Construir um triângulo equilátero ABC no plano cartesiano sabendo-se que existe um ponto P que está distante 7 unidades de A, 6 unidades de B e 8 unidades de C e ao final obter a sua área.

Solução:

Embora a solução esteja apresentada na sequência, sugiro que o visitante interessado neste problema, tente resolvê-lo sem ver os procedimentos apresentados aqui pois, este é um problema simples na sua proposição mas envolve muita matemática para a sua resolução.

Vamos supor inicialmente que exista um triângulo equilátero com lado de comprimento igual a u unidades. Assim, podemos construí-lo com os vértices nos pontos A=(0,0), B=(u,0) e C=(u/2, u/2*R[3]) do plano cartesiano. Aqui R[z] significa a raiz quadrada de z.

Pela informação do problema, existe um ponto P=(v,w) localizado a distâncias 7, 6 e 8 unidades, respectivamente dos vértices A, B e C do triângulo.

Em função da fórmula da distância entre dois pontos no plano, podemos escrever:

Eq1 ---> v² + w² = 49
Eq2 ---> (v-u)² + w² = 36
Eq3 ---> (v-u/2)² + (w-R[3]/2*u)² = 64

Subtraindo membro a membro as equações Eq1 e Eq2, obtemos o valor de v em função de u:

Substituindo este valor de v na Eq2, obtemos duas respostas para w:

Substituindo agora v e w na Eq3, obtemos uma equação biquadrada na variável u:

Tomando u² = x, teremos uma equação do segundo grau:

Resolvendo esta equação do segundo grau e voltando às variáveis originais u, temos quatro respostas:

Em princípio, eu espera obter apenas uma solução com u positivo!

Para cada resposta obtida para u temos valores correspondentes para v e para w, assim temos quatro respostas:

Com um pouco de cuidado e muito cálculo, observamos que [u1; v1; w1] e [u4; v4; w4] satisfazem ao problema mas [u2; v2; w2] e [u3; v3; w3] não satisfazem ( estas são denominadas soluções estranhas ao problema).

Podemos então construir os dois primeiros triângulos para esta situação:

Triângulo 1: (localizado no primeiro quadrante)

• A = (0; 0)
• B = (12,03894270; 0)
• C = (6,019471350, 18,05841405)
• P = (6,559385873; 2,444270233)

Triângulo 2: (localizado no segundo quadrante)

• A = (0; 0)
• B = (-2,015901460; 0)
• C = (-1,007950073; 1,745821876)
• P = (-4,232314683, 5,575617670)

Com um pouco de imaginação é possível observar que existem também dois outros triângulos simétricos em relação ao eixo horizontal com as mesmas propriedades. A única diferença é que as coordenadas de w devem mudar de sinal.

Triângulo 3: (localizado no terceiro quadrante)

• A = (0; 0)
• B = (-2,015901460; 0)
• C = (-1,007950073; -1,745821876)
• P = (-4,232314683, -5,575617670)

Triângulo 4: (localizado no quarto quadrante)

• A = (0; 0)
• B = (12,03894270; 0)
• C = (6,019471350, -18,05841405)
• P = (6,559385873; -2,444270233)

Em qualquer das quatro situações você pode obter a área do triângulo pela fórmula

onde U é o ângulo formado pelos lados de comprimentos a e b.

Assim, a área do triângulo de área maior será

e a área do triângulo de área menor será

Teste: Para você aprender um pouco mais de Geometria, observe o desenho ao lado e calcule o valor de h, apenas com as informações contidas no desenho.