Fatos experimentais mostram que materiais radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do material. Se Q=Q(t) é a quantidade presente de um certo material radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t, aqui denotada por dQ/dt, é dada por:

onde k é uma constante negativa bem definida do ponto de vista físico. Por exemplo, para o Carbono 14 o valor aproximado é k = -1,244 x 10^-4, para o Rádio o valor aproximado é k = -1,4 x 10^-11

Normalmente consideramos Q(0)=Q_o a quantidade inicial do material radioativo considerado. Quando não conhecemos o material radioativo, devemos determinar o valor da constante k, o que pode ser feito através da característica de "meia-vida" do material. A "meia-vida" é o tempo necessário para desintegrar a metade do material. Portanto, se nós conhecemos a meia-vida do material, podemos obter a constante k e vice-versa. Em livro de de Química podemos obter as "meias-vidas" de vários materiais radioativos. Por exemplo, a meia-vida do Carbono-14 está entre 5538-5598 anos, numa média de 5568 anos com um erro para mais ou para menos de 30 anos. O Carbono-14 é uma importante ferramenta em Pesquisa Arqueológica conhecida como teste do radiocarbono.

Exemplo

Problema: Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g no final de 30 dias. Com quanto radioisótopo você deve começar? Solução: Desde que a "meia-vida" está dada em dias nós mediremos o tempo em dias. Seja Q(t) a quantidade presente no instante t e Q(0)=Qo a quantidade inicial. Sabemos que r é uma constante e usaremos a "meia-vida" 16 dias para obter a constante k. Realmente, temos que: Q(t) = Qo ekt mas para t=16, teremos Q(16) = (1/2) Qo, logo (1/2) Qo = Qo e16k assim e16k = 1/2 Aplicando o logaritmo natural em ambos os membros da igualdade, obtemos: k = - [ln(2)]/16 = - 0,043321698785 e dessa forma temos a função que determina a quantidade de material radioativo a qualquer momento: Q(t) = Qo e 0,043321698785 t

Problemas populacionais nos levam fatalmente às perguntas:

• Qual será a população de um certo local ou meio ambiente em alguns anos?
• Como poderemos proteger os recursos deste local ou deste meio ambiente para que não ocorra a extinção de uma ou de várias espécies?

onde a taxa k é uma constante. É simples verificar que se k>0, nós teremos crescimento e se k<0, nós teremos decaimento. Esta é uma equação linear que quando resolvida nos dá:

onde P_o é a população inicial, isto é P(0)=P_o. Portanto, concluimos o seguinte:

• Se k>0, a população cresce e continua a expandir para +infinito.
• Se k<0, a população se reduzirá e tenderá a 0. Em outras palavras, a população será extinta.

O primeiro caso, k>0, não é adequado e o modelo pode não funcionar bem a longo prazo. O argumento principal para isto vem das limitações do ambiente. A complicação é que o crescimento populacional é eventualmente limitado por algum fator, usualmente dentre aqueles recursos essenciais. Quando uma população está muito distante de seu limite de crescimento ela pode crescer de forma exponencial, mas quando está próxima de seu limite o tamanho da população pode variar.

Existe um outro modelo proposto para remediar este problema do modelo exponencial. Ele é chamado o Modelo Logistico ou modelo de Verhulst-Pearl. A equação diferencial para este modelo é

onde L é o limite máximo para a população (também chamado a capacidade do ambiente). Se P=P(t) é pequeno quando comparado com L, a equação se reduz à equação exponencial.

Este é um exemplo de uma equação diferencial não linear separável. As soluções constantes são P=0 e P=L. As soluções não constantes podem ser obtidas pela separação das variáveis, seguido do uso de integração com o uso da técnica das frações parciais.

Com algumas manipulações algébricas, teremos:

onde C é uma constante e L é o limite do ambiente.

Considerando P(0)=P_o e assumindo que P_o não é igual a 0 nem igual a L, obteremos:

Com cálculos simples de limites podemos mostrar que quando t cresce para mais infinito, então:

Esta solução já diz muito mais que a outra, entretanto este modelo ainda é satisfatório pois não nos diz quando uma população estará extinta. Mesmo começando com uma população pequena, a população sempre tenderá para a capacidade L do ambiente. Embora este modelo ainda possua falhas, êle é bastante apropriado para a análise de crescimento populacional de cidades, assim como como de populações de lactobacilos e outros.

Elementos de condução do calor: Um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente em que o mesmo está colocado, aceita três hipóteses básicas:

• A temperatura T=T(t) depende do tempo e é a mesma em todos os pontos do corpo.
• A temperatura T_m do meio ambiente permanece constante ao longo da experiência.
• A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o maio ambiente.

Montagem e resolução da equação diferencial: Assumindo verdadeiras as hipóteses, observamos que:

onde T=T(t) é a temperatura do corpo no instante t, T_m é a temperatura constante do meio ambiente, T-T_m significa a diferença de temperatura e k é uma constante que depende do material com que o corpo foi construido, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.

Esta é uma equação diferencial separável, que pode ser transformada em:

Integrando ambos os membros em relação à variável tempo, teremos:

Aplicando a função exponencial a ambos os membros e tomando as constantes embutidas em uma só, teremos:

logo, a solução da equação diferencial será:

Quando sabemos que a temperatura inicial do corpo é T(0)=T_o, então podemos obter a constante C que aparece na solução, pois:

Elementos de Eletricidade: Sem a preocupação de aprofundamento nos detalhes relacionados com a Eletricidade, iremos apresentar alguns poucos conceitos necessários ao presente trabalho de Equações diferenciais.

A diferença de potencial entre os pontos A e B de um circuito, denotada por V(t)=V_AB, pode ser definida como a integral de linha sobre o segmento de reta S do campo elétrico E=E(t), desde o ponto A até o ponto B, extremidades de S. Normalmente, esta diferença de potencial V(t) é indicada com o sinal negativo, isto é:

A Intensidade da corrente elétrica será a taxa de variação da carga elétrica Q em relação ao tempo t que atravessa uma seção transversal de um condutor. Em símbolos:

A capacitância C de um capacitor submetido a uma carga elétrica Q, com uma diferença de potencial entre as placas indicada por V_AB, será dada por:

A lei de Ohm, estabelece que a diferença de potencial V_CD nos bornes de um resistor de resistência R submetido a uma intensidade da corrente I, é dada por:

A indutância L de um indutor é uma constante relacionada com a diferença de potêncial V_BC e com a taxa de variação da intensidade da corrente elétrica em relação ao tempo dI/dt, através da expressão matemática:

Existem duas leis gerais devidas a Kirchhoff, relacionadas com a corrente elétrica e com a diferença de potencial.

• Lei dos nós: A soma algébrica das intensidades de corrente elétrica em um nó de um circuito elétrico é igual a zero.
• Lei das malhas: A soma algébrica das diferenças de potencial em uma malha é zero.

Colocaremos letras nos vértices do circuito para facilitar o estudo, identificando o sentido positivo para o deslocamento da corrente elétrica de A para B e usando a notação para a diferença de potencial entre os pontos X e Y como sendo V_XY.

Neste caso não há necessidade de fazer uso da lei dos nós, mas pela lei das malhas de Kirchhoff temos:

onde V_AB é a diferença de potencial gerada pela fonte de alimentação, V_BC é a diferença de potencial nos bornes do indutor, V_CD é a diferença de potencial nos bornes do resistor e V_DA é a diferença de potencial nos bornes do capacitor.

Relacionando agora todos os elementos, temos:

V_AB = -integral [E(t).dt] = -V(t)
V_BC = L dI/dt
V_CD = R I
V_DA = Q/C

Derivando ambos os membros desta equação diferencial em relação ao parâmetro tempo, obteremos:

Como I=dQ/dt, então poderemos escrever sem o uso da variável t:

que é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes e a parte não homogênea E=E(t). Como I=Q' , I'=Q" e:

então, esta equação diferencial também pode ser escrita da forma:

que também é uma equação diferencial ordinária linear com coeficientes constantes e a parte não homogênea V=V(t).

Existem alguns casos particulares interessantes:

• Circuito RC
  Quando não existe indutor e a diferença de potencial V_AB é constante, temos E(t)=0, logo a equação se reduz a uma EDO linear homogênea de 1a. ordem:
  R I' + (1/C) I = 0

• Circuito RC
  Quando não existe indutor e a diferença de potencial V_AB=-V(t), a equação acima se reduz a uma EDO linear não homogênea de 1a. ordem:
  R I' + (1/C) I = E(t)

• Circuito RL
  Quando não existe capacitor e a diferença de potencial V_AB é constante, E(t)=0 e a equação acima se reduz a uma EDO linear homogênea de 1a. ordem:
  L I' + R I = 0

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• Circuito RL
  Quando não existe indutor e a diferença de potencial V=V(t), a equação acima se reduz a uma EDO linear não homogênea de 1a. ordem:
  L I' + R I = V(t)

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• Circuito LC
  Quando não existe resistor e a diferença de potencial V_AB é constante, a equação acima se reduz a uma EDO linear homogênea de 2a. ordem:
  L Q" + (1/C) Q = 0

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• Circuito LC
  Quando não existe resistor e a diferença de potencial V_AB=-V(t), a equação acima se reduz a uma EDO linear não homogênea de 2a. ordem:
  L Q" + (1/C) Q = V(t)