Esta página trata sobre equações lineares e inicia mostrando uma aplicação de matrizes e sistemas lineares. As equações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.

Exemplo:Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:

Quais são os números de recipientes x₁, x₂ e x₃ de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III.

Montagem do sistema linear

É uma equação da forma

onde:

• x₁, x₂, ..., x_n são as incógnitas;
• a₁₁, a₁₂, ...,a_1n são os coeficientes ( números reais ou complexos);
• b₁ é o termo independente ( número real ou complexo).

Exemplos de equações lineares

• 4 x + 3 y - 2 z = 0
• 2 x - 3 y + 0 z - w = -3
• x₁ - 2 x₂ + 5 x₃ = 1
• 4i x + 3 y - 2 z = 2-5i

Exemplos de equações não–lineares

• 3 x + 3 R[x] y = - 4
• x² + y² = 9
• x + 2 y – 3 z w = 0
• x² + y² = -9

Observação: Usamos R[x] como a raiz quadrada do número real x>0.

Uma sequência de números reais (r₁, r₂, r₃, r₄) é solução da equação linear

o que significa que se trocarmos cada x_i por r_i a equação deverá ser identicamente satisfeita.

Exemplo: A sequência (2,1,3) é uma solução da equação 2x+y–2z=-1 pois, tomando x=2, y=1 e z=3 na equação dada, teremos:

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto composto por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado da seguinte forma:

onde:

• x₁, x₂, ..., x_n são as incógnitas;
• a₁₁, a₁₂, ..., a_mn são os coeficientes;
• b₁, b₂, ..., b_m são os termos independentes.

Uma sequência (r₁, r₂, ...,r_n) é solução do sistema

se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema.

Exemplo: A sequência (2,0) é uma solução do sistema linear:

pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0, os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.

O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à sua consistência:

• Sistema possível ou consistente
  Quando tem pelo menos uma solução.

  Característica da Solução	Característica do sistema
  Uma única Solução	Determinado
  Mais que uma solução	Indeterminado

• Sistema impossível ou inconsistente
  Quando não admite qualquer solução.

• Sistema com uma única solução
  As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano que têm o ponto (3,-2) como interseção.
  x + 2y = -1
  2x – y = 8

• Sistema com infinitas soluções
  As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).
  4x + 2y = 100
  8x + 4y = 200

• Sistema que não tem solução
  As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas.
  x + 3y = 4
  x + 3y = 5

Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.

Exemplo: Os sistemas

são equivalentes pois admitem a mesma solução x=10 e y=2.

Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2.

Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada.

• Troca de posição de duas equações do sistema
  

  Troca da Linha 1 com a Linha 3
  x + 2y – z = 2 2x –3y + 2z = 0 4x + y – 5z = 9	~	4x + y – 5z = 9 2x – 3y + 2z = 0 x + 2y - z = 2

• Multiplicação de uma equação por um número não nulo
  

  Multiplicação da Linha 1 pelo número 3 A equação resultante fica na linha 1
  x + 2y – z = 2 2x –3y + 2z = 0 4x + y – 5z = 9	~	3x + 6y – 3z = 6 2x – 3y + 2z = 0 4x + y – 5z = 9

• Adição de duas equações do sistema
  

  Adição da Linha 2 com a Linha 3 A equação resultante fica na linha 3
  x + 2y – z = 2 2x –3y + 2z = 0 4x + y – 5z = 9	~	3x + 6y – 3z = 6 2x – 3y + 2z = 0 6x - 2y – 3z = 9

Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamos mostrar como funciona este processo através de um exemplo.

Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas.

Observação: Indicaremos por Li + Lj -> Lj para significar que somamos a linha i com a linha j e colocamos o resultado na linha j e indicaremos k.Li -> Li, para significar que multiplicamos a linha i pela constante k e colocamos o resultado na linha i.

Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último sistema.

Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.

Exemplo: O sistema

é determinado, pois possui a solução S = {( 0,0,0 )}.

Esta regra depende basicamente sobre o uso de determinantes. Para indicar o determinante de uma matriz X, escreveremos det(X). Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:

A este sistema podemos associar algumas matrizes:

• Matriz dos coeficientes
  Formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema. Comumente indicada pela letra A.

  Matriz dos coeficientes

  a11 a12 ... a1j ... a1n a21 a22 ... a2j ... a2n ...  ...  ...  ...  ...  ... an1 an2 ... anj ... ann

• Matriz Aumentada do sistema
  Formada todos os coeficientes das incógnitas do sistema e também pelos termos independentes.

  Matriz Aumentada

  a11 a12 ... a1j ... a1n b1 a21 a22 ... a2j ... a2n b2 ...  ...  ...  ...  ...  ... an1 an2 ... anj ... ann bn

• Matriz da incógnita x_j
  É a matriz A_j obtida pela substituição da coluna j (j=1,...,n) da matriz A, pelos termos independentes das equações do sistema.

  Matriz da incógnita xj

  a11 a12 ... b1 ... a1n a21 a22 ... b2 ... a2n ...  ...  ...  ...  ...  ... an1 an2 ... bn ... ann

Quando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x₁, x₂ e x₃ e substituídas pelas incógnitas x, y e z, é comum escrever A_x, A_y e A_z.

Se det(A) é não nulo, é possível obter cada solução x_j (j=1,...,n), dividindo det(A_j) por det(A), ou seja;

Se det(A)=0, o sistema ainda poderá ser consistente, se todos os determinantes nxn da matriz aumentada do sistema forem iguais a zero.

Exemplo: Tomemos o sistema

A matriz A e a matriz aumentada A~ do sistema estão na tabela, em anexo. Como det(A)=0, há a necessidade de verificar se todos os determinantes de matrizes com 3 linhas e 3 colunas da matriz aumentada são nulos. Se existir pelo menos um deles não nulo, o sistema será impossível e este é o caso pois é não nulo o determinante da sub-matriz 3x3 formada pelas colunas 1, 2 e 4 da matriz aumentada:

Conclusão: Este sistema é impossível.

Exemplo: Consideremos agora o sistema (Quase igual ao anterior: troquei 40 por 42 na última linha!)

A matriz A e a matriz aumentada A~ do sistema, aparecem na tabela:

Aqui, tanto det(A)=0 como todos os determinantes de matrizes com 3 linhas e 3 colunas da matriz aumentada são nulos, então o sistema é possível e indeterminado. Neste caso pode-se observar que a última linha é a soma das duas primeiras e como estas duas primeiras dependem de x, y e z, você poderá encontrar as soluções, por exemplo, de x e y em função de z.

Exemplo: Seja o sistema

A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão na tabela, em anexo. Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das matrizes A_x, A_y e A_z.

27	3	4
15	-2	3
40	1	6

A matriz A_x é obtida pela substituição 1a. coluna da matriz A pelos termos independentes das três equações e ela está apresentada ao lado. Aqui det(A_x)=65.

2	27	4
1	15	3
3	40	6

A matriz A_y é obtida pela substituição da 2a. coluna da matriz A pelos termos independentes das três equações e ela está apresentada ao lado. Aqui det(A_y)=1.

2	3	27
1	-2	15
3	1	40

A matriz A_z é obtida pela substituição da 3a. coluna da matriz A pelos termos independentes das três equações e ela está apresentada ao lado. Aqui det(A_z)=14.

Podemos agora obter a solução do sistema dada: