Definição de vetor

Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade).

• A direção é caracterizada pela reta que contem o segmento.
• O sentido é caracterizado pelo sentido do movimento.
• O módulo é o comprimento do segmento.

Uma quarta característica de um vetor é formada por dois pares ordenados: o ponto onde ele começa (origem) e um outro ponto onde ele termina (extremidade) e as coordenadas do vetor são dadas pela diferença entre as coordenadas da extremidade e as coordenadas da origem.

Observação: Existe uma definição muito mais ampla do conceito de vetor (não necessariamente geométrica) que envolve uma gama bastante variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.

Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2) e extremidade em (7,12), ele é dado por v=(6,10), pois:

Esta classe de objetos é representada por um segmento de reta (representante) desta família que tem as mesmas características.

O representante escolhido, quase sempre é o vetor com a origem em (0,0) e extremidade em (a,b) no plano cartesiano e que será denotado por

Soma de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:

Propriedades da soma de vetores

• Fecho: Para quaisquer u e v de R², a soma u+v está em R².
• Comutativa: Para todos os vetores u e v de R²:
  v + w = w + v
• Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R²:
  u + (v + w) = (u + v) + w
• Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em R² tal que para todo vetor u de R², se tem:
  O + u = u
• Elemento oposto: Para cada vetor v de R², existe um vetor -v em R² tal que:
  v + (-v) = O

Aplicações geométricas

Aplicação 1: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v₁=(x₁,y₁) e v₂=(x₂,y₂), o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y) onde

Aplicação 2: Consideremos os vértices de um triângulo, dados pelas extremidades dos vetores v₁=(x₁,y₁), v₂=(x₂,y₂) e v₃=(x₃,y₃). O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor g=(x,y) onde

Diferença de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:

Produto de um escalar por um vetor

Se v=(a,b) é um vetor e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, como:

Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam k e m escalares, v e w vetores:

• 1 v = v
• (k m) v = k (m v) = m (k v)
• k v = m v implica k = m, se v for não nulo
• k (v+w) = k v + k w
• (k + m)v = k v + m v

Exercício: Dados os vetores v=(3,4) e w=(8,12), construa no plano cartesiano os vetores: v, w, -v, -w, v+w e v-w.

Módulo de um vetor

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:

Exercício: Verificar que para qualquer número real t, o vetor v=(cos(t),sen(t)) tem módulo igual a 1.

Vetor unitário

Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Observação 1: Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R², que são dados por:

Observação 2: Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo módulo de v, isto é:

Observação 3: Para construir um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar w=kv onde k é um escalar não nulo. Nesse caso, w e v serão paralelos.

• Se k = 0 então w será o vetor nulo.
• Se 0 < k < 1 então w terá comprimento menor do que v.
• Se k > 1 então w terá comprimento maior do que v.
• Se k < 0 então w terá sentido oposto ao de v.

Observação 4: Todo vetor v=(a,b) do plano cartesiano possui uma projeção horizontal (sobre o eixo OX) que é o vetor a.i e uma projeção vertical b.j (sobre o eixo OY) e o vetor v pode ser escrito como a soma destas projeções, isto é:

Exercício: Quais são os vetores que representam as projeções verticais do vetor v=(3,4)? Qual é o módulo deste vetor? Esboce um gráfico desta situação no plano R².

Produto escalar

Dados os vetores v=(a,b) e w=(c,d), definimos o produto escalar ou produto interno entre os vetores v e w, como o número real obtido por:

Exemplos: O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-7,12) é:

O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-5,2) é:

Exercício: Faça um gráfico em R², com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v e w do último exemplo.

Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:

• v.w = w.v
• v.v = |v| |v| = |v|²
• u.(v+w) = u.v + u.w
• (kv).w = v.(kw) = k(v.w)
• |kv| = |k| |v|
• |u.v| |u| |v| (desigualdade de Schwarz)
• |u+v| |u| + |v|(desigualdade triangular)

Ângulo entre dois vetores

O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:

onde q é o ângulo formado entre v e w.

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo q entre dois vetores genéricos v e w, como:

desde que nenhum deles seja nulo.

Exercício: Faça uma análise quando q=0 , q=/2 e q=. Determine o ângulo entre os vetores v=(1,0) e w=(1,1). Nunca se esqueça de construir gráficos com esses objetos vetoriais.

Vetores ortogonais

Dois vetores v e w são ortogonais se:

Exercício: Dado o vetor v=(3,7), obtenha pelo menos dois vetores do plano que sejam ortogonais a v. Construa geometricamente estes vetores.