1. A equação não tem a função y=y(x)

   Exemplo: x y" + y' = 0

   Com p(x)=y'(x), teremos a EDO com a ordem uma unidade a menos na variável dependente p e na variável independente x:

   x p' + p = 0

   A solução desta equação é:

   p(x)=K / x

   Agora, basta resolver a equação

   y'(x) = K / x

   para obter

   y(x) = A ln(x) + B

2. A equação não tem o termo em y nem o termo em y'

   Exemplo: x y⁽³⁾ + y"= 0

   Com p(x)=y"(x), teremos a EDOL com a ordem duas unidades a menos:

   x p' + p = 0

   Já vimos que p(x)=K/x. Basta agora resolver a EDO:

   y"(x) = K / x

3. A equação não tem o termo em y, nem y', nem y"

   Exemplo: x y⁽⁴⁾ - y⁽³⁾= 0

   Com p(x)=y⁽³⁾(x), teremos a EDO com a ordem três unidades a menos:

   x p' - p = 0

   Como p(x)=K/x, basta agora resolver a EDO:

   y⁽³⁾ = p(x)

4. A equação não tem y, y', y", ... , y^(k-1)

   Tomamos

   p=y^(k), p'=y^(k+1), p"=y^k+2, ..., p^(n-2)=y⁽ⁿ⁾

   e reduzimos a EDO dada a uma outra equação de ordem n-k na variável dependente p e na variável índependente x.

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   Equação não contém a variável independente

   Tomar p=y' para reduzir a ordem em uma unidade e observar que em virtude da falta da variável x, podemos pensar que p=p(y) e desse modo:

   y' = dy/dx = p(y)
   y" = dp/dx = dp/dy . dy/dx = p'(y).y'(x) = p'(y) . p(y)
   y⁽³⁾ = d(y")/dx = d(y")/dy . dy/dx ou seja y⁽³⁾ = d(p'(y).p(y))/dy . y'(x)= p² p"(y) + p . (p'(y))²

   Exemplo: y" + (y')² = 2 e^-y

   Tomar y' = p(y) e y" = p(y) p'(y), para obter:

   p(y) p'(y) + p² = 2 e^-y

   Usar a substituição z(y) = p²(y):

   2 p(y) p'(y) = dz/dy

   para garantir que:

   dz/dy + 2 z(y) = 4 e^-y

   Como esta é uma EDO linear, resolvê-la e voltar às variáveis originais.

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   EDO F(y,y',...y⁽ⁿ⁾)=0, F é homogênea só de y, y', ..., y⁽ⁿ⁾

   Reduzir a ordem desta EDO com a substituição:

   y = exp(Integral [z(x) dx]) ou seja Ln(y) = Integral [z(x) dx]

   onde z=z(x) é uma função que será determinada.

   Exemplo: x² y y" - (y - x y')² = 0

   Observar que a função

   F(y,y',y") = x² y y" - (y - x y')²

   é homogênea de grau 2 nas variáveis y, y'e y".

   Tomar y(x) = exp( Integral z(x) dx), para obter:

   y' = z y e y" = (z' + z²) y

   Substituir as novas variáveis na EDO dada e simplificar para obter:

   x² (z' + z²) - (1 - xz)² = 0

   que também pode ser escrita na forma:

   x² z' + 2x z = 1

   Após a resolução desta última equação, devemos voltar às variáveis originais.

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   Página construída por Ulysses Sodré
   Atualizada em: October 18, 2000.

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