É uma equação diferencial ordinária linear (EDOL) da forma

onde n é um número natural que fornece a ordem da equação se a_n é não nulo e os a_k são números reais (k=0,1,2,...,n)

Na sequência trataremos apenas das EDOL de Euler que são homogêneas. Para resolver as EDOL de Euler não homogêneas, deve-se usar o método da variação dos parâmetros.

Solução da equação homogênea de Euler: Para resolver esta equação, procuraremos obter números reais ou complexos r de tal forma que:

seja solução da EDOL dada, para cada r possível.

Desta forma encontraremos n soluções LI que resolvem a EDOL homogênea associada à equação dada. Sob esta hipótese, temos que:

onde A(r,k)=r(r-1)(r-2)...(r-k+1) = arranjo de r elementos tomados k a k.

Para facilitar inicialmente os nossos trabalhos, vamos considerar o caso geral de uma EDOL não homogênea de Euler de ordem n=2, isto é:

A equação homogênea associada aqui é:

Substituindo tanto a função y=y(x) como as suas derivadas obtemos:

Como estamos procurando soluções que sejam LI, devemos ter que

que simplificada, nos fornece a equação indicial da EDOL de Euler:

Como esta equação indicial é do segundo grau, temos três possibilidades:

• Duas raízes reais e distintas
• Duas raízes reais e iguais
• Duas raízes complexas conjugadas

Análise dos casos:

1. Duas raízes reais e distintas

   Neste caso

   y₁(x) = x^r₁ e y₂(x) = x^r₂

   logo a solução da homogênea será:

   y(x) = C₁ x^r₁ + C₂ x^r₂

   Exemplo: Seja a EDOL de Euler:

   L(y) = x² y" -2 x y' + 2y = 0

   A equação indicial associada é:

   r² - 3r + 2 = 0

   cujas raízes são r=1 e r=2, logo a solução geral é:

   y(x) = C₁ x + C₂ x²

2. Duas raízes reais e iguais

   Aqui

   y₁(x) = x^r

   e a segunda é obtida pela multiplicação por Ln(x), isto é:

   y₂(x) = Ln(x) x^r

   logo a solução da homogênea será:

   y(x) = C₁ x^r + C₂ x^r Ln(x)

   Exemplo: Consideremos a EDOL de Euler:

   L(y) = x² y" - 3x y' + 4y = 0

   Quando tomamos

   y(x) = x^r

   então:

   L(x^r) = (r² - 4r + 4) x^r

   Assim a equação indicial associada é:

   r² - 4r + 4 = (r-2)² = 0

   que tem uma raíz dupla r=2, logo uma solução é:

   y₁(x) = x²

   Para obter uma segunda solução da forma:

   y₂(x) = Ln(x) y₁(x) = x² Ln(x)

   vamos retomar a expressão já obtida anteriormente e realizar um detalhamento para justificar esta multiplicação por Ln(x).

   Como:

   L(x^r) = (r-2)² x^r

   então, aplicando o operador diferencial em relação a variável r, aqui denotado por D_r, teremos:

   D_r L(x^r) = D_r[(r-2)² x^r]

   Como os operadores diferenciais D_r e L comutam, então podemos reescrever esta última expressão como:

   L( D_r (x^r)) = D_r[(r-2)² x^r]

   Como estamos fazendo a derivada em relação à variável r, nosso trabalho será um pouco maior e neste caso:

   D_r (x^r) = D_r [e^r.Ln(x)] = Ln(x) D_r[e^r.Ln(x)] = Ln(x) x^r

   o que garante que

   L[ Ln(x) x^r] = 2(r-2)x^r + (r-2)² Ln(x) x^r

   Neste caso sabemos que o autovalor é r=2 e faremos r=2 na última expressão para obter:

   L[ Ln(x) x²] = 0

   Como o operador L aplicado a esta função fornece um resultado nulo, segue que esta é uma outra solução da EDOL de Euler, ou seja:

   y₂(x) = ln(x) x²

   Como o conjunto formado pelas funções y₁=y₁(x) e y₂=y₂(x) é linearmente independente, podemos escrever a solução geral como:

   y(x) = C₁ x² + C₂ x² Ln(x) ou seja y(x) = x² [ C₁ + C₂ ln(x) ]

   Exemplo: Consideremos agora uma EDOL de Euler de terceira ordem:

   x³ y⁽³⁾ + 6x² y" + 7x y' + y = 0

   Tomando y(x) = x^r seguirá que:

   x^r ( r³ +3 r² + 3 r + 1) = 0

   É fácil de observar que a equação indicial (característica) é:

   r³ +3 r² + 3 r + 1 = 0

   tem a raiz tripla r = -1, o que nos garante uma primeira solução:

   y₁(x) = x^-1

   Com um processo similar ao do exemplo anterior, multiplicamos y₁ por ln(x) para obter:

   y₂(x) = x^-1 ln(x)

   e multiplicamos y₂ por ln(x) para obter:

   y₃(x) = x^-1 (ln(x))²

   e a solução geral desta EDOL de Euler é:

   y(x) = x^-1 [ C₁ + C₂ ln(x) + C₃ ln²(x) ]

3. Duas raízes complexas conjugadas

   Se as raízes são dadas por:

   r₁ = a + bi;   r₂ = a - bi

   poderíamos tentar usar as funções complexas, como:

   y₁(x) = x^a+bi;    y₂(x) = x^a-bi

   mas isto nem sempre é adequado, pois estamos procurando funções reais válidas para x>0. Trabalharemos então com as partes real e imaginária do número complexo r=a+bi para obter a solução da EDOL homogênea de Euler.

   y(x) = x^a+bi = x^a x^bi = x^a exp(b.Ln(x)i)

   e pela relação de Euler:

   y(x) = x^a [ cos(Ln(x^b)) + i sen (Ln(x^b))] ou seja y(x) = [ x^a cos(Ln(x^b))] + i [ x^a sen(Ln(x^b))]

   Desse modo, tomamos as partes real e imaginária desta última função como as soluções LI procuradas, que são as funções reais:

   y₁(x) = x^a cos(Ln(x^b));   y₂(x) = x^a sen(Ln(x^b))

   e a solução geral da EDOL homogênea associada é:

   y(x) = C₁ x^a cos(Ln(x^b)) + C₂ x^a sen(Ln(x^b)) ou seja y(x) = x^a [ C₁ cos(Ln(x^b)) + C₂ sen(Ln(x^b))]

   Exemplo: Seja a EDOL de Euler

   L(y) = x² y" + x y' + 4y = 0

   A equação indicial associada é:

   r² + 4 = 0

   cujas raízes são r = 2i = 0+2i e r = -2i = 0-2i, logo:

   y₁(x) = x^o cos(Ln(x²)) = cos(Ln(x²))
   y₂(x) = x^o sen(Ln(x²)) = sen(Ln(x²))

   e a solução geral da EDOL homogênea associada é:

   y(x) = C₁ cos(Ln(x²)) + C₂ sen(Ln(x²))