Uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem é uma equação da forma

onde a=a(x), b=b(x), c=c(x) e d=d(x) são funções conhecidas somente da variável independente x.

Exemplos	A equação diferencial x2 y" + sen(x) y' + ex y = u(x) é linear A equação diferencial y" - 7 y' + 12 y = cos(x) é linear

Para equações lineares de segunda ordem, se d(x) é diferente de zero, a equação linear será dita não homogênea e se d(x)=0 a equação linear será dita homogênea.

Exemplo	A EDO x2 y" + sen(x) y' + ex y = 0 é linear homogênea A EDO y" - 7 y' + 12 y = 0 é linear homogênea

Não confundir com a palavra homogênea empregada quando se estuda equações diferenciais homogêneas de 1a. ordem através de funções homogêneas de grau zero.

O teorema de existência e unicidade de solução garante que a equação diferencial linear de segunda ordem com as condições adicionais dadas abaixo:

possui uma única solução, desde que as funções a=a(x), b=b(x), c=c(x) e d=d(x) sejam contínuas e a=a(x) seja não nula num intervalo real que contenha o ponto x_o.

Como toda função constante real é contínua, então, dentre as equações diferenciais lineares, existe um grupo de equações muito importante que é formado pelas equações cujas funções coeficientes de y, y' e y" são constantes e neste caso, escrevemos simplesmente:

Para resolver este tipo de equação linear não homogênea, deve-se resolver primeiramente a equação linear homogênea associada a esta equação dada para obter y_h=y_h(x) e obter por algum procedimento matemático, uma solução particular da equação original y_p=y_p(x). A solução geral y=y(x) será a soma da solução da equação homogênea associada com a solução particular obtida, isto é:

Para resolver a equação homogênea com coeficientes constantes, devemos obter a equação característica associada à mesma, que é dada por:

Obter as raízes da equação característica é equivalente a obter os autovalores do Operador Diferencial Linear:

Como a equação característica é uma equação do segundo grau, ela possui exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos. Detalhando um pouco mais, observamos que quando os valores de a, b e c são reais, existem três possibilidades para a obtenção das raízes:

1. Duas raízes reais e distintas: Se r e s são raízes reais e distintas as duas autofunções (autovetores) associadas a estes autovalores em relação ao Operador L, formam o conjunto:
   {e^rx, e^sx}

2. Duas raízes reais e iguais: Se r é um autovalor real (multiplicidade 2), as duas autofunções (autovetores) associadas a estes autovalores em relação ao Operador L, formam o conjunto:
   {e^rx, x.e^rx}

3. Duas raízes complexas conjugadas: Se r e s são raízes complexos conjugadas, digamos r=a+ib e s=a-ib, as duas autofunções (autovetores) associadas a estes autovalores em relação ao Operador L, formam o conjunto:
   {e^axcos(bx), e^axsen(bx)}

Mais importante ainda é que toda combinação linear destas funções também será solução da equação diferencial linear:

Se { f₁ , f₂ } é qualquer um dos conjuntos acima citados, a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem será dada por:

Existem vários métodos para obter uma solução particular de uma equação linear não homogênea:

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1. Método dos Coeficientes a Determinar

   Consideremos a equação diferencial

   a y" + b y' + c y = d(x)

   Uma vez que conhecemos a função d=d(x), nosso objetivo será o de encontrar uma solução particular y_p=y_p(x) que possa ser escrita como combinação linear de um conjunto de funções linearmente independente capaz de gerar tanto a função d=d(x) como as funções y=y(x), y'=y'(x) e y"=y"(x). O problema fica mais fácil quando esta função d=d(x) tem alguma das formas abaixo:

   1. Polinômio de grau n na variável independente
   2. Múltiplo de uma função exponencial
   3. Combinação linear de funções trigonométricas
   4. Soma das formas anteriores
   5. Produto das formas anteriores
   Respectivamente, para cada caso, procuraremos soluções particulares das formas:
   1. y_p(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₂ x² + a₁ x + a_o
   2. y_p(x) = k e ^{r x}
   3. y_p(x) = A cos(kx) + B sen(kx)
   4. y_p(x) = y₁(x) + y₂(x) onde y₁=y₁(x) é a solução obtida na primeira forma e y₂=y₂(x) é a solução obtida na segunda forma.
   5. y_p(x) = y₁(x) * y₂(x) onde y₁=y₁(x) é uma primeira forma e y₂=y₂(x) é uma segunda forma.
   Observação importantíssima: Se as funções sugeridas já apareceram na solução geral da equação homogênea associada, então a sugestão para a nova função deverá ser a mesma função sugerida, multiplicada por x.

   Exemplos

   Consideremos L o operador diferencial linear com coeficientes constantes e uma equação diferencial linear L(y)=d(x). Se L(y) = 3x2 então procuraremos uma solução da forma: y(x) = a x2 + bx + c Se L(y) = 7 e3 x então devemos procurar uma solução da forma: y(x) = a e3 x Se L(y) = 17 cos(3x) então devemos procurar uma solução da forma: y(x) = a cos(3x) + b sen(3x) Se L(y) = 7 sen(2x) então devemos procurar uma solução da forma: y(x) = a cos(2x) + b sen(2x) Se L(y) = 7 sen(2x) + 8 cos(2x) então devemos procurar uma solução da forma: y(x) = a cos(2x) + b sen(2x) Se L(y) = 7 sen(3x) + 8 cos(2x) então devemos procurar uma solução da forma: y(x) = a cos(3x) + b sen(3x) + c cos(2x) + d sen(2x) Se L(y) = 3 e5x + (x2 + 7x +3) então devemos procurar uma solução y=y1+y2, tal que: L(y1) = 3 e5x L(y2) = x2 + 7x +3 ou seja, as funções y1 e y2 deverão da formas: y1(x) = k e5x y2(x) = ax2 + bx + c Se L(y) = 3 e5x (x2 + 7x +3) então devemos procurar uma solução da forma: y(x) = e5x[ax2+bx+c] Se L(y) = 3 e5x sen(2x) então devemos procurar uma solução da forma: y(x) = e5x [a cos(2x)+b sen(2x)]

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2. Método da Variação dos Parâmetros (Lagrange)

   Este método é muito mais poderoso que o método dos coeficientes a determinar, para a obtenção de uma solução particular de uma equação diferencial ordinária linear uma vez que resolve equações com coeficientes variáveis. O procedimento leva em consideração a solução obtida a partir da equação linear homogênea associada e trata a constante obtida como uma possível função do parâmetro x.

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   Funcionamento do método para uma EDO de 1a. ordem: Iniciaremos mostrando como funciona o método para uma equação diferencial linear de 1a. ordem, mesmo sabendo que existe uma outra forma mais fácil para resolver o problema.

   Seja a equação y' - 2y = 5. A equação homogênea associada:

   y' - 2y = 0

   tem a solução geral

   y(x) = A e^2x

   Fazemos a suposição que A seja uma função de x, isto é, A=A(x) e procuraremos descobrir esta função para que

   y(x) = A(x) e^2x

   seja uma solução particular da equação original dada.

   Para que isto ocorra, devemos realizar a derivada para escrever:

   y'(x) = A'(x) e^2x + 2 A(x) e^2x

   Substituindo esta última expressão na equação dada, teremos:

   A'(x) e^2x + 2 A(x) e^2x - 2 A(x) e^2x = 5

   Simplificando esta última equação, chegaremos a:

   A'(x) = 5 e^-2x

   que por integração nos garante que:

   A(x) = -(5/2) e^-2x

   logo, a solução particular será:

   y(x) = A(x) e^2x = -(5/2) e^-2x e^2x = -5/2

   Dessa forma, a solução geral da equação y' -2y = 5 é:

   y(x) = C e^-2x - 5/2

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   Funcionamento do método para uma EDO de 2a. ordem: Consideremos agora a equação diferencial de 2a. ordem L(y)=d(x), sendo que a solução de L(y) = 0 será dada por:
   y(x) = A y₁(x) + B y₂(x)

   onde A e B são constantes reais.

   O método consiste em fazer a suposição que A e B possam variar com a variável independente x, isto é que A=A(x) e B=B(x) e a partir daí é imposta uma condição de nulidade de uma expressão:

   A'(x) y₁(x) + B'(x) y₂(x) = 0

   que juntamente com a equação diferencial dada, força que:

   A'(x) y'₁(x) + B'(x) y'₂(x) = d(x)

   A partir daí, monta-se um sistema de equações, que será escrito sem as variáveis, mas deve ficar claro que todas as funções envolvidas dependerão de x:

   A' y₁  + B' y₂ = 0   
   A' y₁' + B' y₂' = d(x)

   Pela regra de Cramer podemos obter A' e B' e o passo seguinte é integrar estas funções para obter A=A(x) e B=B(x) e finalmente obter uma solução particular para a equação original dada.

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   Funcionamento do método para uma EDO de 3a. ordem: Consideremos agora uma equação diferencial linear de 3a. ordem L(y)=d(x), com a solução de L(y)=0 dada por:
   y(x) = A y₁(x) + B y₂(x) + C y₃(x)

   sendo A, B e C constantes reais.

   O método funciona com a suposição que A, B e C possam variar com a variável independente x, isto é que A=A(x), B=B(x) e C=C(x) e a partir daí são impostas duas condições de nulidade:

   A' y₁ + B' y₂ + C' y₃ = 0
   A' y₁' + B' y₂' + C'  y₃' = 0

   que juntamente com a equação diferencial, força que:

   A' y₁" + B' y₂" + C' y₃" = d(x)

   A partir daí, monta-se um sistema com 3 equações:

   A' y₁ + B' y₂ + C' y₃ = 0
   A' y₁' + B' y₂' + C' y₃' = 0
   A' y₁" + B' y₂" + C' y₃" = d(x)

   Pela regra de Cramer ou qualquer outro método conhecido, podemos obter A', B' e C' e o passo seguinte deve ser integrar estas funções para obter A=A(x), B=B(x) e C=C(x) para finalmente obter uma solução particular para a equação original dada.

   Exemplos

   Consideremos a equação diferencial y"+4y=sen(x). A solução da equação homogênea associada é: y(x) = A cos(2x) + B sen(2x) Montamos então o sistema: A' cos(2x) + B' sen(2x) = 0 A' (-2sen(2x)) + B' (2cos(2x)) = sen(x) Usando a regra de Cramer, obtemos A' e B': A'(x) = - (1/2) sen(2x) sen(x) B'(x) = (1/2) cos(2x) sen(x) Integrando A' e B' sem a necessidade de acrescentar a constante de integração porque estamos procurando por "uma" solução), obtemos as funções A=A(x) e B=B(x). A equação y"' = x10 é tal que a solução da equação homogênea associada pode ser escrita como: y(x) = A.1 + B.x + C.x2 Vamos montar o sistema: A'+ B' x + C' x2 = 0 B' + C' 2x = 0 2 C' = x10 Dessa forma: C(x) = (1/22) x11 e podemos obter as outras funções por integrações simples e finalmente obter a função