Matematica Essencial: EDO - O Metodo de d_Alembert MatemáticaEssencial Ensino Superior Equações Diferenciais Ordinárias Metodo de d'Alembert para obter outra solução A obtenção de outra solução a partir de uma solução dada Dada uma EDO linear homogênea de segunda ordem da forma: L(y) = a(x) y" + b(x) y' + c(x) y = 0 e uma solução conhecida y1=y1(x), o método de d'Alembert proporciona uma forma de construir uma segunda solução y2=y2(x) para esta equação de modo que o conjunto das soluções de L(y)=0: C = { y1, y2 } seja linearmente independente. O método consiste em multiplicar a solução conhecida y1=y1(x) por uma função v=v(x) que deverá ser obtida através de uma equação que aparecerá quando substituiros y2=y2(x) na EDOL dada, considerando que L(y1) = 0, isto é: y2(x) = v(x) y1(x) Explicaremos o funcionamento do método através de dois exemplos. Exemplo: Usando o método de d'Alembert, resolver a equação: x2 y" - 4x y' + 6y = 0 assumindo que a função y1(x)=x2 seja uma solução (Verifique isto!). Tomando y2(x) = v(x) x2 teremos: y2'(x) = v'(x) x2 + 2x v(x) e y2"(x) = v"(x) x2 + 4x v'(x) + 2 v(x) que é igual a x4 v"(x) = 0 ou seja v"(x) = 0 Resolvendo esta EDO, temos: v(x) = ax + b Como estamos procurando uma função simples (caso particular) com esta propriedade mas que não seja nula, tomaremos a=1 e b=0 e assim v(x) = x e a nossa segunda solução será y2(x) = x . x2 = x3 A solução geral da EDO dada é: y(x) = C1 x2 + C2 x3 = x2 ( C1 + C2 x) Exemplo: Com o método de d'Alembert, resolver a equação: t2 y" + 3t y' + y = 0 assumindo que y1(t) = t-1 seja uma solução (Verifique isto!). Tomaremos y(t) = v(t) . t-1 para obter y'(t) = t-1 v'(t) - t-2 v(t) e y"(t) = t-2 [ t v"(t) - 2 v'(t) + 2 t-1 v(t)] Substituindo estas derivadas assim como a função y=y(t) na EDO com coeficientes variáveis teremos: t v"(t) + v'(t) = 0 e tomando v'(t) = p(t), teremos a EDO linear de 1a. ordem: t p'(t) + p(t) = 0 cuja solução é p(t) = K t-1 Voltando à variável introduzida anteriormente, teremos: v'(t) = K t-1 cuja solução é: v(t) = C ln(t) + D e voltando à função tomada inicialmente, com C=1 e D=0: y2(x) = ln(t) . t-1 e a solução geral da EDO dada é: y(x) = C1.t-1 + C2.ln(t). t-1 ou seja y(x) = t-1 [ C1 + C2 ln(t)] Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 18, 2000. [matweb/superior/edo/inclusao_dasecretaria.htm]
A obtenção de outra solução a partir de uma solução dada
Dada uma EDO linear homogênea de segunda ordem da forma:
e uma solução conhecida y1=y1(x), o método de d'Alembert proporciona uma forma de construir uma segunda solução y2=y2(x) para esta equação de modo que o conjunto das soluções de L(y)=0:
seja linearmente independente. O método consiste em multiplicar a solução conhecida y1=y1(x) por uma função v=v(x) que deverá ser obtida através de uma equação que aparecerá quando substituiros y2=y2(x) na EDOL dada, considerando que L(y1) = 0, isto é:
Explicaremos o funcionamento do método através de dois exemplos.
Exemplo: Usando o método de d'Alembert, resolver a equação:
assumindo que a função y1(x)=x2 seja uma solução (Verifique isto!).
Tomando
que é igual a
Resolvendo esta EDO, temos:
Como estamos procurando uma função simples (caso particular) com esta propriedade mas que não seja nula, tomaremos a=1 e b=0 e assim
e a nossa segunda solução será
A solução geral da EDO dada é:
Exemplo: Com o método de d'Alembert, resolver a equação:
assumindo que y1(t) = t-1 seja uma solução (Verifique isto!).
Tomaremos
para obter
Substituindo estas derivadas assim como a função y=y(t) na EDO com coeficientes variáveis teremos:
e tomando v'(t) = p(t), teremos a EDO linear de 1a. ordem:
cuja solução é
Voltando à variável introduzida anteriormente, teremos:
cuja solução é:
e voltando à função tomada inicialmente, com C=1 e D=0:
e a solução geral da EDO dada é:
ou seja