Analise de Investimento ou Financiamento MatemáticaEssencial Matemática Financeira Análise de Investimento ou de Financiamento Elementos gerais Em uma operação financeira de Investimento ou Financiamento, existem várias situações que interferem na nossa decisão sobre a escolha de uma dentre as várias possíveis alternativas. Em geral, temos o conhecimento da Taxa de Mercado, também conhecida como a Taxa de Atratividade do Mercado e desejamos saber a taxa real de juros da operação, para poder tomar uma decisão. Há dois importantes objetos matemáticos que são utilizados na análise da operação financeira de Investimento ou Financiamento: Valor Presente Líquido (NPV) O Valor Presente Líquido (Net Present Value) do fluxo de caixa de uma operação é o somatório de todos os valores atuais calculados no instante t=0 para cada elemento isolado da operação. Taxa Interna de Retorno (TIR) A Taxa Interna de Retorno (Internal Rate Return) do fluxo de caixa da operação é a taxa real de juros da operação financeira. Há uma íntima relação entre esses dois objetos matemáticos, sendo que as considerações sobre eles devem resultar de análise invertidas quando se tratar de Investimentos ou Financiamentos. A razão desta inversão é que alguém, ao realizar um Investimento de capital espera ampliar o mesmo, ao passo que ao realizar um Financiamento de um bem espera reduzir a aplicação. Em um Investimento, se NPV for positivo, a Taxa Real (TIR) é maior do que a Taxa de Mercado, se NPV for negativo, a Taxa real (TIR) é menor do que a Taxa de Mercado e se NPV=0 então a Taxa de Mercado coincide com a Taxa Real (TIR). Conclusão: Se NPV é maior então a Taxa (TIR) também é maior. Em um Financiamento, se NPV for positivo, a Taxa Real IRR é menor do que a Taxa de Mercado, se NPV for negativo, a Taxa real IRR é maior do que a Taxa de Mercado e se NPV=0, então a Taxa de Mercado coincide com a Taxa Real (TIR). Conclusão: Se NPV é maior então a Taxa (TIR) é menor. Estas duas análises podem ser reduzidas à tabela: NPV TIR do Investimento TIR do Financiamento Igual a 0 Igual à Taxa de mercado Igual à Taxa de mercado Positivo Maior que a Taxa de mercado Menor que a Taxa de mercado Negativo Menor que a Taxa de mercado Maior que a Taxa de mercado Análise entre dois Investimentos Se tivermos dois possíveis Investimentos: Invest1 e Invest2 e os respectivos Valores Presentes Líquidos forem indicados por NPV1 e NPV2, o investimento com maior Valor Presente Líquido é o que proporcionará maior retorno ao investidor, isto é: Se NPV1 > NPV2 então Invest1 é melhor do que Invest2 Análise entre dois Financiamentos Se tivermos dois possíveis Financiamentos: Financ1 e Financ2 e os respectivos Valores Presentes Líquidos forem indicados por NPV1 e NPV2, o Financiamento com maior Valor Presente Líquido é o que proporcionará menor retorno à pessoa que financiou, isto é: Se NPV1 > NPV2 então Financ1 é pior do que Financ2 A Matemática do Valor Presente Líquido (NPV) Para obter o Valor Presente Líquido, devemos construir o Fluxo de Caixa da operação e levar em consideração algumas possibilidades: Operação com parcelas iguais (Begin) Operação com parcelas iguais (End) Operação com parcelas diferentes Operação com parcelas iguais (Begin) : Consideremos uma operação de Investimento ou Financiamento durante n períodos, com uma renda R em cada período, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa aparece na tabela: t01234 ...n-1n RendaRRRR RRR0 Tomando u=1+i, poderemos escrever: NPV = R + R/u + R/u2+ R/u3+...+R/un-1 NPV = R.[un - 1]÷[i.un-1] Exemplo: Consideremos que um indivíduo realizará um Investimento mensal de R=100,00, durante n=24 meses, à taxa de mercado i=1,5%, iniciando a aplicação no instante t=0. Qual será o Valor Presente Líquido (NPV) desta aplicação? Neste caso (Begin): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a fórmula acima, teremos: NPV = 100.[(1,015)24 - 1]÷[0,015.(1,015)23] NPV = 2.033,09 Operação com parcelas iguais (End) : Consideremos uma operação de Investimento ou Financiamento durante n períodos, com uma renda R em cada período, a partir do instante t=1 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa aparece na tabela: t01234 ...n-1n Renda0RRR RRRR Tomando u=1+i, poderemos escrever: NPV = R/u + R/u2+ R/u3+...+R/un NPV = R.[un - 1]÷[i.un] Exemplo: Consideremos que um indivíduo realizará um Investimento mensal de R=100,00, durante n=24 meses, à taxa de mercado i=1,5%, iniciando a aplicação no instante t=1. Qual será o Valor Presente Líquido (NPV) desta aplicação? Neste caso (End): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a fórmula acima, teremos: NPV = 100.[(1,015)24 - 1]÷[0,015.(1,015)24] NPV = 2.003,04 Operação com parcelas diferentes: Consideremos a situação que um indivíduo invista durante algum tempo parcelas distintas, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa dessa situação pode ser posto como uma tabela na forma: t01234 ...n-1 RendaR0R1R2R3 R4...Rn-1 Tomando u=1+i, poderemos escrever: NPV = Ro + R1/u1 + R2/u2 + R3/u3 +...+ Rn-1/un-1 Exemplo: Consideremos que um indivíduo realizará alguns Investimentos de acordo com a tabela abaixo, à taxa de mercado i=1,25% ao mês. Qual será o Valor Presente Líquido (NPV) desta aplicação? Tempo 01234 Renda 0 1.000 2.000 1.500 2.500 Tomando u=1+i=1,0125, teremos: NPV = 1000/u+2000/u2+1500/u3+2500/u4 NPV = 6.762,51 Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em Wednesday, July 12, 2000 12:33 AM [matweb/matfin/analise/inclusao_dasecretaria.htm]
Em uma operação financeira de Investimento ou Financiamento, existem várias situações que interferem na nossa decisão sobre a escolha de uma dentre as várias possíveis alternativas. Em geral, temos o conhecimento da Taxa de Mercado, também conhecida como a Taxa de Atratividade do Mercado e desejamos saber a taxa real de juros da operação, para poder tomar uma decisão.
Há dois importantes objetos matemáticos que são utilizados na análise da operação financeira de Investimento ou Financiamento:
Há uma íntima relação entre esses dois objetos matemáticos, sendo que as considerações sobre eles devem resultar de análise invertidas quando se tratar de Investimentos ou Financiamentos. A razão desta inversão é que alguém, ao realizar um Investimento de capital espera ampliar o mesmo, ao passo que ao realizar um Financiamento de um bem espera reduzir a aplicação.
Em um Investimento, se NPV for positivo, a Taxa Real (TIR) é maior do que a Taxa de Mercado, se NPV for negativo, a Taxa real (TIR) é menor do que a Taxa de Mercado e se NPV=0 então a Taxa de Mercado coincide com a Taxa Real (TIR). Conclusão: Se NPV é maior então a Taxa (TIR) também é maior.
Em um Financiamento, se NPV for positivo, a Taxa Real IRR é menor do que a Taxa de Mercado, se NPV for negativo, a Taxa real IRR é maior do que a Taxa de Mercado e se NPV=0, então a Taxa de Mercado coincide com a Taxa Real (TIR). Conclusão: Se NPV é maior então a Taxa (TIR) é menor.
Estas duas análises podem ser reduzidas à tabela:
Se tivermos dois possíveis Investimentos: Invest1 e Invest2 e os respectivos Valores Presentes Líquidos forem indicados por NPV1 e NPV2, o investimento com maior Valor Presente Líquido é o que proporcionará maior retorno ao investidor, isto é:
Se tivermos dois possíveis Financiamentos: Financ1 e Financ2 e os respectivos Valores Presentes Líquidos forem indicados por NPV1 e NPV2, o Financiamento com maior Valor Presente Líquido é o que proporcionará menor retorno à pessoa que financiou, isto é:
Para obter o Valor Presente Líquido, devemos construir o Fluxo de Caixa da operação e levar em consideração algumas possibilidades:
Operação com parcelas iguais (Begin) : Consideremos uma operação de Investimento ou Financiamento durante n períodos, com uma renda R em cada período, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa aparece na tabela:
Tomando u=1+i, poderemos escrever:
NPV = R + R/u + R/u2+ R/u3+...+R/un-1 NPV = R.[un - 1]÷[i.un-1]
Exemplo: Consideremos que um indivíduo realizará um Investimento mensal de R=100,00, durante n=24 meses, à taxa de mercado i=1,5%, iniciando a aplicação no instante t=0. Qual será o Valor Presente Líquido (NPV) desta aplicação?
Neste caso (Begin): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a fórmula acima, teremos:
NPV = 100.[(1,015)24 - 1]÷[0,015.(1,015)23] NPV = 2.033,09
Operação com parcelas iguais (End) : Consideremos uma operação de Investimento ou Financiamento durante n períodos, com uma renda R em cada período, a partir do instante t=1 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa aparece na tabela:
NPV = R/u + R/u2+ R/u3+...+R/un NPV = R.[un - 1]÷[i.un]
Exemplo: Consideremos que um indivíduo realizará um Investimento mensal de R=100,00, durante n=24 meses, à taxa de mercado i=1,5%, iniciando a aplicação no instante t=1. Qual será o Valor Presente Líquido (NPV) desta aplicação?
Neste caso (End): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a fórmula acima, teremos:
NPV = 100.[(1,015)24 - 1]÷[0,015.(1,015)24] NPV = 2.003,04
Operação com parcelas diferentes: Consideremos a situação que um indivíduo invista durante algum tempo parcelas distintas, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa dessa situação pode ser posto como uma tabela na forma:
NPV = Ro + R1/u1 + R2/u2 + R3/u3 +...+ Rn-1/un-1
Exemplo: Consideremos que um indivíduo realizará alguns Investimentos de acordo com a tabela abaixo, à taxa de mercado i=1,25% ao mês. Qual será o Valor Presente Líquido (NPV) desta aplicação?
Tomando u=1+i=1,0125, teremos:
NPV = 1000/u+2000/u2+1500/u3+2500/u4 NPV = 6.762,51