Capital
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV.

Juros
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições mistas.

Notações comuns que serão utilizadas neste material:

Exemplo: Na fórmula

a taxa unitária de juros i deverá estar indicada na mesma unidade de tempo que o número de períodos n, ou seja, se a taxa é i=0,05 ao mês, então n deverá ser um número indicado em meses.

Exemplos:

1. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

   Objetivo: M = 2 P
   Dados: i = 150/100 = 1,5
   Fórmula: M = P (1 + i n)
   Desenvolvimento:

   2P = P (1 + 1,5 n)
   2 = 1 + 1,5 n
   n = 2/3 ano = 8 meses

2. Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o valor principal é P=R$ 1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano?

   Contagem do tempo:

   Período	Número de dias
   De 10/01 até 31/01	21 dias
   De 01/02 até 28/02	28 dias
   De 01/03 até 31/03	31 dias
   De 01/04 até 12/04	12 dias
   Total	92 dias

   Fórmula para o cálculo dos juros exatos:

   j = P r (d/365) / 100 Cálculo:

   j = (1000x100x92/365)/100 = 252,05

Fluxo de Caixa é um gráfico contendo informações sobre Entradas e Saídas de capital, realizadas em determinados períodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estas mesmas indicações.

A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixo enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão das setas é uma coisa comum e pode ser realizada sem problema.

Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de R$5.000,00 em uma conta que rende juros de 4% ao ano, compostos mensalmente e que se continue a depositar mensalmente valores de R$1.000,00 durante os 5 meses seguintes. No 6º. mês quer-se conhecer o Valor Futuro da reunião destes depósitos.

Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em vários meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos matemáticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado.

Exemplo preparatório: Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderiamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.

Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores.

A situação apresentada antes pode ser analisada do ponto de vista da Matemática, tomando P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:

De uma forma geral:

Observação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem ser compatíveis ou homogêneos com respeito à unidade de tempo.

Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será necessário para dobrar o capital aplicado através de capitalização composta?

Objetivo: S = 2 P
Taxa anual: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: S = P (1 + i)n
Solução:

2 P = P (1 + 1,5)ⁿ
(2,5)ⁿ = 2

Observação:Tábua de logaritmo imediata

Para obter o logaritmo de um número N na base natural, basta trocar N pelo número que deseja e escrever: javascript:Math.log(N) na caixa branca de seu browser que indica Endereço (Location) desta página. Após obter o resultado, use o botão voltar(back) para continuar os estudos. Uma forma alternativa é copiar a linha em azul para o Endereço, pressionando a seguir a tecla para obter o resultado.

Agora, podemos escrever o montante composto S como o produto do valor Principal P por FAC(i,n):

Curiosidade muito útil	O FAC(i,n)=(1+i)n pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não executam . Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e a seguir tecla-se o sinal de igualdade n-1 vezes.

Existem algumas variações da fórmula do Montante Composto, que estão apresentadas abaixo:

S = P (1 + i)n
P = S (1 + i)-n

Uma variação da fórmula de Montante composto é usada na obtenção do Valor Atual P de um capital futuro conhecido S.

Curiosidade muito útil	O FVA(i,n)=(1+i)-n pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não executam . Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e o sinal = (igual) n-1 vezes para obter FAC(i,n) e a seguir teclamos o sinal de divisão e finalmente o sinal = (igual) para obter o FVA(i,n), que é o inverso do FAC(i,n).

Exemplo: Qual é o valor dos juros compostos pagos à taxa i=100% ao ano se o Principal é R$1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10/01/94 e deverá ser paga em 12/04/94?

Solução: A contagem dos dias corresponde a d=92 dias.
Dúvida: Qual será a fórmula para juros compostos quando a taxa é anual e o período está indicado em uma unidade diferente de 1 ano? A idéia é transformar 92 dias em unidades anuais para obter:

n = 92/365 de 1 ano = aproximadamente 0,252055 = 1/4 ano
Principal: P = 1000
Taxa anual: i = 100/100 = 1
Fórmula: J = P.[(1 + i)ⁿ-1]
Solução:

J = 1000 [(1+1)^1/4-1]
J = 1000 [2^1/4-1]
J = 1000 (1,189207-1) = 189,21

Taxas Matemática Financeira Introdução ao Cap. 6 José Dutra Vieira Sobrinho

"No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira "poluição"de taxas de juros."

Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas:

Taxa Nominal
A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.

Exemplo:

• 1200% ao ano com capitalização mensal.
• 450% ao semestre com capitalização mensal.
• 300% ao ano com capitalização trimestral.

Taxa Efetiva
A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.
Exemplo:

• 120% ao mês com capitalização mensal.
• 450% ao semestre com capitalização semestral.
• 1300% ao ano com capitalização anual.

Taxa Real
Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação
A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:

Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por:

o que significa que a taxa real no período, foi de:

Aplicação em caderneta de poupança
Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona um rendimento real de 0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro foi corrigido pela taxa da inflação, isto é, foi multiplicado por 1+i_inflação e a seguir foi multiplicado por 1+0,5%=1,005.

Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupança o valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 e a taxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de 35,64% entao ele terá em sua conta no dia 30/05/93, o valor de:

Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicação com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação.

Tomando P=1.000,00; i₁=0,1 ao mês e n₁=3 meses, seguirá pela fórmula do Montante composto, que :

Tomando P=1.000,00; i₂=33,1% ao trimestre e n₂=1 trimestre e usando a fórmula do Montante composto, teremos:

Logo S₁=S₂ e a taxa de 33,1% ao trimestre é equivalente à taxa capitalizada de 10% ao mês no mesmo trimestre.

Observação sobre taxas equivalentes:Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de 300% ao ano capitalizada mensalmente, estamos entendemos que a taxa é de 25% ao mês e que está sendo aplicada mês a mês, porque:

Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao ano corresponde a uma taxa de 75% ao trimestre, aplicada a cada trimestre, porque:

É evidente que estas taxas não são taxas efetivas.

Cálculos de taxas equivalentes
Como vimos, taxas equivalentes são aquelas obtidas por diferentes processos de capitalização de um mesmo Principal P para obter um mesmo montante S.

Consideraremos i_a uma taxa ao ano e i_p uma taxa ao período p, sendo que este período poderá ser: 1 semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro que tomamos 1 ano como o período integral e que o número de vezes que cada período parcial ocorre em 1 ano é indicado por Np.

Exemplo: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias

A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é:

Situações possíveis com taxas equivalentes:

Exemplo: Qual será a taxa efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano capitalizada mês a mês?

Vamos entender a frase: "12% ao ano capitalizada mês a mês". Ela significa que devemos dividir 12% por 12 meses para obter a taxa que é aplicada a cada 1 mês. Se estivesse escrito "12% ao ano capitalizada trimestralmente" deveriamos entender que a taxa ao trimestre seria igual a 12% dividido por 4 (número de trimestres de 1 ano) que é 3%.

Vamos observar o fluxo de caixa da situação:

Observação: Se i_inflação=0, a taxa real equivale à taxa efetiva.

Exemplo: Qual é a taxa mensal efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano?

A fórmula a ser usada é:

Como i_a = 12% = 0,12 basta obter i_mes através da substituição dos valores na fórmula acima para obter:

Há outras maneiras para resolver esta equação exponencial mas aplicaremos o logaritmo na base 10 a ambos os lados da igualdade para obter:

log(1,12) = 12.log(1+i_mes)
log(1,12)/12 = log(1 + i_mes)
0,04921802267018/12 = log(1 + i_mes)
0,004101501889182 = log(1+i_mes)
10^{0,004101501889182} = 10^log(1+i_mes)
1,009488792934 = 1 + i_mes
0,009488792934 = i_mes
i_mes = 0,9488792934%

Observação: Interprete os últimos exemplos com muito cuidado!

Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título (futuro) N e o Valor Atual A deste mesmo título.

Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro).

Desconto Simples Comercial (por fora)
O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título.

O valor atual no desconto por fora, é calculado por:

Desconto Simples Racional (por dentro)
O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título.

O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título.

O valor atual, no desconto por dentro, é dado por:

Desconto Comercial composto (por fora)
Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é análogo ao cálculo dos Juros compostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N do título.

Apenas para fins didáticos, iremos obter a fórmula para o cálculo deste desconto. Ela é obtida por aplicações repetidas do desconto simples para 1 período.
Para n=1, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, logo:

Por este raciocínio, temos que, para cada número natural n:

Esta fórmula é similar à formula do montante composto que é dada por:

Desconto Racional composto (por dentro)
Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil.

Como D = N - A e como N = A(1 + i)ⁿ , então

O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual A como o capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal N como o montante desta aplicação, levando em consideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.

Exemplos:

1. Qual é o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$10.000,00, se o prazo de vencimento é de n=5 meses e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês.

   Solução:

   D = 10.000,00 [(1,035)⁵-1]/1,035⁵ = 1.580,30

2. Uma empresa emprestou um valor que deverá ser pago 1 ano após em um único pagamento de R$ 18.000,00 à taxa de 4,5% ao mês. Cinco meses após ter feito o empréstimo a empresa já tem condições de resgatar o título. Se a empresa tiver um desconto racional composto calculado a uma taxa equivalente à taxa de juros cobrada na operação do empréstimo, qual será o valor líquido a ser pago pela empresa?

   Dados:
   Valor nominal: N=18.000,00
   Número de períodos para o desconto: n=12-5=7
   taxa mensal: i=4,5%=0,045
   Fórmula: D = N.[(1+i)ⁿ-1]/(1+i)ⁿ

O sistema Price (Richard Price), também chamado Sistema Francês (pois foi a França o primeiro país que utilizou este sistema do ponto de vista comercial), corresponde a um financiamento onde todos os pagamentos sao iguais.

A idéia essencial neste contexto é construir um fluxo de caixa e descobrir o Valor Atual ou Valor Presente de uma série uniforme de pagamentos.

Antes de continuar, iremos mostrar uma situação para identificar o que está escondido sob os cálculos de um financiamento.

Exemplo: Suponhamos que uma pessoa compre um carro para pagar em 4 prestações mensais consecutivas e iguais de R$8.000,00, sem entrada e com taxa de 10% ao mês. Qual será o Valor Atual (real) deste carro?

Fluxo de caixa do problema

O que se deve fazer é calcular o valor atual de cada prestação e realizar a soma desses valores para obter o Valor Atual do bem financiado.

Assim o Valor Atual será a soma dos valores atuais parciais

que é o valor à vista que custa o carro.

Um fato curioso é o aparecimento da expressão:

que representa a soma dos termos de uma sequência geométrica (PG) com 4 termos.

Na sequência, analisaremos a situação geral quando temos n prestações num modelo semelhante, considerando agora um financiamento cujo Valor Atual A na data inicial (tempo=0) será pago em n prestações iguais a R ao final de cada um dos n meses seguidos, a taxas mensais iguais a i.

Fluxo de caixa do problema

O problema é similar ao anterior e pode ser resolvido do ponto de vista matemático, como :

Colocando em evidência o termo (1+i)^-n, segue que:

e o termo dentro dos colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma PG cujo primeiro termo é igual 1 e cuja razão é igual a (1+i).

A fórmula abaixo é a expressão matemática procurada por tantas pessoas para saber como são realizados os cálculos de taxas de juros em financiamentos.

Esta não é uma expressão matemática simples! Quando se conhece a taxa i, o número de períodos n e o valor de cada prestação R é bastante fácil obter o Valor Atual A.

Quando conhecemos o Valor Atual (preço à vista) A, Prestação R e Número de períodos n, não é fácil obter a taxa de juros porque além de ser matematicamente difícil, o governo, as empresas e financeiras em geral, embutem muitas outras taxas a títulos diversos que mascaram o valor real da taxa!

Esta fórmula matemática também pode ser escrita como:

onde FVA_s é o Fator de Valor Atual para uma série uniforme, definido por:

Esta é a fórmula utilizada nas tabelas financeiras que encontramos no comércio em geral. Através desta fórmula podemos obter a taxa de um financiamento em prestações com pagamentos iguais.

Para o próximo exemplo, vamos admitir que o dono de uma loja te garantiu o valor certo para a taxa ao período, o que eu não acredito em geral.

Para se calcular o valor da prestação R de um bem cujo preço à vista é A e será pago em n prestações iguais sem entrada, à taxa i ao período, sendo que a primeira prestação será paga no final do primeiro período, divide-se o valor atual A pelo FVAs(i,n), isto é:

Exemplo: Determinar a prestação R da compra de uma geladeira que custa à vista A=$1.000,00 e que será paga em 12 meses, sem entrada, com um taxa de 5% ao mês.

Para realizar estes cálculos de uma forma mais simples, acesse nesta mesma página o link Prestação mensal em um financiamento.

Se souber o Valor à vista A, a prestação R e o número de meses n, você poderá obter a taxa i ao mês, desde que possua uma tabela financeira ou então se tiver acesso ao link Taxa de juros em um financiamento.