Construa um triângulo isósceles com uma base horizontal CF, de modo que o ângulo oposto ao segmento CF tenha A=20^o. A partir de C trace um segmento de reta que forma um ângulo de 60^o com o segmento CF até encontrar o lado oposto ao ângulo C no ponto D. A partir de F trace um outro segmento de reta que forma um ângulo de 50^o com o segmento CF até encontrar o lado oposto ao ângulo F no ponto B. Ligue os pontos B e D. Qual é a medida do ângulo y correspondente ao ângulo ABD?
Observação: Todos os detalhes desta construção podem ser vistas no desenho, em anexo.

Apresentamos a seguir uma solução não trivial do Prof. Matias para o problema de encontrar um certo ângulo num triângulo isósceles, a partir de algumas informações dadas. Matias é docente do Dep. de Matemática da Universidade Estadual de Londrina-PR e apresentou uma solução construtiva com o objetivo de demonstrar que os triângulos ABD e CBE (sombreados em amarelo no desenho) são semelhantes. Tal fato seguirá em virtude de ambos possuírem ângulos de 20^o e os dois lados que formam tais ângulos serem proporcionais.

1. Tomar inicialmente a medida do segmento AC como p e a medida do segmento CF como b, isto é: m(AC)=p e m(CF)=b.

2. Usar a Lei dos senos sobre o triângulo ACD:
   Como sen(140^o) = sen(40^o) = 2sen(20^o)cos(20^o), então:
   

3. Desse modo o segmento AD pode ser escrito em função de p como:
   

4. Usando a Lei dos senos sobre o triângulo ABF, teremos:
   

5. Como sen(130^o) = sen(50^o) e sen(30^o)=1/2, então o segmento AB pode ser escrito em função de p como:
   

6. Usando a Lei dos senos sobre o triângulo BCE, teremos:
   

7. Como o triângulo BCF é isósceles pois os ângulos CBF e CFB têm medidas iguais a 50^o, então segue que m(BC)=b.

8. Como sen(110^o)=sen(70^o), segue que:
   

9. Dessa forma, podemos escrever a medida do segmento CE em função de b como:

10. Lembrando que:
    e

11. Tomando a divisão de AD por AB obteremos o mesmo valor numérico que a divisão de CE por b, o que significa que:
    

12. Esta última proporção nos informa que os segmentos AD e AB que formam o ângulo de BAD de 20^o no triângulo BAD, são proporcionais aos segmentos CE e BC que formam o ângulo BCE de 20^o no triângulo BCE.
    

13. Assim, os triângulos ABD e CBE são semelhantes e como m(CBE)=50^o e m(ABD)=y e como os ângulos CBE e ABD são congruentes, segue que:
    y=50^o

14. Logo, o ângulo ADB mede 110^o e o ângulo BDC mede 30^o, o que garante que o ângulo BDF mede 70^o.

15. O resto é fácil!

Talvez existam outras soluções mais simples para este problema, mas esta é muito bonita. Caso conheça outra forma para a resolução do problema, você poderá enviar-me que eu publicarei em minha Home Page, dando o crédito ao "resolvedor".