Se k=l=m=0, as três retas passam pela origem e a solução simples para o problema é dada por x=y=0. Existem outras soluções não triviais.

Se nós assumirmos que existe um ponto (x_o,y_o) no plano XY, pertencente às três retas, então valerá a condição:

Como o sistema original pode ser transladado para um novo sistema de eixos passando pelo ponto (x_o,y_o), construímos um outro sistema:

Este sistema possui solução dada por x=x_o e y=y_o.

Consideraremos inicialmente duas retas quaisquer do sistema. Por simplicidade, tomaremos as duas primeiras:

Sobre a consistência, a Regra de Cramer garante que há:

• C1: Uma única solução, se ad-bc é não nulo. Neste caso, as retas são concorrentes.
• C2: Infinitas soluções, se ad-bc=0, al-ck=0 e bl-dk=0. Neste caso, as retas são coincidentes.

Análise de C1: Uma única solução
Se há uma única solução, digamos x=x_o e y=y_o, temos que

e o sistema transladado pode ser escrito na forma:

Análise de C2: Infinitas soluções
Se há infinitas soluções da forma x=x_o e y=y_o, as retas coincidem, garantindo que há infinitos (x_o,y_o), tal que

e de novo, o sistema transladado pode ser escrito como:

Voltemos ao sistema original, com as três equações:

Há dois casos para analisar a consistência do sistema.

• C3: Uma única solução, quando a solução x=x_o e y=y_o do sistema formado pelas duas primeiras equações, satisfaz também à terceira equação. O ponto P=(x_o,y_o) é a interseção das três retas concorrentes.
• C4: Infinitas soluções, quando as três retas são coincidentes.

Análise de C3: Uma única solução
Se há uma única solução para o sistema formado pelas duas primeiras retas, digamos x=x_o e y=y_o, então segue que

Se o ponto (x_o,y_o) pertence à terceira reta ex+fy=m, então

e todo o sistema transladado pode ser escrito na forma:

Análise de C4: Infinitas soluções
Se há infinitas soluções da forma x=x_o e y=y_o, as retas coincidem, garantindo que há infinitos (x_o,y_o), tal que

e novamente, o sistema transladado pode ser escrito:

Nos quatro casos possíveis, o sistema original terá solução se, existir um ponto (x_o,y_o) satisfazendo à condição:

Criatividade 2-dimensional linear
Tome um ponto fixo P=(x_o,y_o) no plano R² e construa um feixe de retas passando por P, isto é, uma coleção de retas:

onde n (coeficiente angular) é um número real. Ainda existe uma reta vertical x=x_o que passa por P.

Tomaremos apenas n como um número natural e já teremos uma coleção com infinitas retas passando por P=(x_o,y_o), como por exemplo a coleção que aparece na tabela:

Coeficiente	Reta	Equação
n=1	y=x+yo - 1xo	-1x + 1y = yo - 1xo
n=2	y=x+yo - 2xo	-1x + 1y = yo - 2xo
n=3	y=x+yo - 3xo	-1x + 1y = yo - 3xo
n=4	y=x+yo - 4xo	-1x + 1y = yo - 4xo
...	...	...

Podemos construir infinitos sistemas consistentes com 3 equações e 2 incógnitas em que os termos independentes não são iguais.

Criatividade 3-dimensional linear
Tome um ponto fixo P=(x_o,y_o,0) em R³ e construa um feixe de retas passando por P, contidas no plano z=0, isto é, uma coleção de retas da forma

onde n é um número real. Ainda existe a reta x=x_o no plano z=0 que passa por P.

Há infinitas retas contidas no plano z=0 que passam pelo ponto P. Se você "levantar" verticalmente todas estas retas, você terá um feixe de planos verticais no espaço R³, todos eles passando pelo ponto P. Podemos construir infinitos sistemas consistentes com 3 equações e 2 incógnitas em que os termos independentes não são iguais.

Criatividade n-dimensional linear
Tome um ponto fixo P=(p₁,p₂,0,...,0) no hiperplano

e construa um feixe de retas contidas nesse hiperplano H que passam por P=(p₁,p₂,0,...,0), isto é, uma coleção de retas da forma

onde q é um número real. Ainda existe a reta x₁=p₁ no hiperplano H que passa por P. Há infinitas retas passando por P=(p₁,p₂,0,...,0). Se você "levantar" todas estas retas no espaço Rⁿ, você terá um feixe de hiperplanos, todos eles passando pelo ponto P. Assim, podemos construir infinitos sistemas consistentes com 3 equações e 2 incógnitas em que os termos independentes não são iguais.

Criatividade ampliada não linear
Após a nossa análise linear, amplie a sua criatividade com um estudo para outros tipos de curvas, como as cônicas: circunferências, elipses, parábolas, hipérboles, ou outro tipo. Por exemplo, considere o sistema com as três equações (possivelmente cônicas) em R².

Quais são as condições que devem ser impostas a f₁, f₂ e f₃ para que o sistema seja consistente?

Exemplo: Estude o sistema com 3 circunferências em R²:

Quais são as condições que devem ser impostas a k, l e m, para que o sistema seja consistente? Embora este sistema seja bastante parecido com o primeiro sistema apresentado, a solução é muito diferente!