Fórmula de Heron: Área de região triangular

1. Área de uma região triangular
   Teorema: Se um triângulo possui os lados medindo a, b e c e o seu perímetro é indicado por 2p=a+b+c, então a área da região triangular será dada por

   onde R[x] é minha notação para a raiz quadrada de x>0.

   Demonstração: Seja o triângulo com a base a e os outros lados com b e c. Os lados b e c têm projeções ortogonais, indicadas por m e n sobre o lado a. Tomando h como a medida da altura do triângulo, relativa ao lado a, segue que a área da região triangular será dada por A=a.h/2. Temos a formação de mais dois pequenos triângulos retângulos e com eles, podemos extrair as relações:
   

   
   Subtraindo membro a membro a segunda relação da primeira e usando a terceira, obtemos:

   
   assim

   
   Somando e subtraindo membro a membro, estas últimas expressões, teremos:

   
   Como a+b+c=2p, aparecerão as expressões:

   
   Temos então que

   4 a2 h2 = 4 a2 (b2 - m2) = 4 a2 (b+m)(b-m) = 4 a2 (b + a2 + b2 - c2 2a )(b - a2 + b2 - c2 2a )  =  (2ab + a2 + b2 - c2)(2ab - a2 - b2 + c2)  =  [(a+b)2 - c2][c2 -(a-b)2]  =  (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) = 2p.2(p-a).2(p-b).2(p-c)  =  16p(p-a)(p-b)(p-c)

   
   Como A=a.h/2, então

   
   Extraindo a raiz quadrada, obtemos:

2. Exemplo numérico
   Qual é a área do triângulo cujos lados medem 35cm, 45cm e 50cm?
   Solução: Tomando a=35, b=45, c=50, teremos que 2p=35+45+50, logo p=65. Assim:

3. Cálculo on-line da área de uma região triangular
   Para calcular a área da região triangular com lados a, b e c, entrar com as medidas positivas nas caixas pr�pria e d� um clique no botão ÁREA.
   

   a: b: c: