Matematica Essencial: Derivadas de Funcoes Reais (1a.parte) MatemáticaEssencialEnsino Superior Derivadas de Funções (1a.parte) Introdução: conceito de derivada Derivada de uma função real Diferencial de uma função Derivadas laterais Diferenciabilidade e continuidade Algumas derivadas simples Derivadas: Segunda parte Introdução ao conceito de derivada Os conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na figura ao lado. Ao tentar estender esta idéia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e tomarmos um ponto P sobre a curva, esta definição perde o sentido, como mostram as figuras abaixo. Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no ponto P. Na 1a. figura, a reta corta a curva em outro ponto Q. Na 2a. figura, a curva está muito "achatada" perto do ponto P e a suposta reta tangente toca a curva em mais ddo que um ponto. Na 3a. figura, a reta também é tangente à curva no ponto Q. Para chegar a uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que "melhor aproxima" o gráfico de f nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência. Consideremos a curva que representa o gráfico de uma função contínua f. Tomaremos como xo e f(xo) as coordenadas do ponto P onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora outro ponto Q do gráfico de f, representado por (xo+h,f(xo+h)), onde h é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto P ao ponto Q. A reta que passa por P e Q é secante à curva y=f(x). A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo Quociente de Newton, definido como a razão incremental de f com respeito à variável x, no ponto xo: Considerando o ponto P fixo e o ponto Q se aproximando de P, passando pelas posições sucessivas Q1, Q2, Q3,... As secantes assumirão as posições por PQ1, PQ2, PQ3, ... Pode-se observar que as declividades (inclinações) dessas retas secantes ficarão cada vez mais próximas da declividade da reta tangente. Esperamos que a razão incremental, se aproxime de um valor finito k, à medida que o ponto Q se aproxima do ponto P, independentemente do fato que a abscissa de Q seja maior ou menor do que a abscissa de P. Isto nem sempre ocorre, mas quando isto acontece, definimos a reta tangente ao gráfico de f no ponto P, como sendo aquela que passa por P e cuja declividade (coeficiente angular da reta) é igual a k. Observamos que o recurso analítico para fazer Q se aproximar de P, consiste em fazer o número h tender a zero, isto é, tomar os valores de h arbitrariamente próximos de 0. Se o resultado assume valores positivos (negativos), cada vez mais próximos de zero, isto significa que a sequência de pontos Qj está se aproximando do ponto P pela direita (pela esquerda). Quando h se aproxima de 0 e a razão incremental se aproxima do valor finito k, dizemos que k é o limite da razão incremental com h tendendo a zero e denotamos isto por: k = O limite da razão incremental só tem sentido se o mesmo existe. Neste caso, se a função f for contínua no ponto x=xo, então a reta tangente à curva y=f(x) no ponto P=(xo,f(xo)), será dada por: y = f(xo) + k (x-xo) Aplicação: Seja a parábola dada pela função f(x)=x2. O coeficiente angular da reta tangente a esta curva no ponto P=(1,1), é dado por: k = = = 2 Assim, a reta tangente à curva y=x2, será: y = 2x-1 Derivada de uma função real Quando h tende a 0 (com h diferente de 0) e o quociente de Newton no ponto xo se aproxima de um valor finito k, dizemos que este número k é a derivada de f no ponto xo, denotando este fato por: f '(xo) = desde que tenha sentido este limite. Se tal limite não existe, dizemos que não existe a derivada de f em xo. Se a função tem derivada em um ponto, dizemos que f é derivável (ou diferenciável) neste ponto. Exemplo: A derivada da função f(x)=x3 no ponto x=1, é dada por: f '(1) = = =3 Exemplo: A derivada da função f(x)=x3 em um ponto genérico x=c, é dada por: f '(c) = = =3c2 Para apresentar a derivada de uma função, como f(x)=x3 , escrevemos f '(x)=3x2, pois f '(x) = = = 3x2 Aplicação : Conceito importante é o da reta normal a uma curva y=f(x) num ponto P=(c,f(c)), isto é, a reta perpendicular à reta tangente a curva neste ponto. Como duas retas, com coeficientes angulares iguais a k1 e k2, são perpendiculares, se: k1 . k2= -1 e se k1=f '(c), então o coeficiente angular da reta normal será: e a reta normal será dada por: y=f(c)+k2(x-c) Notações: Outras notações para a derivada de y=f(x) com relação a x: Dx f Dx y dy dx Observações : Na hipótese de existência do limite, podemos escrever a derivada de outras formas. Se xo é um ponto particular no domínio de f, então: f '(xo) = Se x=xo+ x na última expressão e tomarmos x0, obteremos outra expressão equivalente para a derivada: f '(xo) = x=x-xo é a diferença que ocorre na variável x para cada análise fixa e representa a variação da variável x quando fazemos uma análise do ponto de vista dinâmico. Por definição dx = x = x-xo y = f = f(x)-f(xo) Diferencial de uma função f Nem sempre a diferença exata f coincide com a variação dinâmica para f, definida como a diferencial de f, denotada por df. A diferencial de uma função contínua f no ponto xo é definida por: df = f '(xo) dx que pode ser justificada do ponto de vista geométrico. Já vimos que a equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto P=(xo,f(xo)) é: y-f(xo) =f '(xo)(x-xo) Realizaremos uma translação de todo o sistema gráfico para um novo sistema cuja origem passa a ser o ponto P=(xo,f(xo)). Tomaremos dy=y-f(xo), dx=x-xo e um outro sistema onde as novas variáveis serão dx e dy, no lugar das variáveis antigas x e y. Indicando a nova curva transladada por y=f(x), teremos que a nova reta tangente a esta curva passará pela origem (0,0) do novo sistema. A equação da reta tangente será dada por: dy = f '(xo) dx cuja inclinação coincide com a diferencial de f em xo. A translação para a origem deste novo sistema, é essencial para entender o processo de linearização, fato muito comum na Matemática aplicada. Este processo informa que, ampliando bastante a vizinhança do ponto (xo,f(xo)) (com um "Zoom-In") nas vizinhanças do ponto P, obteremos praticamente duas retas se tangenciando, como podemos observar na figura, em anexo. Aplicações da diferencial a cálculos aproximados: Se o lado de um quadrado aumentar 3%, qual será o aumento aproximado da área do quadrado? Solução: A área do quadrado é dada por A(x)=x2, assim a diferencial desta função será escrita como: dA = A'(x)dx = 2x.dx pois A'(x)=2x e dx=3%=0,03. A área aumentará aproximadamente: dA = 2x (0,03) = 0,06 x = 6% de x Se a aresta de um cubo mede x=10 cm, diminuir 3%, qual será a diminuição aproximada do volume deste cubo? Solução: O volume do cubo é dado por V(x)=x3, assim temos que V'(x)=3x2 e a diferencial desta função será escrita como: dV = V'(x) dx = 3x2.dx Como x=10 e dx=3%=0,03, o volume do cubo diminuirá aproximadamente: dV = 3.102 (0,03) = 9 cm3 Um triângulo tem dois lados com medidas de 2m e 3m formando um ângulo de 60o. Se o equipamento que mede o ângulo comete um erro de 1%, qual será o erro aproximado no cálculo da área? Solução: A área do triângulo é dada por A(x)=(1/2).a.b.sen(x). Assim: dA = (1/2).a.b.cos(x) dx Como x=60o=pi/3 rad, a=2m, b=3m e dx=1% de 1 rad, então dA = (1/2).2.3.cos(pi/3).0,01 = 0,015 m2 Derivadas Laterais Como a derivada de uma função f em um ponto xo é um caso particular de limite, então também tem sentido calcular os limites laterais abaixo, à esquerda e à direita em xo: f '(xo-) = Os valores de x devem ser menores do que xo (x<xo) f '(xo+) = Os valores de x devem ser maiores do que xo (x<xo) Quando tais limites existem, eles são, respectivamente denominados, derivada lateral de f à esquerda em xo e derivada lateral de f à direita no ponto xo. Se ambos os limites existem e são iguais, dizemos que f possui derivada no ponto xo. Exemplo importante: A função real definida por f(x)=|x| tem derivada lateral à direita no ponto x=0 igual a +1 e derivada lateral à esquerda no ponto x=0 igual a -1, o que significa que tais derivadas laterais no mesmo ponto são distintas. Para todo x não nulo, as derivadas laterais à esquerda e à direita coincidem.A função real definida por g(x)=|x|3 tem derivadas laterais sempre iguais em cada ponto x do seu domínio, o que significa que esta função tem derivada em todos os pontos de R. Diferenciabilidade e Continuidade Existem funções que não têm derivada em um ponto, embora possa ter derivadas laterais à esquerda e à direita deste ponto e ser contínua neste ponto. Exemplo: A função (modular) definida por f(x)=|x|, não tem derivada no ponto x=0, mas: f é contínua em toda a reta; Derivada lateral à direita: f '(0+) = +1; Derivada lateral à esquerda: f '(0-) = -1. Este exemplo mostra que a continuidade de uma função em um ponto não garante a existência da derivada da função neste mesmo ponto, mas a recíproca é verdadeira, isto é, a existência da derivada de f em um ponto, implica na continuidade de f neste ponto. Observação: Um termo comum na literatura acerca de derivadas é a palavra suave. Dizemos que uma função que tem derivada em um ponto é suave nas vizinhanças deste ponto, motivado pelo fato que existe um bico (como a função modular) na função, permite que as derivadas laterais sejam diferentes, o que implica que a função não tem derivada neste ponto. Algumas derivadas simples (c)'=0 (ex)'= ex (xn)' = n xn-1 (sen(x))' = cos(x) (cos(x))' = -sen(x) (Log(x))' = 1/x Construída por Ulysses Sodré e Sônia F.L.Tóffoli
Os conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na figura ao lado.
Ao tentar estender esta idéia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e tomarmos um ponto P sobre a curva, esta definição perde o sentido, como mostram as figuras abaixo.
Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no ponto P. Na 1a. figura, a reta corta a curva em outro ponto Q. Na 2a. figura, a curva está muito "achatada" perto do ponto P e a suposta reta tangente toca a curva em mais ddo que um ponto. Na 3a. figura, a reta também é tangente à curva no ponto Q.
Para chegar a uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que "melhor aproxima" o gráfico de f nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência. Consideremos a curva que representa o gráfico de uma função contínua f. Tomaremos como xo e f(xo) as coordenadas do ponto P onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora outro ponto Q do gráfico de f, representado por (xo+h,f(xo+h)), onde h é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto P ao ponto Q. A reta que passa por P e Q é secante à curva y=f(x). A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo Quociente de Newton, definido como a razão incremental de f com respeito à variável x, no ponto xo: Considerando o ponto P fixo e o ponto Q se aproximando de P, passando pelas posições sucessivas Q1, Q2, Q3,... As secantes assumirão as posições por PQ1, PQ2, PQ3, ... Pode-se observar que as declividades (inclinações) dessas retas secantes ficarão cada vez mais próximas da declividade da reta tangente. Esperamos que a razão incremental, se aproxime de um valor finito k, à medida que o ponto Q se aproxima do ponto P, independentemente do fato que a abscissa de Q seja maior ou menor do que a abscissa de P. Isto nem sempre ocorre, mas quando isto acontece, definimos a reta tangente ao gráfico de f no ponto P, como sendo aquela que passa por P e cuja declividade (coeficiente angular da reta) é igual a k.
Observamos que o recurso analítico para fazer Q se aproximar de P, consiste em fazer o número h tender a zero, isto é, tomar os valores de h arbitrariamente próximos de 0.
Se o resultado assume valores positivos (negativos), cada vez mais próximos de zero, isto significa que a sequência de pontos Qj está se aproximando do ponto P pela direita (pela esquerda).
Quando h se aproxima de 0 e a razão incremental se aproxima do valor finito k, dizemos que k é o limite da razão incremental com h tendendo a zero e denotamos isto por:
Aplicação: Seja a parábola dada pela função f(x)=x2. O coeficiente angular da reta tangente a esta curva no ponto P=(1,1), é dado por:
Quando h tende a 0 (com h diferente de 0) e o quociente de Newton no ponto xo se aproxima de um valor finito k, dizemos que este número k é a derivada de f no ponto xo, denotando este fato por:
Exemplo: A derivada da função f(x)=x3 no ponto x=1, é dada por:
Exemplo: A derivada da função f(x)=x3 em um ponto genérico x=c, é dada por:
Para apresentar a derivada de uma função, como f(x)=x3 , escrevemos f '(x)=3x2, pois
Notações: Outras notações para a derivada de y=f(x) com relação a x:
Nem sempre a diferença exata f coincide com a variação dinâmica para f, definida como a diferencial de f, denotada por df. A diferencial de uma função contínua f no ponto xo é definida por:
que pode ser justificada do ponto de vista geométrico. Já vimos que a equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto P=(xo,f(xo)) é:
Realizaremos uma translação de todo o sistema gráfico para um novo sistema cuja origem passa a ser o ponto P=(xo,f(xo)). Tomaremos dy=y-f(xo), dx=x-xo e um outro sistema onde as novas variáveis serão dx e dy, no lugar das variáveis antigas x e y. Indicando a nova curva transladada por y=f(x), teremos que a nova reta tangente a esta curva passará pela origem (0,0) do novo sistema.
A equação da reta tangente será dada por:
Aplicações da diferencial a cálculos aproximados:
pois A'(x)=2x e dx=3%=0,03. A área aumentará aproximadamente:
Como x=10 e dx=3%=0,03, o volume do cubo diminuirá aproximadamente:
Como a derivada de uma função f em um ponto xo é um caso particular de limite, então também tem sentido calcular os limites laterais abaixo, à esquerda e à direita em xo:
Quando tais limites existem, eles são, respectivamente denominados, derivada lateral de f à esquerda em xo e derivada lateral de f à direita no ponto xo. Se ambos os limites existem e são iguais, dizemos que f possui derivada no ponto xo.
Exemplo importante: A função real definida por f(x)=|x| tem derivada lateral à direita no ponto x=0 igual a +1 e derivada lateral à esquerda no ponto x=0 igual a -1, o que significa que tais derivadas laterais no mesmo ponto são distintas. Para todo x não nulo, as derivadas laterais à esquerda e à direita coincidem.A função real definida por g(x)=|x|3 tem derivadas laterais sempre iguais em cada ponto x do seu domínio, o que significa que esta função tem derivada em todos os pontos de R.
Existem funções que não têm derivada em um ponto, embora possa ter derivadas laterais à esquerda e à direita deste ponto e ser contínua neste ponto.
Exemplo: A função (modular) definida por f(x)=|x|, não tem derivada no ponto x=0, mas:
Observação: Um termo comum na literatura acerca de derivadas é a palavra suave. Dizemos que uma função que tem derivada em um ponto é suave nas vizinhanças deste ponto, motivado pelo fato que existe um bico (como a função modular) na função, permite que as derivadas laterais sejam diferentes, o que implica que a função não tem derivada neste ponto.