Matematica Essencial: Matematica Financeira - Sistema Alemao de amortizacao MatemáticaEssencial Matemática Financeira Sistema Alemão de Amortização Introdução ao sistema alemão O modelo matemático Fórmulas básicas Problema típico Introdução ao sistema alemão O sistema Alemão de amortização consiste na liquidação de uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto a primeira que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. O capital emprestado (ou financiado) será indicado com C, i será a taxa de juros ao período, n representará o número de períodos. As amortizações e os pagamentos ao período serão indicados, respectivamente, pelas letras Ak e Pk, onde k=1,2,...,n. Em todas as situações, o final de um período significará o início do período seguinte. O Modelo matemático Consideremos a situação que uma pessoa contrai um empréstimo de valor C no instante k=0. A financeira cobra antecipadamente a taxa i sobre C, perfazendo um juro inicial de C.i, de forma que o cliente recebe no primeiro momento, o valor Co dado pela expressão: Co = C - C.i = C.(1-i) mas o cliente deverá pagar C no final do período. No início do 2o. período, o cliente está devendo C, mas amortizará parte do saldo devedor com um valor A1, assim ele ficará devendo neste momento: C1 = C-A1 Como ocorre a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida neste momento, correspondentes a i.C1, logo o pagamento no início do 2o. período deverá ser: P1 = A1 + i.C1 = A1 + i.(C-A1) O cliente deverá pagar à financeira o valor C1 no final do período. No início do 3o. período, o cliente estará devendo C1 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A2, assim ele ficará devendo: C2 = C1-A2 Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida que no momento corresponde a i.C2, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser: P2 = A2 + i.C2 = A2 + i.(C1-A2) ou seja P2 = A2 + i.(C-A1-A2) O cliente deverá pagar à financeira o valor C2 no final do período. No início do 4o. período, o cliente estará devendo C2 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A3, assim ele ficará devedor neste momento de: C3 = C2 - A3 Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele deve novamente pagar juros antecipados sobre a dívida neste momento, que corresponde a i.C3, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser: P3 = A3 + i.C3 = A3 + i.(C2-A3)=A3 + i.(C1-A2-A3) ou seja P3 = A3 + i.(C-A1-A2-A3) O cliente deverá pagar à financeira o valor C3 no final do período. Este processo continua até um certo mês com índice k e poderemos escrever: Ck = Ck-1 - Ak e Pk = Ak + i.(C-A1-A2-A3-...-Ak) Resumindo até o momento, temos: nCn Pn 1 C1=C-A1 P1=A1+i.(C-A1) 2 C2=C-A1-A2 P2=A2+i.(C-A1-A2) 3 C3=C-A1-A2-A3 P3=A3+i.(C-A1-A2-A3) 4 C4=C-A1-A2-A3-A4 P4=A4+i.(C-A1-A2-A3-A4) ......... k Ck=C-A1-A2-A3-...-Ak Pk=Ak+i.(C-A1-A2-A3-...-Ak) A última amortização An deverá coincidir com o pagamento Pn uma vez que todos os juros já foram cobrados antecipadamente. Como todos os pagamentos devem ser iguais (exceto Po), então P1 = P2 = P3 = ... = Pn = P Como P1=P2, então A1+i.(C-A1) = A2+i.(C-A1-A2) logo A1+i.(C-A1) = A2+i.(C-A1) -i.A2 assim A1 = A2 -i.A2 e dessa forma A1 = A2.(1-i) e podemos escrever que A1 A2 = —— 1-i De forma análoga, podemos mostrar que A2 A3 = —— 1-i para concluir que A1 A3 = —— (1-i)2 Em geral, podemos mostrar que A1 Ak = ———— (1-i)k-1 para todo k=2,3,4,...,n. Como a soma das amortizações Ak deve coincidir com o capital C emprestado ou financiado, segue que: C = A1 + A2 + A3 + ... + An Substituindo os valores dos Ak nesta última expressão, obtemos: A1 A1 A1 A1 C = ———— + ———— + ———— +...+ ———— (1-i)o (1-i)1 (1-i)2 (1-i)n-1 Pondo em evidência o último termo, teremos: A1 C = ———— [1 + (1-i)1 + (1-i)2 +...+ (1-i)n-1] (1-i)n-1 Como o termo dentro dos colchetes representa a soma de n termos de uma PG cujo primeiro termo é 1 e a razão é (1-i), logo: A1 1-(1-i)n C = ———— ———— (1-i)n-1 i e desse modo i.(1-i)n-1 A1 = C. —————— 1-(1-i)n Já observamos antes que A1 P = Pn = An = —————— (1-i)n-1 e substituindo o valor de A1 pela expressão obtida acima, teremos: C × i P = —————— 1-(1-i)n Esta é a fórmula para o cálculo da prestação no sistema Alemão, em função do capital financiado C, da taxa i e do período n. Usamos fortemente o conceito de sequência geométrica (PG), o que justifica a importância deste assunto tão pouco aplicado no âmbito do Ensino Médio. Fórmulas básicas Para obter os cálculos com as fórmulas básicas abaixo, usaremos os seguintes elementos: C = Capital financiado i = Taxa de juros ao período n = Número de períodos P = Valor de cada prestação A1 = Primeira amortização Ak = Amortização no instante k (k=1,2,3,...,n) C × i P = ————— 1-(1-i)n A1 = P × (1-i)n-1 A1 Ak = ————— (1-i)k-1 Problema típico Determinar a prestação mensal de um financiamento de R$300.000,00 por um período de 5 meses à taxa de 4% ao mês, através do sistema Alemão de amortização. Solução: Tomamos i=0,04; n=5, C=300.000,00 para obter a prestação 300.000 × 0,04 P = —————————— = 64.995,80 1-(1-0,04)5 Página construída por Ulysses Sodré Última atualização: April 14, 2001 19:19:02
Introdução ao sistema alemão
O sistema Alemão de amortização consiste na liquidação de uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto a primeira que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. O capital emprestado (ou financiado) será indicado com C, i será a taxa de juros ao período, n representará o número de períodos. As amortizações e os pagamentos ao período serão indicados, respectivamente, pelas letras Ak e Pk, onde k=1,2,...,n. Em todas as situações, o final de um período significará o início do período seguinte.
Consideremos a situação que uma pessoa contrai um empréstimo de valor C no instante k=0. A financeira cobra antecipadamente a taxa i sobre C, perfazendo um juro inicial de C.i, de forma que o cliente recebe no primeiro momento, o valor Co dado pela expressão:
mas o cliente deverá pagar C no final do período.
No início do 2o. período, o cliente está devendo C, mas amortizará parte do saldo devedor com um valor A1, assim ele ficará devendo neste momento:
Como ocorre a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida neste momento, correspondentes a i.C1, logo o pagamento no início do 2o. período deverá ser:
O cliente deverá pagar à financeira o valor C1 no final do período.
No início do 3o. período, o cliente estará devendo C1 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A2, assim ele ficará devendo:
Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida que no momento corresponde a i.C2, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser:
O cliente deverá pagar à financeira o valor C2 no final do período.
No início do 4o. período, o cliente estará devendo C2 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A3, assim ele ficará devedor neste momento de:
Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele deve novamente pagar juros antecipados sobre a dívida neste momento, que corresponde a i.C3, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser:
O cliente deverá pagar à financeira o valor C3 no final do período.
Este processo continua até um certo mês com índice k e poderemos escrever:
Resumindo até o momento, temos:
A última amortização An deverá coincidir com o pagamento Pn uma vez que todos os juros já foram cobrados antecipadamente.
Como todos os pagamentos devem ser iguais (exceto Po), então
Como P1=P2, então
De forma análoga, podemos mostrar que
Em geral, podemos mostrar que
Como a soma das amortizações Ak deve coincidir com o capital C emprestado ou financiado, segue que:
Substituindo os valores dos Ak nesta última expressão, obtemos:
Pondo em evidência o último termo, teremos:
Como o termo dentro dos colchetes representa a soma de n termos de uma PG cujo primeiro termo é 1 e a razão é (1-i), logo:
Já observamos antes que
Esta é a fórmula para o cálculo da prestação no sistema Alemão, em função do capital financiado C, da taxa i e do período n.
Usamos fortemente o conceito de sequência geométrica (PG), o que justifica a importância deste assunto tão pouco aplicado no âmbito do Ensino Médio.
Para obter os cálculos com as fórmulas básicas abaixo, usaremos os seguintes elementos:
Determinar a prestação mensal de um financiamento de R$300.000,00 por um período de 5 meses à taxa de 4% ao mês, através do sistema Alemão de amortização.
Solução: Tomamos i=0,04; n=5, C=300.000,00 para obter a prestação