Nem sempre devemos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples. Temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida.

Regras gerais para derivadas de funções

Função	Derivada
w(x) = k f(x)	w' (x) = k f ' (x)
w(x) = f(x)+g(x)	w' (x) = f ' (x) + g' (x)
w(x) = f(x).g(x)	w' (x) = f(x).g' (x) + f ' (x).g(x)
w(x) = f(x)/g(x) (g(x) não nulo)

Exercício: Determinar as regras de derivação para as funções:

• w(x) = f(x) + g(x) + h(x)
• w(x) = f₁(x) + ... + f_n(x)
• w(x) = f(x) . g(x) . h(x)
• w(x) = f₁(x) × ... × f_n(x)
• w(x) = f(x) . g(x) ÷ h(x)

Regra da cadeia
As regras já apresentadas permitem derivar funções que podem ser representadas por expressões com termos simples, o que ocorre com funções conhecidas, mas tais regras não se aplicam a funções mais complexas, como por exemplo, f(x)=(4x+1)¹⁰⁰ pois, é praticamente impossível derivar um produto com 100 termos pela regra usual. No entanto, podemos expressar esta função como a composta de duas funções mais simples, motivo pelo qual, aprenderemos a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. A seguir apresentamos a Regra da Cadeia, que nos dá a derivada da função composta.

Teorema: Sejam f e g funções diferenciáveis e h a função composta definida por h(x)=f(g(x)). Se u=g(x) é derivável no ponto x e se y=f(u) é derivável no ponto u=g(x), então a função composta h é derivável no ponto x e a sua derivada é dada por:

Uma notação muito utilizada é:

Outras notações comuns, como y=h(x)=f(g(x)), sendo u=g(x) e y=f(u), nos dão as expressões equivalentes:

Dx y = Du y . Dxu

yx = yu . ux

Exemplo: Para a função f(x)=(4x+1)¹⁰⁰ tomamos u(x)=4x+1 e usamos v(u)=u¹⁰⁰, para escrever f(x)=v(u(x)) e pela regra da cadeia:

Derivada da função inversa
Seja y=f(x) uma função inversível, derivável em um ponto x tal que a derivada de f não se anula e g(y)=g(f(x)) é a função inversa de f. Então g é derivável em y=f(x) e a derivada de g é dada por:

Este resultado é uma aplicação imediata da regra da cadeia, pois se g é a inversa de f, temos que x=g(f(x)) e derivando em relação à variável x em ambos os membros da igualdade, teremos:

Exemplo: Seja a função real definida por y=f(x)=x²+3x. Mostrar que a derivada da função inversa de f=f(x) é dada por:

Derivada de potência de função
Se f(x)=[u(x)]^p onde u=u(x) é uma função derivável e p é um número real, então

Exemplo: Seja f(x)=[sen(2x)]⁷, definida para x real. Mostrar que a derivada, é dada por:

Derivadas de função elevada a outra função
Se f(x)=[u(x)]^v(x), onde u e v são funções deriváveis num intervalo I da reta real e para todo x no intervalo I, se tem que u(x)>0, então:

ou sem a variável x, como:

Exemplo: Seja f(x)=x^x, definida para x>0. Mostrar que a derivada, é dada por:

1. Construir as curvas: circunferência x²+y²=1 e hipérbole canônica dada por x²-y²=1;
2. Na circunferência, identificar o seno, o cosseno e a tangente;
3. Na hipérbole, identificar o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico;
4. Definir o seno hiperbólico, o cosseno hiperbólico e a tangente hiperbólica em função da exponencial crescente f(x)=exp(x) e da exponencial decrescente f(x)=exp(-x);
5. Apresentar uma série de identidades trigonométricas circulares clássicas;
6. Apresentar as correspondentes identidades trigonométricas hiperbólicas;
7. Derivar as funções seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica, comparando os resultados obtidos com as derivadas de seno, cosseno e tangente circulares.

Seja f uma função derivável. Se f ' também for derivável, então a derivada de f ' é chamada derivada da segunda de f e é representada por f " (f duas linhas). Se f " é uma função derivável, a sua derivada dada por f ''', é chamada derivada terceira de f. A derivada de ordem n dada por f⁽ⁿ⁾ é obtida pela derivada da derivada de ordem n-1 de f. Algumas notações para algumas derivadas de ordem superior:

As funções abordadas até agora, foram sempre apresentadas na forma explícita: y=f(x), as quais, determinamos y em termos de x. Por exemplo, y=f(x)=e^sen(x) pode ser derivada pelas regras comuns. Muitas vezes, trabalhamos com equações em x e y, como por exemplo:

Exemplo: Se x²+y²=1, então as duas soluções possíveis são:

e podemos obter as derivadas pelos procedimentos comuns.

No caso em que temos xy + sen(xy) = 3, não é possível extrair o valor de y em função de x e isto nos força a pensar na possibilidade da existência da derivada f ', mesmo que não exista uma função y=f(x).

Nosso interesse é construir outro processo que nos poupe trabalho. Não trabalharemos agora com a função xy + sen(xy) = 3, por ser muito complicada, mas tomaremos a relação: x²+y²=1. Se admitirmos que existe y=f(x) definida implicitamente com x em algum intervalo real I, tal que f possua derivada neste intervalo, então para cada x em I, poderemos escrever:

Derivando ambos os membros da igualdade em relação a x, obtemos:

Temos então uma relação entre x, f e f ', dada por:

ou seja:

Exercício: Derivar implicitamente a função y=f(x), definida pela relação:

Apresentaremos um método geral para levantar indeterminações de limites dos tipos 0/0 ou infinito/infinito. Esse método é dado pelo:

Teorema (L’Hôpital): Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I=(a,b), exceto possivelmente no ponto a de I. Se para todo x diferente de a em I, a derivada de g não se anula e quando xa, temos que Lim f(x)=0=Lim g(x) e além disso

=L

então, também temos que

=L

Exemplo: Para obter o limite

L=

usamos a Regra de L'Hôpital. Derivamos as funções do numerador e do denominador (não é a derivada do quociente!) e calculamos o novo limite. Dessa forma:

L=

=

=1

O teorema acima continua válido para limites laterais e limites no infinito, definindo f e g em intervalos adequados. É válido também se ao invés do número L, o limite for infinito. Quando temos formas indeterminadas, podemos reescrever as mesmas para poder aplicar a Regra de L'Hôpital.

Exemplo: Para obter o limite L = Lim(x log(x)) com x0, podemos escrever este limite na forma de uma fração e usar a Regra de L'Hôpital. Realmente,

x.log(x)=

=

=Lim(-x)=0

A fórmula de Taylor é um método de aproximação de uma função por um polinômio algébrico, com um erro que pode ser estimado. Se f é uma função real definida sobre um intervalo aberto (a,b), f admitindo derivadas até a ordem n+1 em x=c de (a,b). O polinômio de Taylor de ordem n associado à função f em x=c, denotado por P_n f(x), é definido como:

sendo que z é um número que está entre x e c. Esta última expressão é a forma de Lagrange para o resto.

Exercício: Obter o polinômio de Taylor de grau 10 da função real definida por f(x)=cos(x), desenvolvido em torno do ponto c=0.