.
• Comutativa: Para todos os vetores u e v de R³:
  v + w = w + v
• Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R³:
  u + (v + w) = (u + v) + w
• Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0,0) em R³ tal que para todo vetor u de R³, se tem:
  Ø + u = u
• Elemento oposto: Para cada vetor v de R³, existe um vetor -v em R³ tal que:
  v + (-v) = O

Aplicações geométricas

• Aplicação 1: Ponto Médio (segmento)
  Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v₁=(x₁,y₁,z₁) e v₂=(x₂,y₂,z₂), o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y,z) onde
  x = (x₁+x₂)/2;    y = (y₁+y₂)/2;     z = (z₁+z₂)/2

• Aplicação 2: Centro de Gravidade (triângulo)
  Consideremos os vértices de um triângulo, dados pelas extremidades dos vetores v₁=(x₁,y₁,z₁), v₂=(x₂,y₂,z₂) e v₃=(x₃,y₃,z₃). O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor g=(x,y,z) onde
  x =(x₁+x₂+x₃)/3;    y =(y₁+y₂+y₃)/3;    z =(z₁+z₂+z₃)/3

Diferença de vetores

Se v=(v₁,v₂,v₃) e w=(w₁,w₂,w₃), definimos a diferença entre v e w, por:

Exercício: Dados v=(1,3,4) e w=(1,8,12), construa no espaço os vetores v, w, -v, -w, v + w e v - w.

Produto de um escalar por um vetor

Se v=(a, b, c) e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, como:

Propriedades do produto de escalares por vetores

Quaisquer que sejam os escalares k, k₁ e k₂ e os vetores v e w vetores:

1. 1 v = v
2. (k₁ k₂)v = k₁ (k₂ v) = k₂ (k₁ v)
3. k₁ v = k₂ v e v é não nulo, então k₁ = k₂.
4. k (v + w) = k v + k w
5. (k₁ + k₂)v = k₁ v + k₂ v

Módulo de um vetor

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b,c) é definido por:

Vetores Unitários em R³

Um vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Observação(base canônica de R³): Existem 3 importantíssimos vetores unitários simples no espaço R³:

Estes três vetores formam a base canônica para o espaço R³, o que significa que qualquer vetor no espaço R³ pode ser escrito como combinação linear dos vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então:

Observação(Construção de um vetor unitário): Para obter um vetor unitário com a mesma direção e sentido que um vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

Observação(Construção de um vetor paralelo): Para construir um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar v multiplicado por um escalar, isto é:

Observação: As três projeções ortogonais do vetor v=(a,b,c) sobre os planos X=0, Y=0 e Z=0, são respectivamente, dadas por:

Exercício: Quais são os vetores que representam as projeções ortogonais do vetor v=(3,4,12)? Quais são os módulos de todos estes vetores? Esboce um gráfico com estes vetores.

Produto escalar

Dados os vetores v=(v₁,v₂,v₃) e w=(w₁,w₂,w₃), definimos o produto escalar ou produto interno entre v e w, como o número real obtido por:

Exemplos: O produto escalar entre v=(1,2,5) e w=(2,-7,12) é:

O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) é:

Exercício: Faça um gráfico, com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v e w do último exemplo.

Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o escalar k:

1. v.w = w.v
2. v.v = |v| |v| = |v|²
3. u.(v + w) = u.v + u.w
4. (k v).w = v.(k w) = k (v.w)
5. |k v| = |k| |v|
6. |u.v| < |u| |v| (desigualdade de Schwarz)
7. |u + v| < |u| + |v|(desigualdade triangular)

Ângulo entre dois vetores (Produto Escalar)

O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:

onde T é o ângulo formado pelos vetores v e w.

Com esta última definição, podemos obter o ângulo T (pertencente ao intervalo [0,]) entre dois vetores v e w, através de:

Exercício: Realizar uma análise acerca do produto escalar de dois vetores, quando T=0, T=/2 e T=.

Exercício: Determinar o ângulo entre os vetores v=(1,1,0) e w=(1,1,1). Nunca se esqueça de construir um gráfico com esses objetos matemáticos.

Vetores ortogonais

Dois vetores v e w são ortogonais se:

Exercício: Dado o vetor v=(2,3,7), quais e quantos são os vetores ortogonais a v no espaço R³? Construa geometricamente esta situação.

Produto vetorial

Dados os vetores v=(v₁,v₂,v₃) e w=(w₁,w₂,w₃), definimos o produto vetorial (produto exterior) entre v e w, como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado como se fosse:

Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6), o produto vetorial é dado por vxw = -3i +6j -3k = (-3,6,-3), obtido a partir do "determinante":

Observação: Pelo exemplo acima, observamos que o produto vetorial é um vetor em R³.

Tomando v=(1,0,0) e w=(0,1,0), que estão no plano do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será vxw=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste plano, daí a razão deste produto ser denominado exterior. Na verdade, o produto vetorial v x w é um vetor que sempre será ortogonal a v e também a w, isto é, o produto vetorial será ortogonal ao plano que contem os dois vetores v e w.

Propriedades do Produto Vetorial

1. vxw = - wxv
2. ux(v + w) = uxv + uxw
3. k(vxw) = (k v)xw = vx(k w)
4. ixi = jxj = kxk = 0
5. ixj = k, jxk = i, kxi = j
6. Se v e w são não nulos e vxw = 0, então v e w são paralelos.

Ângulo entre dois vetores (produto vetorial)

O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:

onde T é o ângulo formado pelos vetores v e w, e U é um vetor unitário que é paralelo ao produto vetorial v x w, logo U é perpendicular a v e também a w.

Tomando o módulo em ambos os lados da igualdade acima, obteremos:

Isto significa que com esta última definição de produto vetorial, podemos obter o ângulo T entre dois vetores v e w, através de:

sendo que T é um número real pertencente ao intervalo [0,].

Aplicações do Produto Vetorial

• O módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretado como sendo a área
  A_{paralelogramo} = | vxw |

  do paralelogramo que tem dois lados como os vetores v e w, com origens no mesmo ponto.

• A metade do módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretada como sendo a área do triângulo que tem dois lados como os vetores v e w, com origens no mesmo ponto, isto é:
  A_triângulo = (1/2) | vxw |

Produto misto

Dados os vetores u=(u₁,u₂,u₃), v=(v₁,v₂,v₃) e w=(w₁,w₂,w₃), definimos o produto misto entre u, v e w, como, o número real obtido a partir do determinante:

Aplicações do Produto Misto

• O módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do paralelepípedo
  V_{paralelepípedo} = |[u,v,w]|

  que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem.

• Um sexto do módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do tetraedro (pirâmide com base triangular)
  V_tetraedro = (1/6) |[u,v,w]|

  que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem.