Projeto MatWeb (Geometria Plana): Exercicios de areas poligonais

Projeto MatWeb Geometria Plana
Exercícios resolvidos de Áreas poligonais

Notação: Escreveremos R[x] para a raiz quadrada de x, onde x>0.

  1. Mostre de duas maneiras diferentes como é possível dividir cada uma das regiões poligonais abaixo em triângulos.

  2. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?

    Solução A2 = (2b)(2h) = 4 bh = 4 A1

  3. A razão entre as medidas dos lados de dois quadrados é 1:3. Qual é a razão entre as áreas desses dois quadrados?

    Resposta A razão é 1:9

  4. É possível determinar a área de um paralelogramo, conhecendo-se apenas as medidas de seus lados?

    Resposta Não, pois a área de um paralelogramo depende de sua altura, que por sua vez depende do ângulo entre seus lados como está ilustrado na figura ao lado.

  5. É possível obter a área de um losango cujo lado mede 10 cm?

    Resposta Não, pois os ângulos entre os lados de dois losangos, podem ser diferentes.

  6. Qual é a área de um losango que possui diagonais medindo 10 cm e 16 cm?

    Resposta A = 80 cm2

  7. Calcular a área dos quadriláteros indicados abaixo:
    1. Quadrado com lado medindo 5/3 cm.
    2. Quadrado com perímetro 12cm.
    3. Retângulo com comprimento 3 cm e perímetro 10 cm.
    4. Quadrado com perímetro 12 R[3] cm.

    Resposta
    1. 25/9 cm2
    2. 9 cm2
    3. 6 cm2
    4. 27 cm2

  8. Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo seja equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm?

    Resposta Lado = 10,8 cm

  9. Se um retângulo possui o comprimento igual ao quíntuplo da largura e a área é igual a 80 cm2, quais são as medidas de seus lados?

    Resposta 4 cm e 20cm.

  10. Nos ítens abaixo, indicamos uma mudança na medida de um dos lados. Que mudança deveremos realizar na medida do outro lado do retângulo para que a área deste permaneça constante?

    1. A base é multiplicada por 3;
    2. A altura é dividida por 2;
    3. A base é aumentada 25%;
    4. A base é diminuída 25%.

    Resposta
    1. A altura é dividida por 3
    2. A base é multiplicada por 2
    3. A altura é diminuída 20%
    4. A altura é aumentada 1/3

  11. Calcular a área de um retângulo cujo lado mede s e a diagonal mede d.

    Resposta Devemos calcular a medida do outro lado de retângulo, seja x este lado, pelo teorema de Pitágoras temos que:
    d2 = s2 + x2
    x2= d2 - s2
    x = R[d2 - s2]
    Area = s . x = s . R[d2 - s2]

  12. Um triângulo retângulo tem um ângulo de 30 graus. Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por a.

    Resposta Dado o triângulo ABC, traçamos BD de tal modo que o ângulo CBD também tenha 30o, o triângulo ABD é um triângulo equilátero, assim;

      AB = BD = a e AC = (1/2)a
    Como:
      (AB)2 = (AC)2 + (BC)2

    segue que;
      a2 = (a/2)2 + (BC)2
      (BC)2=(3/4)a2
      BC = R[3]a/2
    Assim, se a hipotenusa mede a, os catetos medem (1/2)a e (1/2)R[3]a

  13. Um triângulo retângulo tem um ângulo de 45 graus. Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por a.

    Resposta Dado o triângulo ABC, com hipotenusa AB = a, pelo teorema de Pitágoras,

      a2 = AC2 + CB2

    como o triângulo é retângulo com um ângulo de 45o temos AC = CB, então;

      a2 =2(AC)2

      AC=a/R[2]

    Assim, se a hipotenusa mede a, os catetos são congruentes e medem a.R[2]/2.

  14. Calcular a área de um paralelogramo conhecendo-se o ângulo Â=30o e cada um dos dados abaixo:

    1. AD=4R[3] cm e AB = 8 cm
    2. AX=3 cm e AB = 4R[2] cm
    3. AB=10 cm e AD = 6 cm
    4. AB = 6 cm e AX= 3R[3]cm

    Resposta
    1. 16R[3] cm2
    2. 4R[6) cm2
    3. 30 cm2
    4. 18 cm2

  15. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo retângulo isósceles em cima. Se um dos catetos do triângulo mede 7 metros, qual é a área frontal desta casa?

    Resposta Área=77/2 m2

  16. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo retângulo isósceles em cima. Se a diagonal do quadrado mede 2R[2] m, calcular a área frontal desta casa.

    Resposta
      d2=a2+a2=2a2
      (2R[2])2=2a2
      8 = 2a2
      a=2 m
      Área do quadrado = 4 m2
    Como AB=BC e o triângulo é retângulo:
      a2 = AB2 + BC2 = 2 AB2
      AB2= 4/2 = 2
      AB = R[2]
      Área do triângulo = (AB . AB)/2 = R[2].R[2]/2 = 2/2 = 1 m2
    Área total = área do quadrado+área do triângulo = 4+1 = 5 m2

  17. O lado de um triângulo equilátero mede 10 cm. Qual deve ser a medida do lado de um triângulo equilátero que possui o:

    1. dobro da área do primeiro triângulo?
    2. triplo da área do primeiro triângulo?
    3. quádruplo da área do primeiro triângulo?

    Resposta
    1. L=10.R[2] cm
    2. L=10.R[3] cm
    3. L=20 cm

  18. Os números em cada linha na tabela abaixo, referem-se às medidas de um triângulo, onde são conhecidas duas informações dentre: Base, Altura e Área. Complete a tabela com os dados que estão faltando.

     Base (cm)Altura (cm) Área (cm2)
    a. 510
    b.5 12
    c.2R[3]3R[3] 
    d. 612

    Resposta
     Base (cm)Altura (cm) Área (cm2)
    a.4510
    b.524/5 12
    c.2R[3]3R[3]9
    d.46 12

  19. Os números em cada linha na tabela abaixo referem-se às medidas de um trapézio, onde b1 e b2 são as bases, h é a altura e A a área. Complete a tabela com os dados que estão faltando.

      b1 (cm) b2 (cm) h (cm) A (cm2)
    a.1064 
    b.53 24
    c. 5312
    d.1/21/31 
    e.5R[2]3R[2] 4R[6]

    Resposta
     b1 (cm)b2 (cm)h (cm) A (cm2)
    a.1064 32
    b.53 624
    c.3 5312
    d.1/21/31 5/12
    e.5R[2]3R[2] R[3]4R[6]

  20. Calcular a medida do lado de um triângulo eqüilátero com a área igual a 9.R[3] u.a.

    Resposta L=3.R[2] u

  21. Um fazendeiro possuía uma área de terras no formato de um triângulo equilátero com lado medindo 6 Km e comprou do vizinho mais uma área triangular isósceles cuja base mede 4 Km, de acordo com a figura, em anexo. Qual era a área que o fazendeiro possuía e qual é a nova área?

    Resposta O fazendeiro possuía 18R[3] Km2 e a nova área é (18R[3] + 4R[2]) Km2

  22. Um trapézio isósceles com bases medindo 12 cm e 16 cm está inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Calcular a área do trapézio, se o centro da circunferência está no interior do trapézio.
    Resposta Na figura ao lado a altura h do trapézio é a+b, onde:
      a2 = 102 - 82 = 36
      a = 6
      b2 = 102 - 62 = 64
      b = 8
      h = 6 + 8 = 14

      A=(1/2)(B+b)h = (1/2)(16+12).14 = 196 cm2

  23. Um trapézio isósceles com bases medindo 12 cm e 16 cm está inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Calcular a área do trapézio, se o centro da circunferência não está no interior do trapézio.
    Resposta Na figura ao lado a altura h do trapézio é dada por h=b-a, onde:
      a2 = 102 - 82 = 36
      a = 6
      b2 = 102 - 62 = 64
      b=8
      h = 8 - 6 = 2 cm

      A = (1/2)(B+b)h = (1/2)(16+12).2 = 28 cm2

  24. Calcular a área do trapézio isósceles traçado ao lado se todos os seus lados são tangentes à circunferência e as medidas são dadas em cm.
    Resposta Vamos construir um triângulo isósceles com o prolongamento dos lados não paralelos do trapézio, de acordo com a figura abaixo.

    Tomaremos h=AE e r o raio da circunferência inscrita no trapézio.
    BC=18 e DF=8, logo GC=9 e EF=4.
    Como o trapézio BCFD é isósceles, o triângulo ABC é isósceles.
    O triângulo AGC é retângulo com ângulo reto em G.
    O triângulo AEF é retângulo com ângulo reto em E e por semelhança de triângulos, temos que:
      AE / EF = AG / GC implica que h / 4 = (h + 2r) / 9
      h = 8r / 5
    ATO O triângulo ATO tem um ângulo reto em T, porque T é ponto de tangência. Este triângulo ATO também é semelhante ao triângulo AGC, logo:

    AT/TO = AG/GC
    m(AT)/r = (h+2r)/9 (*)

    Acontece que

      AT = R[h2+2hr] = R[16r2/25 + 2r(8r)/5] = 12r / 5
    Substituindo este valor em (*), obtemos:
    12r / 5r = (h+2r) / 9
    12/5 = (8r/5 + 2r) / 9
    r = 6

    Atrapézio = (Bmaior + Bmenor).h/2

    Atrapézio = (18+8).2.6/2 = 78


  25. Em um plano coordenado, os vértices de um paralelogramo são os pontos A=(-3,-2), B=(6,-2), C=(10,3) e D=(1,3). Determinar a área do paralelogramo ABCD.

    Resposta

      AB = 6 - (-3) = 9
      Altura = 3 - (-2) = 5

    Área do Paralelogramo = 9. 5 = 45 u.área.

  26. Em um plano coordenado, os vértices de um paralelogramo são os pontos A=(-7,-5), B=(2,-3), C=(6,3) e D=(-3,1). Determinar a área do paralelogramo ABCD.

  27. Na figura ao lado representando o triângulo PQR, o segmento TS é paralelo ao segmento PQ. Calcular a razão entre a área do triângulo RTS e a área do trapézio PQST, sob as seguintes condições:

    1. RT=1 cm, RP=2 cm
    2. RT=2 cm, TP=3 cm
    3. TS=2 cm, PQ=3 cm
    4. TS=R[3] cm, PQ=2 cm

    Resposta
    1. 1:3
    2. 4:21
    3. 4:5
    4. 3:1
    Dica: Encontrar primeiro a razão entre as áreas dos triângulos PQR e TSR.

  28. Calcular a área de um triângulo equilátero cujas medidas são dadas por:
    1. Lado = 6 cm
    2. Apótema = 3 cm
    3. Raio = 6 cm
    4. Perímetro de medida t cm

    Resposta
    1. Área = 9.R[3] cm2
    2. Área = 27.R[3] cm2
    3. Área = 27.R[3] cm2
    4. Área = t2.R[3]/36 cm2

  29. Calcular a área de um hexágono regular cujas medidas são dadas por:
    1. Lado = 4 cm
    2. Apótema = 2R[3] cm
    3. Raio = 6 cm
    4. Perímetro = t cm

    Resposta
    1. 24.R[3] cm2
    2. 24.R[3] cm2
    3. 54.R[3] cm2
    4. 2t2 R[3] cm2

  30. ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto em C. Se m(AB)=15 cm e m(BC)=9 cm, qual é a área do quadrado de lado AC?

    Resposta A =144 cm2

  31. Qual é a origem e o significado de cada uma das seguintes palavras:

    1. apótema
    2. hipotenusa
    3. cateto
    4. abscissa

  32. Os números em cada linha na tabela abaixo referem-se as medidas do polígono regular indicado, onde L é o lado, a é o apótema, p é o perímetro e A a área. Complete a tabela com os dados que estão faltando.

      L (cm) a (cm) p (cm) A (cm2)
    Triângulo   2 R[3]    
    Pentágono   k 4  
    Hexágono k      
    octógono t k    
    Decágono     40 40k

    Resposta
      L (cm) a (cm) p (cm) A (cm2)
    Triângulo 12 2 R[3] 36 36 R[3]
    Pentágono 4/5 k 4 2 k
    Hexágono k k R[3]/2 6 k (3 k2R[3])/2
    octógono t k 8t 4tk
    Decágono 2k 2k 40 40k

  33. Dois pentágonos semelhantes tem os lados correspondentes com medidas na razão 1:2. Qual é a razão entre as suas áreas? Qual é a razão entre os seus perímetros?

    Resposta A razão entre as áreas é 1:4 e a razão entre as perímetros é 1:2

  34. Dois hexágonos semelhantes possuem áreas, respectivamente iguais a, 36 cm2 e 64 cm2. Qual é a razão entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada hexágono)?

    Resposta Razão=3:4

  35. Dois pentágonos semelhantes possuem áreas, respectivamente iguais a, 50 cm2 e 100 cm2. Qual é a razão entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada pentágono)?

    Resposta Razão=R[2]:2

  36. No triângulo ABC, desenhado ao lado, AB mede 5 cm e altura CD mede 8 cm. Qual deverá ser a medida do lado de um quadrado com área igual à área do triângulo ABC?

    Resposta L = 2R[5]

  37. A área de um polígono de n lados é 25/4 da área de um outro polígono semelhante com n lados. Qual é a razão entre os perímetros dos dois polígonos?

    Resposta Razão=5:2

  38. Os pontos X, Y e Z são os pontos médios dos lados de um triângulo ABC. Qual é a razão entre a área do triângulo ABC e do triângulo XYZ?

    Resposta Razão=1:4

  39. O lado menor de um polígono de área igual a 196 cm2 mede 4 cm. Calcular a área de um polígono semelhante a este que tem o seu lado menor medindo 8 cm.

    Resposta Área = 784cm2

  40. Os lados de um quadrilátero medem 3 cm, 4 cm, 5 cm e 6 cm. Calcular as medidas dos lados de um quadrilátero semelhante a este com área 9 vezes maior.

    Resposta L1=9 cm, L2=12 cm, L3=15 cm, L4=18 cm

  41. Qual é a razão entre as áreas de dois triângulos equiláteros, sabendo-se que um deles está inscrito em uma circunferência de raio 6 cm e o outro circunscrito na mesma circunferência?

    Resposta Razão=1:4

  42. Na figura ao lado D e E são, respectivamente, os pontos médios dos lados do triângulo AC e BC. Qual é a razão entre as áreas dos triângulos DEC e ABC?

    Resposta Razão=1:3

  43. Dados dois quadrados, um deles inscrito em uma semicircunferência de raio r e o outro inscrito em uma circunferência de mesmo raio. Qual é a relação existente entre suas áreas?

    Resposta Razão=2:5

  44. Um hexágono regular é inscrito em uma circunferência de raio r e um segundo hexágono regular é circunscrito na mesma circunferência. Se a soma das áreas dos dois hexágonos é 56 R[3] u.a, qual é o raio da circunferência?

    Resposta R=4 u.

  45. O quadrilátero ABCD é um retângulo e os pontos E, F e G dividem a base AB em quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo é:

    Resposta Razão=1/8

  46. O retângulo ABCD tem área 105 m2. Qual a medida do lado do quadrado EFGC?

    Resposta Seja x o lado do quadrado, assim;
    (10+x).(2+x) = 105
    x2 + 12x - 85 = 0
    x = 5 m

  47. De um quadrado cujo lado mede 8 cm, são recortados triângulos retângulos isósceles nos quatro cantos de modo que o octógono formado seja regular como mostra a figura ao lado. Qual é a medida do lado do octógono?

    Resposta L=4(2-R[2]) cm

Página construída por Sônia F. L. Tóffoli
Atualizado em: Saturday, July 15, 2000 05:45 AM.

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