Este é um método adequado à decomposição de funções racionais em formas mais simples, normalmente objetivando processos mais simples de integração ou obtenção de transformadas inversas de Laplace. Apresentaremos algumas situações e o mínimo necessário de teoria relacionado com cada método. p_n(s) significará um polinômio de grau n na variável s, enquanto p(s) é um polinômio a ser especificado, sendo o seu grau indicado por gr(p).

• Divisão de p=p(s), gr(p)<n por n fatores da forma s-a₁, s-a₂, s-a₃, ..., s-a_n-1, s-a_n

  Devemos realizar a decomposição da seguinte forma:

  p(s)		A1		A2		A3				An
  	=		+		+		+	...	+
  (s-a1)(s-a2) (s-a3)...(s-an)		s-a1		s-a2		s-a3				s-an

  O Método para obter os numeradores A_k (k = 1, 2, ..., n) é o seguinte:

  1. Multiplicar ambos os membros da igualdade acima por s-a_k;

  2. Simplificar a fração que tem A_k como numerador;

  3. Considerar que para todo s suficiente próximo de a_k as funções da direita e da esquerda são contínuas na variável s;

  4. Calcular os limites das funções dos dois membros da igualdade quando s tende a a_k;

  5. Mostrar que

     		p(ak)
     Ak	=
     		(ak-a1)(ak-a2)...(ak-ak-1)(ak-ak+1)...(ak-an)

  6. Observar que o denominador desta última expressão coincide com o produto de todos os fatores da forma (a_k-a_j) exceto quando j=k.

  Exemplo

  Para decompor f(s) = (2s2-s+1)/[(s-1)(s-2)(s-3)] em frações parciais devemos tomar p(s)=2s2-s+1 e a1=1, a2=2, a3=3. Assim p(a1)=2, p(a2)=7, p(a3)=16 e A1 = p(a1)/[(a1 -a2)(a1-a3)] = 2/[1-3)(1-2)]=1 A2 = p(a2)/[(a2-a1)(a2-a3)] = 7/[(2-1)(2-3)]=-7 A3 = p(a3)/[(a3-a1)(a3-a2)] = 16/[(3-1)(3-2)]=8 Conclusão: 2 s2 - s + 1   1   -7   8  =  +  + (s-1)(s-2)(s-3)   s-1   s-2   s-3

• Divisão de p=p(s), gr(p)<m+n pelo produto de q(s)*(s-a)^m onde q=q(s) é um polinômio com gr(q)=n e a não é uma raiz do polinômio q

  Devemos realizar a decomposição da seguinte forma:

  p(s)

  A1

  A2

  A3

  An

  =

  +

  +

  +

  ...

  +

  +

  r(s)

  (s-a)m q(s)

  s-a

  (s-a)2

  (s-a)3

  (s-a)m

  onde r=r(s) é uma função diferenciável na variável s contendo termos que aparecem em função do polinômio q=q(s).

  O método para obter os numeradores A_k (k = 1, 2, ..., m) é:

  1. Considerar D(s)=p(s)/q(s). Multiplicar ambos os membros da igualdade acima por (s-a)^m e usar o fato que as funções da esquerda e da direita são contínuas em s=a, para obter:
     A_m = D(a) = p(a)/q(a)

  2. Realizar a primeira derivada D'(s), para obter
     A_m-1 = D'(a)

  3. Mostrar que, em geral, para k = 1, 2, 3, ..., m, vale a relação:
     A_m-k = D^(k)(a) / k!

     onde k! é o fatorial de k.

  Exemplo

  Seja f(s) = s/[(s-1)3(s-2)]. Aqui observamos que p(s)=s e q(s)=s-2 são polinômios de 1o. grau, logo, esta função pode ser decomposta em frações parciais como: s   A1   A2   A3   B  =  +  +  + (s-1)3 (s-2)   s-1   (s-1)2   (s-1)3   s-2 Multiplicando ambos os membros da igualdade por (s-1)3(s-2) ( o que equivale a extrair o mínimo múltiplo comum), obtemos: s/(s-1)3 = A1(s-2)(s-1)2 + A2(s-2)(s-1) + A3(s-2) + B Calculando o limite de cada membro quando s=2, obteremos o anulamento de várias expressões e teremos B=2. Multiplicando ambos os membros da primeira igualdade por (s-1)3, obteremos: s/(s-2) = A1(s-1)2 + A2(s-1) + A3 + 2 Calculando o limite de cada membro quando s=1, obteremos o anulamento de várias expressões e teremos A3 = -1. Aproveitando a última igualdade e substituindo os valores já conhecidos das constantes, teremos: s/(s-2) = A1(s-1)2 + A2(s-1) + 1 Derivando ambos os membros desta última expressão em relação à variável s, teremos: -2/(s-2)2 = 2 A1 (s-1) + A2 Calculando os limites de ambos os membros desta última igualdade quando s=1, teremos A2 = -2. Derivando ambos os membros da última igualdade em relação à variável s e calculando o limite quando s=1, teremos A1 = -2. Conclusão: s   -2   -2   -1   2  =  +  +  + (s-1)3(s-2)   s-1   (s-1)2   (s-1)3   s-2

• Divisão de um polinômio p=p(s) pelo produto de dois outros q=q(s) e r=r(s), sendo que p(s) e q(s) têm coeficientes reais, gr(p) < gr(q)=n e além disso q(s) somente posssui duas raízes complexas conjugadas.

  Se q=q(s) tem somente duas raízes complexas conjugadas, digamos: r₁=a+bi e r₂=a-bi então, exceto por uma constante multiplicativa, poderemos escrever:

  q(s)=(s-r₁)(s-r₂)=(s-(a+bi))(s-(a-bi)) =(s-a)² + b²

  Dessa forma, poderemos realizar a decomposição por:

  p(s)		A(s-a)
  	=		+	h(s)
  q(s) r(s)		(s-a)2+b2

  onde h=h(s) é uma função que depende dos termos de r=r(s).

  O método para obter os coeficientes é:

  1. Multiplicar ambos os membros da igualdade acima por q(s).r(s) para obter:

     p(s) = A(s-a) q(s) r(s) + h(s) q(s) r(s)

  2. Simplificar tanto o membro da direita como o da esquerda para obter polinômios;

  3. Considerar que o polinômio da esquerda deve ser identicamente igual ao da direita para obter os coeficientes A e B.

     Exemplo

     Seja f(s) = s/(s2 -4s + 13)(s-7). Observamos que p(s)=s, q(s)=s2-4s+13 e r(s)=s-7. q(s)=0 possui duas raízes complexas conjugadas r1=2+3i e r2=2-3i, logo q(s)=(s-2-3i)(s-2+3i)=(s-2)2 +32. Assim, esta função pode ser decomposta em frações parciais como: s   A(s-2)   B  =  + (s2-4s+13)(s-7)   (s-2)2+9   s-7 Extraindo o mínimo múltiplo comum, obteremos: s = A(s-2)(s-7) + B[(s-2)2 + 9] Tomando s=2, obteremos B=2/9. Derivando a última igualdade acima em relação à variável s, obteremos: 1 = A(s-2) + A(s-7) + 2B(s-2) e tomando s=7 nesta última igualdade e B=2/9 já obtido anteriormente, obteremos A=-11/45. Conclusão: s   (-11/45)(s-2)   2/9  =  + (s2-4s+13) (s-7)   (s-2)2+9   s-7

• Divisão de um polinômio p=p(s) pelo produto de dois outros q=q(s) e r=r(s), sendo que p(s) e q(s) têm coeficientes reais, gr(p) < gr(q)=n e além disso q(s) posssui n/2 raízes complexas conjugadas.

  Este caso é uma mistura dos casos B e C.