Matematica Essencial: EDO - Conceitos Fundamentais

Matemática
Essencial		 Ensino Superior
Equações Diferenciais Ordinárias
Conceitos Fundamentais em Equações Dif. Ordinárias
O que é uma Equação Diferencial?

Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma

F(x, y(x), y'(x), y"(x), ... , y(n)(x)) = 0

envolvendo uma função incógnita y=y(x) e suas derivadas ou suas diferenciais. x é a variável independente e y é a variável dependente.

Exemplos
  1. y" + 3 y' + 6y = sen(x)
  2. (y")3 + 3 y' + 6y = tan(x)
  3. y" + 3 y.y' = ex
  4. y' = f(x,y)
  5. M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Ordem e Grau de uma Equação Diferencial

A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação, quando a equação tem a forma de um polinômio na função incógnita e em suas derivadas, como por exemplo: Ay(3)+By(2)+Cy(1)+Dy(0)=0

Exemplos
  1. y" + 3 y' + 6y = sen(x) tem ordem 2 e grau 1
  2. (y")3 + 3 y' + 6y = tan(x) tem ordem 2 e grau 3
  3. y" + 3 y.y' = ex tem ordem 2 e grau 1
  4. y' = f(x,y) tem ordem 1 e grau 1
  5. M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 tem ordem 1 e grau 1

Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n

Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:

ao(x) y(n) + a1(x) y(n-1) + a2(x) y(n-2) + ... + an(x) y = b(x)

onde ao(x) é uma função não nula, as funções b(x) e ak(x) (k=0,1,2,...,n) são funções conhecidas e dependem somente de x e a notação y(k) significa a derivada de ordem k da função y em relação à variável x (k=0,1,2,...,n).

Numa equação diferencial ordinária linear a função y a ser obtida somente pode operar com características lineares.

Solução de uma Equação Diferencial

Uma solução para uma Equação Diferencial é uma função que satisfaz identicamente a equação. A solução mais geral possível que admite uma Equação Diferencial é denominada solução geral, enquanto que outra solução é chamada uma solução particular.

Exemplos
  1. y(x) = e-x é uma solução particular de y' + y = 0
  2. y(x) = Ce-x é a solução geral de y' + y = 0
  3. y(x) = sen(x) é uma solução particular de y" + y = 0
  4. y(x) = A sen(x) + B cos(x) é a solução geral de y" + y =0
  5. y(x)=99 é uma solução particular de y" + 3 y.y' = 0

Existência e unicidade de solução de uma Eq. Diferencial

Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? Em caso positivo, será que esta solução é única? Será que existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? Para responder a estas perguntas existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas características.

Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo "similar" ao cálculo de uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o caso das integrais elípticas, dessa forma não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuam soluções.

Problema de Valor Inicial (PVI)

Um problema de resolver uma equação diferencial satisfazendo algumas condições adicionais é denominado Problema de Valor Inicial (PVI). Se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter a solução geral.

Modelos Matemáticos e Equações Diferenciais Ordinárias

Muitos problemas de Matemática Aplicada normalmente podem ser modelados de acordo com as quatro situações (não muito bem definidos) como:

  1. Construção de um modelo para descrever algum fenômeno físico;
  2. Estabelecimento de um procedimento matemático adequado ao modelo físico;
  3. Realização de cálculos numéricos aproximados com o uso do Modelo Matemático preestabelecida;
  4. Comparação das quantidades numéricas obtidas através do Modelo Matemático com aquelas que se esperava obter a partir da formulação do modelo criado para resolver o problema.
Após estas etapas, costuma-se analisar os resultados e na verificação de que os mesmos estão adequados, aceita-se o modelo e na inadequação dos resultados, reformula-se o modelo, geralmente introduzindo maiores controles sobre as variáveis importantes, retirando-se os controles sobre as variáveis que não mostraram importância.

Página construída por Ulysses Sodré
Atualizada em: October 18, 2000.