Matematica Essencial: Funcoes Continuas Reais MatemáticaEssencial Ensino Superior Funções Contínuas A idéia de Continuidade Definição de função contínua Tipos de descontinuidades Propried. das funções contínuas Teorema do Valor Intermediário Consequência do TVI A idéia de Continuidade Embora o conceito de continuidade possa ser dado sem o auxílio de limites, aqui neste material de Cálculo, o conceito de limite será usado para definir com mais cuidado o significado da continuidade de uma função. Ao definir Lim f(x), quando xa, analisamos o comportamento da função f(x) para valores de x próximos de a, mas diferentes de a. Vimos que Lim f(x) pode existir, mesmo que f não esteja definida no ponto a. Se f está definida em a e Lim f(x) existe, ainda pode ocorrer que este limite seja diferente de f(a). Uma idéia muito simples de função real contínua é a de uma função que possa ser traçada em uma folha sem retirar a caneta do papel. Caso se interrompa o gráfico da função e se comece em outro local do papel, ocorre uma "descontinuidade". Em contextos avançados, observa-se que este critério é errado, mas para o momento tal análise é suficiente. Na sequência, mostramos um gráfico de uma função contínua (sem interrupção) e um gráfico de uma função descontínua com uma série de problemas. Na função descontínua observamos que: Não existe Lim g(x) quando xb, pois os limites laterais de g=g(x) são diferentes, isto é: Limxb_ g(x) = s Limxb+ g(x) = k embora g(b)=k. Não existe Lim g(x) quando xc, pois Limxc_ g(x) = +infinito Limxc+ g(x) = +infinito embora g(c)=k. Em x=d, temos Limxd_ g(x) = Limxd+ g(x) = s e g(d)=s. Assim Limxd g(x)=s que coincide com o valor de g no ponto x=d, isto é: Limxd g(x) = g(d) = s Em x=e, o valor que se obtém não é o esperado, aqui Limxe_ g(x) = k = Limxe+ g(x) mas g(e)=z, logo Limxe g(x) g(e) A análise desses quatro casos nos leva a uma caracterização do que significa uma função não ser contínua num intervalo (a,b). A partir dos nossos exemplos, parece que as descontinuidades surgem quando o limite da função não existe, ou quando existe mas não coincide com o valor da função naquele ponto. Vejamos então agora o que é uma função contínua: Definição de função contínua Seja uma função f:|a,b|->R e a<c<b. A função f é contínua no ponto c, se Lim f(x) existe, quando xc e é igual a f(c), ou de uma forma mais concisa: Limxcf(x)=f(c) Se não existe Lim f(x) ou se existe Lim f(x) quando xc, mas Lim f(x) é diferente de f(c), dizemos que a função f é descontínua em x=c. Observação: A notação |a,b| significa que o intervalo pode ser (a,b), (a,b], [a,b) ou [a,b]. Tipos de descontinuidades Se f é uma função descontínua em um ponto c do seu domínio, dizemos que: f tem descontinuidade de salto (1a. espécie) em c, se os limites laterais de f em c existem (são finitos) e são distintos. f tem descontinuidade infinita (2a. espécie) em c, se a função toma valores arbitrariamente grandes ou arbitrariamente pequenos próximos de c, isto é: Limxc+f(x)= ± infinito ou Limxc_f(x)=± infinito Vimos que a definição de continuidade de uma função no ponto c, exige o conceito de limite lateral à esquerda e à direita, portanto só pode ser aplicada a pontos c de um intervalo aberto. Podemos mesmo estender esta definição a intervalos fechados, semi-abertos ou infinitos. Por exemplo, uma função f definida num intervalo do tipo (a,b), (b,+infinito) ou (-infinito,a) será contínua nesse intervalo se a definição vale para qualquer x no intervalo citado. É muito importante saber sempre em que intervalo a função está definida, quando se deseja estudar a sua continuidade. Definição: Uma função f definida num intervalo [a,b] é contínua neste intervalo se f é contínua em todos os pontos deste intervalo. Assim, para todo c em (a,b) se tem: Limxcf(x) = f(c) e nas extremidades x=a e x=b do intervalo, se tem: Limxa+f(x) = f(a) Limxb_f(x) = f(b) Exemplo: A função sinal, definida por: tem uma descontinuidade de salto em x=0. Propriedades das funções contínuas Apresentaremos agora algumas propriedades das funções contínuas, as quais praticamente já foram apresentadas na seção das propriedades dos limites de funções. Sejam f e g definidas no intervalo [a,b]. Se f e g são contínuas em um ponto x em [a,b], então também o são as funções: f+g, f-g, f·g e f÷g, desde que g=g(x) seja não nula. Se f e g são contínuas no intervalo [a,b] então, o mesmo ocorrerá com as funções: f+g, f-g, f·g e f÷g, desde que g=g(x) seja não nula em [a,b]. As funções polinomiais, racionais, exponenciais, trigonométricas e logarítmicas, são contínuas em todos os pontos de seus domínios, os quais podem ser intervalos fechados, semi-abertos, abertos ou infinitos. Seja f contínua em [a,b] e Im(f)=[c,d]. Se f admite inversa f -1, esta inversa será contínua em [c,d]. Se Lim g(x)=b quando xa, e, se a função f é contínua em b, então quando xa, tem-se que: Lim (fog)(x)=f(b) ou seja Lim (fog)(x) = Lim f(g(x) = f(Lim g(x)) Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então a função composta fog é contínua em a. Teorema do Valor Intermediário (TVI) Se f é contínua no intervalo fechado [a,b] e L é um número real tal que f(a)<L<f(b) ou f(b)<L<f(a), então existe pelo menos um ponto c em [a,b] tal que f(c)=L. Há uma consequência do Teorema do valor Intermediário que é muito utilizada na obtenção de zeros (raízes) de funções reais em Análise numérica. Consequência do Teorema do Valor Intermediário Se f é contínua em [a,b] e se f(a) e f(b) tem sinais opostos, então existe pelo menos um número real c entre a e b tal que f(c)=0. Cálculo de raiz: Vamos considerar uma situação bastante real em que uma pessoa financiou o valor de R$24.000,00, para pagar em 24 parcelas iguais de R$1200,00 ao final de cada mês, sem ter dado nenhum valor de entrada. Pergunta-se: Qual é a taxa mensal de juros desta operação? Esta operação é conhecida em Matemática Financeira como um financiamento pelo Sistema Price. Para obter a taxa de juros i, devemos resolver a equação onde A=24000 e R=1200. Se i=0, não existe taxa de juros, razão pela qual esta fórmula não pode ser usada. Para i>0, podemos substituir A e R e e{crever: (1+i)24 (20 i-1) + 1 = 0 Se tomarmos a função f(i) = (1+i)24 (20 i-1) + 1 f é contínua (f é uma função polinomial) para i>0, assim basta tomar i1=1%=0,01 e i2=2%=0,02 para observar que f(0,01)<0<f(0,002), o que garante que existe um número i entre 0,01 e 0,02 tal que f(i)=0. Com um pouco de trabalho, você obterá i=0,01513=1,513%. Se você quer obter estes cálculos de forma rápida, poderá acessar o nosso link sobre Taxas de juros em um financiamento. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000.
Embora o conceito de continuidade possa ser dado sem o auxílio de limites, aqui neste material de Cálculo, o conceito de limite será usado para definir com mais cuidado o significado da continuidade de uma função.
Ao definir Lim f(x), quando xa, analisamos o comportamento da função f(x) para valores de x próximos de a, mas diferentes de a. Vimos que Lim f(x) pode existir, mesmo que f não esteja definida no ponto a. Se f está definida em a e Lim f(x) existe, ainda pode ocorrer que este limite seja diferente de f(a).
Uma idéia muito simples de função real contínua é a de uma função que possa ser traçada em uma folha sem retirar a caneta do papel. Caso se interrompa o gráfico da função e se comece em outro local do papel, ocorre uma "descontinuidade". Em contextos avançados, observa-se que este critério é errado, mas para o momento tal análise é suficiente.
Na sequência, mostramos um gráfico de uma função contínua (sem interrupção) e um gráfico de uma função descontínua com uma série de problemas.
Na função descontínua observamos que:
embora g(b)=k.
embora g(c)=k.
e g(d)=s. Assim
que coincide com o valor de g no ponto x=d, isto é:
mas g(e)=z, logo
Seja uma função f:|a,b|->R e a<c<b. A função f é contínua no ponto c, se Lim f(x) existe, quando xc e é igual a f(c), ou de uma forma mais concisa:
Se não existe Lim f(x) ou se existe Lim f(x) quando xc, mas Lim f(x) é diferente de f(c), dizemos que a função f é descontínua em x=c.
Observação: A notação |a,b| significa que o intervalo pode ser (a,b), (a,b], [a,b) ou [a,b].
Se f é uma função descontínua em um ponto c do seu domínio, dizemos que:
É muito importante saber sempre em que intervalo a função está definida, quando se deseja estudar a sua continuidade.
Definição: Uma função f definida num intervalo [a,b] é contínua neste intervalo se f é contínua em todos os pontos deste intervalo. Assim, para todo c em (a,b) se tem:
e nas extremidades x=a e x=b do intervalo, se tem:
Exemplo: A função sinal, definida por:
tem uma descontinuidade de salto em x=0.
Apresentaremos agora algumas propriedades das funções contínuas, as quais praticamente já foram apresentadas na seção das propriedades dos limites de funções.
Se f é contínua no intervalo fechado [a,b] e L é um número real tal que f(a)<L<f(b) ou f(b)<L<f(a), então existe pelo menos um ponto c em [a,b] tal que f(c)=L.
Há uma consequência do Teorema do valor Intermediário que é muito utilizada na obtenção de zeros (raízes) de funções reais em Análise numérica.
Se f é contínua em [a,b] e se f(a) e f(b) tem sinais opostos, então existe pelo menos um número real c entre a e b tal que f(c)=0.
Cálculo de raiz: Vamos considerar uma situação bastante real em que uma pessoa financiou o valor de R$24.000,00, para pagar em 24 parcelas iguais de R$1200,00 ao final de cada mês, sem ter dado nenhum valor de entrada. Pergunta-se: Qual é a taxa mensal de juros desta operação? Esta operação é conhecida em Matemática Financeira como um financiamento pelo Sistema Price.
Para obter a taxa de juros i, devemos resolver a equação
onde A=24000 e R=1200. Se i=0, não existe taxa de juros, razão pela qual esta fórmula não pode ser usada. Para i>0, podemos substituir A e R e e{crever:
Se tomarmos a função
f é contínua (f é uma função polinomial) para i>0, assim basta tomar i1=1%=0,01 e i2=2%=0,02 para observar que f(0,01)<0<f(0,002), o que garante que existe um número i entre 0,01 e 0,02 tal que f(i)=0. Com um pouco de trabalho, você obterá i=0,01513=1,513%. Se você quer obter estes cálculos de forma rápida, poderá acessar o nosso link sobre Taxas de juros em um financiamento.