Uma grande quantidade de equações diferenciais ordinárias de 1a. ordem pode ser escrita na sua forma normal, dada por:

ou quando a função f=f(x,y) pode ser escrita como o quociente de duas outras funções M=M(x,y) e N=N(x,y), temos:

Em geral, colocamos o sinal negativo antes de M=M(x,y):

para poder reescrever:

Exemplos	A equação diferencial y' = cos(x+y) está em sua forma normal. A equação diferencial y' = x/y está em sua forma normal, mas pode ser reescrita na sua forma diferencial x dx - y dy = 0.

Consideremos uma equação diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0. Se M é uma função de apenas a variável x, isto é M=M(x) e N é função apenas da variável y, isto é N=N(y), então a equação dada fica na forma:

e ela é chamada equação separável. Tal fato é motivado pelo fato que é possível separar as funções de modo que cada membro da igualdade somente possua um tipo de variável e assim poderemos realizar a integração de cada membro por um processo bastante "simples".

Exemplo	Consideremos a equação diferencial y' = x/y na sua forma normal, que também pode ser reescrita na sua forma diferencial xdx-ydy=0. Como: x dx = y dy então integrando cada termo independentemente, teremos: x2/2 + C1 = y2/2 + C2 e reunindo as constantes em uma constante C, teremos: x2 - y2 = C Esta relação satisfaz à equação diferencial dada.

Uma função f=f(x,y) é dita homogênea de grau k se, para todo t real, se tem que:

Uma função f=f(x,y) é homogênea de grau 0 se, para todo t real, se tem que:

Exemplos	f(x,y)=x2 + y2 é uma função homogênea de grau 2. f(x,y)=x2 / y2 é uma função homogênea de grau 0. f(x,y)=arctan(y/x) é uma função homogênea de grau 0.

Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial é constatar que todos os monômios da função têm o mesmo grau e no caso de uma função racional (quociente de polinômios), todos os membros do numerador têm o mesmo grau que todos os membros do denominador.

Uma equação diferencial na forma normal y' = f(x,y) é dita homogênea se a função f=f(x,y) for homogênea de grau zero.

Exemplos	y' = (x2 + y2)/xy é uma equação diferencial homogênea. y' = x2 / y2 é uma equação diferencial homogênea. y' = arctan(y/x) é uma equação diferencial homogênea

Pode-se resolver uma Equação diferencial homogênea, transformando-a em uma equação de variáveis separáveis através da substituição y(x)=x.v(x) onde v=v(x) é uma nova função incógnita.

Toma-se y=x.v, de onde segue que dy=x.dv+v.dx. Assim uma equação da forma y' = f(x,y) pode ser transformada em uma equação separável da forma:

e após algumas mudanças obtemos uma equação com variáveis separáveis.

Exemplo

Resolver a Equação dif. homogênea y'=(x2+y2)/xy Primeiro tomamos y = x.v e y' = x.v' + v, para obter: x v' + v = (1+v2) / v x v' + v = 1/v + v x v' = 1/v x dv/dx = 1/v v dv = dx/x Com a integração em ambos os membros, teremos: v2 = 2 ln(x) + C logo y2 = x2 (2 ln(x) + C)

Na sequência utilizaremos a notação M_x para representar a derivada parcial da função M=(x,y) em relação à variável x. Consideremos uma equação na forma diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Esta equação será dita exata se existir uma função F=F(x,y) cuja diferencial exata:

Estudando algumas propriedades de diferenciabilidade de M e N, podemos ter um outro critério para a garantia que esta equação é exata. Diremos que a equação Mdx+Ndy=0 é exata se:

Exemplos	A forma diferencial 3x2y2 dx + 2x3y dy = 0 é exata pois existe F(x,y)=x3y2 cuja diferencial exata coincide com o membro da esquerda da equação dada. Outra forma de verificar isto é mostrar que My=Nx=6x2y. A forma diferencial x dx + y dy = 0 é exata. A forma diferencial M(x) dx + N(y) dy = 0 é exata. A forma diferencial y dx - x dy = 0 não é exata.

Consideremos uma equação diferencial da forma

Vamos considerar que todas as condições necessárias para que possamos resolver esta equação sejam satisfeitas.

O melhor que podemos fazer quando a_o(x) é não nula, é realizar a divisão de todos os termos da equação por a_o(x) para obter:

Um bom método para resolver esta equação de uma forma geral é multiplicar ambos os membros da equação por uma função M=M(x) (Fator Integrante) de tal modo que o termo da esquerda da nova equação:

seja a diferencial da função M(x) y(x), isto é:

mas para que isto ocorra, devemos conhecer M=M(x) tal que:

assim, basta que:

Desse modo, devemos primeiramente resolver esta última equação diferencial, para obter:

Tomando a a integral da função p=p(x) (minúscula) e denotando-a por P=P(x) (maiúscula), poderemos escrever a função multiplicadora M=M(x), como:

Multiplicando os membros desta equação por exp(P(x))=e^P(x), teremos:

O membro da esquerda agora representa a derivada da função y(x).e^P(x) em relação à variável x, assim podemos escrever:

e realizando a integral em ambos os lados da igualdade teremos:

e dessa forma temos uma expressão para y=y(x):

Exemplo	Seja a equação diferencial y' + 2xy = x. Aqui p(x)=2x e q(x)=x, logo a solução depende de P(x) = x2 e assim: y(x)= e-x2.(Integral [ex2] x dx + C) logo y(x)= e-x2.(ex2/2 + C) y(x)= 1/2 + C e-x2

Obter soluções para equações diferenciais não lineares é difícil porém existem algumas equações que mesmo sendo não lineares, podem ser transformadas em equações lineares. Os principais tipos de tais equações são:

• Equação de Bernoulli
  É uma equação diferencial da forma
  y' + p(x) y = q(x) yⁿ

  Tomando a substituição w = y^1-n, observando que agora w depende indiretamente da variável x, teremos a equação:

  w' + (1-n) p(x) w = (1 - n) q(x)

  e esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

• Equação de Riccati
  É uma equação diferencial da forma:
  y' = p(x) + q(x) y + r(x) y²

  É claro que esta equação é não linear e um fato grave aqui é que não é possível resolver tal equação se não pudermos apresentar uma solução particular para a mesma.

  Consideremos y_p uma solução particular de

  y' = p(x) + q(x) y + r(x) y²

  e dessa forma vamos construir uma nova função z definida por:

  z = 1 / (y-y_p)

  Com alguns cálculos simples, obtemos:

  z' + (q(x) + 2 y_p r(x)) z = r(x)

  que é uma equação linear na variável z. Após resolvida esta última, voltamos à variável original y, através da relação:

  y = y_p + 1/z

  Exemplo	Resolver a equação de Riccati y' = -2-y-y2. Como y(x)=2 é uma solução particular da equação dada, faremos a substituição: z = 1/(y-2); y' = - z'/z2 para obter a equação linear em z: z' + 3 z = -1 cuja solução é: z(x) = -1/3 + C e-3x e com alguns poucos cálculos podemos voltar à variável y para obter a solução procurada.

Sugestão: Substituir y²= xz.