Oliver Heaviside, ao estudar processos simples para obter soluções de Equações Diferenciais, vislumbrou um método de Cálculo Operacional que nos leva de encontro às Transformadas de Laplace que é um método simples que serve para transformar uma Equação Diferencial com condições iniciais (PVI: Problema com Valores Iniciais) em uma equação algébrica, de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta sem o cálculo da solução geral da Equação Diferencial. Como isto é útil em Matemática, Computação Engenharia, Física e outras ciências aplicadas, o método passa a representar algo importante neste contexto. As transformadas de Laplace são muito usadas em diversas situações, porém aqui trataremos de suas aplicações na resolução de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares.

Se f=f(t) é uma função definida para todo t em [0,) e s é um parâmetro real positivo tal que a integral imprópria

F(s)=		e-st f(t) dt
	0

converge para algum valor finito de s e para todos os valores maiores do que s, então F(s) é chamada a Transformada de Laplace da função f=f(t).

Observação: A transformada de Laplace depende de s e é representada por uma letra maiúscula F, enquanto que a função original que sofreu a transformação depende de t e é representada por uma letra minúscula f. É muito comum usar a letra L e a notação abaixo para representar a transformada de Laplace da função f:

Exemplos: É fácil demonstrar que:

• L[1] = 1/s se s>0
• L[t] = 1/s² se s>0
• L[exp(at)] = 1/(s-a) se s>a
• L[sen(kt)] = k/(s²+k²)
• L[cos(kt)] = s/(s²+k²)

Exercícios: Calcular as transformadas de Laplace das funções reais

• f(t) = sh(kt)
• f(t) = ch(kt)
• f(t) = t.exp(-at)
• f(t) = exp(at).cos(bt)
• f(t) = t²

Uma função f = f(t) é seccionalmente contínua sobre um intervalo real [a,b] fechado e limitado, se ela é contínua no interior de um número finito de subintervalos de [a,b], exceto possivelmente por um conjunto finito de pontos {t_j}_j=1,...n onde a função f deve ter limites laterais à esquerda e à direita, sendo que a diferença entre esses dois limites laterais em cada ponto t_j deve sempre ser finita, isto é, o salto da função f em cada t_j deve ser finito.

Exemplo: Função degrau unitário:

u(t)=

1 se t>0 0 se t<0

Uma função f = f(t) é de ordem exponencial em [0,), se existem constantes M>0 e real, tal que para todo t>0 se tem:

|f(t)|< M exp(t)

Exemplos:

• f(t) = t² é de ordem exponencial pois |f(t)|<2.exp(t).
• f(t) = t².cos(at) é de ordem exponencial pois |f(t)|<2.exp((1+a)t).
• f(t) = exp(t^3/2) não é de ordem exponencial.
• f(t) = tⁿ.exp(at).cos(bt) é de ordem exponencial
• g(t) = tⁿ.exp(at).sen(bt) é de ordem exponencial

Se f=f(t) é seccionalmente contínua para todos os intervalos finitos de [0,) e se f=f(t) é de tipo exponencial de ordem a quando t, então a Transformada de Laplace F(s), definida para s>a por:

F(s)=		e-st f(t) dt
	0

existe e converge absolutamente.

Observação: Na sequência assumiremos que todas as funções f=f(t) serão seccionalmente contínuas em todos os intervalos finitos de [0,) e que todas serão de ordem exponencial quando t.

Notação: A partir de uma função f=f(t) podemos ter a sua transformada de Laplace F=F(s), assim, dada uma função F=F(s) podemos questionar se existe uma certa função f=f(t) tal que F(s)=L[f(t)]? Esta função é a transformada inversa de Laplace de F=F(s). Para esta inversa, utilizaremos a notação:

Na realidade, duas transformadas inversas de Laplace para a mesma função F=F(s) são iguais a menos de uma constante, mas aqui não levaremos isto em consideração tendo em vista que estaremos procurando soluções particulares para cada Equação Diferencial Ordinária Linear.

Um modo prático para obter as transformadas inversas de Laplace é através de tabelas, mas algumas vezes serão necessárias algumas propriedades para facilitar o cálculo da transformada inversa de Laplace.

Se s>0:

Se s>a:

A Transformada de Laplace é uma transformação linear, isto é:

Exemplo:

• L(a+bt+ct²) = a L(1) + b L(t) + c L(t²)

Exercícios: Calcular as transformadas

• L(1 + t + t² )=?
• L(sen(t) + cos(t))=?

A Transformada inversa de Laplace é uma transformação linear, isto é:

Exemplo:

• L^-1(8/s - 16/s² ) = 8 L^-1(1/s) -16 L^-1(1/s²)

Exercícios: Calcular as transformadas inversas

• L^-1( 3/(s-a) + 5/(s-b) )
• L^-1( (2s+5) / (s²-25) )

#	Propriedade
A	L(f+g) = L(f) + L(g)
B	L-1(F+G)=L-1(F)+L-1(G)
C	L(k.f) = k L(f)
D	L-1(kF) = k L-1(F)
E	L(e-atf(t))=F(s+a)
F	L-1(F(s+a)) = e-at L-1(F(s))
G	L(-t.f(t)) = F'(s)
H	L((-t)k.f(t)) = F(k)(s)
I	F(s).G(s)=L((f*g)(t))
J	F(s) t = L ( f(u) du ) s 0
K	L(f(n)) = sn F(s) - sn-1 f(0) -sn -2 f '(0) -sn-3 f "(0) -... -f (n-1)(0)
L	f(t) L ( ) = F(u) du t s

Pela propriedade K da tabela, temos que:

Assim, em particular para os casos n=2 e n=1, temos que:

Exemplo: Vamos obter a solução do Problema com Valor Inicial com uma Equação Diferencial Ordinária de 1a. ordem:

Aplicando a Transformada de Laplace a esta Equação Diferencial Ordinária Linear, obtemos:

L(y' + y) = L(e^-t)
L(y') + L(y) = 1/(s+1)
s Y(s) - y(0) + Y(s) = 1/(s+1)
s Y(s) - 5 + Y(s) = 1/(s+1)
Y(s) [1+s] = 1/(s+1) + 5
Y(s) = 1/(s+1)² + 5. 1/(s+1)

Exemplo: Vamos obter a solução do Problema com Valor Inicial com uma Equação Diferencial Ordinária de 2a. ordem:

Aplicando a Transformada de Laplace a esta equação, obtemos:

L(y" - 2 y' - 3 y) = L(6 e^t)
L(y") - 2 L(y') -3 L(y) = L(6 e^t)
[s² Y(s) -s -3] -2[s Y(s) -1] - 3Y(s) = 6/(s-1)
então:
Y(s) (s² -2s -3) = 6/(s-1) + 1
Y(s) (s+1)(s-3)= 6/(s-1) + 1
Y(s) = 6/[(s-1)(s+1)(s-3)] + 1/[(s+1)(s-3)]

então, aplicando as transformadas inversas de Laplace através do uso das tabelas, obtemos a solução do PVI:

Seja a Transformada de Laplace:

F(s) =		e-st f(t) dt
	0

Derivando ambos os lados desta igualdade em relação a s, obtemos:

F '(s) =		e-st (-t) f(t) dt
	0

Tomando as derivadas sucessivas de F, obtemos uma fórmula geral:

Sejam f=f(t) e g=g(t) funções integráveis para as quais o produto é também uma função integrável. Definimos a Convolução de f e g, denotada por f*g, como:

	t
(f * g)(t) =		f(t-u) g(u) du
	0

Em cursos mais avançados podemos estudar outras propriedades da convolução. Por exemplo, quando temos uma função f com uma propriedade fraca relacionada com a suavidade e outra função g com propriedade forte relacionada com a suavidade então a convolução f*g é uma outra função com propriedades melhores que f e g. Pode-se demonstrar também que valem algumas propriedades como:

• Propriedade Comutativa: f * g = g * f
• Propriedade Associativa: f * (g * h) = (f * g ) * h
• Propriedade Distributiva: f * (g + h) = f * g + f * h
• Propriedade da Nulidade: f * 0 = 0
• Propriedade da Identidade: f * = f
  onde é a distribuição delta de Dirac.

Se F(s) = L(f(t)) e G(s) = L(g(t)), então:

Muitas vezes denotamos simplesmente:

Como um caso particular desta última propriedade, tomando g(t)=1, seguirá que G(s) = 1/s, se s>0, assim:

o que significa que:

F(s)				t
	=	L	(		f(u) du	)
s				0

Tomando as transformadas de f=f(t), g=g(t) e h=h(t) como sendo, F(s), G(s) e H(s), respectivamente, e assumindo que G(s) = 1/s = H(s) para s>0, teremos:

F(s)				t	u
	=	L	(			f(v)dvdu	)
s2				0	0

Exercício: Usando o Princípio da Indução Finita (PIF), podemos demonstrar que

Consideremos o Problema com Valor Inicial dado pela Equação Integro-Diferencial

y' + 2 y - 3	t y(u)du 0	= 5(1+t)
y(0) = 2

Aplicando a Transformada de Laplace a ambos os lados da igualdade da Equação Integro-Diferencial, obtemos:

L(y') + 2 L(y) - 3 L(

t y(u)du) 0

= 5 L(1+t)

s.Y(s)-2+2.Y(s)-3 (1/s) Y(s) = 5/s + 5/s²
Y(s) [s+2-3/s] = 5/s + 5/s² + 2
Y(s) = [2 +5/s +5/s²] / [ s² +2s -3]

Exercícios: Resolver as Equações integro-diferenciais:

• y' + Int(y(t),u=0..t) = 1, y(0) = 2
• y' - y - 6 Int(y(t),u=0..t) = 12 exp(3t), y(0)=-3
• y + Int(y(t),u=0..t) = sen(2t)

Int(y(t),u=0..t) =

t y(u)du 0

Quando trabalhamos com Transformadas de Laplace é muito comum tomarmos uma função racional (divisão de um polinômio F(s) por outro polinômio G(s) ambos na variável s) e realizar uma decomposição deste quociente em frações mais simples. Tomaremos três hipóteses essenciais na sequência:

• Os polinômios F(s) e G(s) têm somente coeficientes reais
• Os polinômios F(s) e G(s) não têm fatores em comum
• O grau de F(s) (numerador) é menor que o grau de G(s) (denominador)

---

1. O polinômio G(s) que está no denominador tem um fator não repetido (s-a). Assim:
   Y(s)=F(s)/G(s) = A/(s-a) + R(s)

   e a transformada inversa de Laplace nos dá:

   L^-1(Y(s)) = A e^at + L^-1(R(s)) onde Q(s) = (s-a)F(s)/G(s)

   e a constante A é dada por:

   A=Q_a(a) = F(a)/G'(a)

   Exercício: Obter a função f=f(t) tal que

   F(s)=(7s-1)/[(s-3).(s+2).(s-1)]

   Resposta: f(t) = 2 exp(3t) - exp(-2t) - exp(t)

   ---

2. O polinômio G(s) tem um fator repetido (s-a)^m

   Aqui:

   Y(s) = F(s) /G(s) = A_m/(s-a)^m + A_m-1/(s-a)^m-1 + A₁/(s-a) + R(s)

   e a transformada inversa de Laplace nos dá:

   L^-1(Y(s)) = e^at[A_mt^m-1/(m-1)! +A_m-1t^m-2/(m-2)!+...+A₂t+A1]+ L^-1(R(s))

   onde as constantes A₁, A₂, A₃, ..., A_m são dadas por:

   A_m = Q_a(a)

   A_k = 1/(m-k)! (Q_a)^(m-k)(a)       (k=1,2,3,...,m-1)

   onde a função Q_a é definida por:

   Q_a(s) = (s-a)^mF(s)/G(s)

   Exercício: Obter a função f=f(t) tal que F(s)=1/[(s-4).(s-3)³]

   Resposta: f(t) = e^3t.[-(1/2).t² -t-1)+e^4t

   Em momento algum chamamos a atenção se o número a deveria ser real ou complexo, entretanto se a é um número complexo da forma c+di, então podemos fazer a decomposição em frações parciais de uma forma um pouco diferente, pois sabemos da Álgebra que se a=c+di é uma raiz de G(s), então a^-=c-di (conjugado de a) também é uma raiz de G(s), pois todos os coeficientes do polinômio G(s) são números reais.

   ---

3. O polinômio G(s) tem um fator complexo s-a não repetido

   Neste caso:

   Y(s) = F(s) /G(s) = A/(s-a) + R(s)

   e multiplicando pelo conjugado de s-a = conj(s-a), teremos constantes c e d tal que:

   Y(s)=F(s)/G(s) = A conj(s-a) /[(s-c)²+d²] + R(s)

   ou seja

   Y(s)=F(s)/G(s) = (As +B)/[(s-c)²+d²] + R(s)

   onde agora A e B são números reais.

   A transformada inversa de Laplace nos dá:

   L^-1(Y(s)) = (1/d) exp(ct) [ T_a cos(dt) + S_a sen(dt)] + L^-1(R(s))

   ---

4. O polinômio G(s) tem um fator complexo (s-a)²

   Neste caso:

   Y(s) = F(s) /G(s) = A/(s-a)² + R(s)

   e multiplicando por (conj(s-a))², teremos:

   Y(s) = (As +B)/[(s-c)²+d²]² + (Cs +D)/[(s-c)²+d²] + R(s)

   onde agora A, B, C e D são números reais.

   O restante segue de forma similar aos casos anteriores.

   Exercício: Obter a função f=f(t) tal que

   F(s) = (s²+2)/[s²+2s+5]²

   Resposta:

   f(t) = 2 exp(-t).[ t/16 . cos(2t) +{(-t/4)+7/32}sen(2t]

Para resolver alguns sistemas com duas equações diferenciais nas funções incógnitas x =x(t) e y = y(t), podemos aplicar a Transformada de Laplace a cada Equação Diferencial Ordinária de forma que L(x)=X(s) e L(y)=Y(s) e fazer com que o sistema recaia num sistema algébrico com duas equações nas duas incógnitas X(s) e Y(s).

Veremos como isto funciona com um exemplo relativamente simples mas suficientemente amplo para mostrar a funcionalidade do método.

Problema: Determinar a solução do sistema com duas Equações Diferenciais Ordinárias Lineares

x'(t)+x(t)+y'(t)-y(t)=2
x"(t)+x'(t)-y'(t)=cos(t)

L(x"(t)) = s²X(s) -s x(0) - x'(0) = s²X(s) -x'(0)
L(x') = s X(s) - x(0) = s X(s)
L(y') = s Y(s) - y(0) = s Y(s) -1
L(2) = 2/s
L(cos(t)) = s/(s²+1)

L(x'(t)+x(t)+y'(t)-y(t)) = L(2)
L(x"(t)+x'(t)-y'(t)) = L(cos(t))

(s+1)X(s) + (s-1)Y(s) = 1 +2/s
(s²+s)X(s) -s Y(s) = 1 +s/(s²+1)

X(s) = 1/s² + 1/(s²+1)
Y(s) = 1/s² + s/(s²+1)

x(t) = t + sen(t)
y(t) = t + cos(t)

Já mostramos anteriormente que

o que significa que a "n-ésima derivada da transformada de Laplace de f=f(t) é igual à transformada de Laplace da função (-t)ⁿ f(t)", isto é:

Se, em particular, tomarmos f(t) = y'(t), teremos:

que pode ser escrito na forma:

Resumindo, temos para a primeira derivada:

Repetindo o processo para a função f(t)=y "(t), teremos:

Exemplo: Resolver o Problema com Valor Inicial com uma EDOL com coeficientes variáveis:

y " + t y ' - 2y = 7
y '(0)=0, y(0)=0

Como:

L(y "(t)) = s² Y(s)- s y(0) - y '(0) = s² Y(s)
L(t.y ') = -s Y '(s) - Y(s)
L(4) = 4/s

Y '(s) + (3-s²)/s Y(s) = -4/s²

Y(s) = 4/s³ + C exp(s²/2)/s³

Tomando a Transformada de Laplace

F(s) =		e-st f(t) dt
	0

e multiplicando ambos os lados da igualdade por e^-sb com b>0, teremos:

e-sb F(s) =		e-s(b+t) f(t) dt
	0

e substituindo u=b+t, poderemos escrever:

e-sb F(s) =		e-su f(u-b) du
	b

Tomando f(t)=0 se t<0, observaremos que f(u-b)=0 se u<b e f(u-b)=f(t) se u>b, logo, o gráfico de y=f(u-b) é o mesmo que o gráfico da função y=f(t) transladada para a direita b unidades. Assim:

Exemplo: Considerando a função f(t)=cos(t) com t em [0,] e a translação associada de unidades para a direita f(t) = cos(t-).

Consideremos uma função periódica de período p>0, isto é, uma função tal que f(t+p)=f(t) para todo t>0. A Transformada de Laplace de f é dada por:

F(s) =		e-st f(t) dt
	0

Fazendo a decomposição desta integral em infinitas integrais realizadas sobre os sub-intervalos de comprimento , para escrever:

				2		3
F(s) =	(		+		+		+	...	)	e-st f(t) dt
		0				2

Substituindo u=t- na segunda integral, u=t-2 na terceira integral, u=t-3 na quarta integral e assim por diante, poderemos escrever:

F(s) =		e-suf(u)du	+		e-s(u+)f(u)du	+		e-s(u+2) f(u) du	+	...
	0			0			0

que pode ser reescrito:

F(s) =	(1 + e-s + e-2s + e-3s + ...)		e-su f(u) du
		0

e como a expressão dentro dos parênteses é a soma dos termos de uma PG, segue que:

	1
F(s) =			e-su f(u) du
	1 - e-s	0

O que fizemos aqui para p=, vale também para outros valores reais.

Exemplo: Seja f(t)=sen(t) para t em [0,] com f(t) = 0 se t>. Então:

				1+es
F(s) =		e-su sen(u) du	=
	0			s2+1

Exemplo: Seja f(t)=t para 0<t<6 e f(t+6)=f(t) para todo t real. Assim:

	1	6
F(s)=			e-su u du
	1-e-6s	0

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A função gama, denotada por =(n), é definida por:

(n)=		e-t tn-1 dt
	0

Se na função Gama, acima definida, substituirmos t=sv, teremos:

(n) =		e-sv (sv)n-1 dv
	0

o que significa que para t=sv>0:

L(t^n-1) = (n)/sⁿ

Já sabemos para para todo n natural:

Assim, para todo n natural, podemos tomar:

(n) = (n-1)!

e esta função é uma extensão da função fatorial de um número inteiro não negativo a todo número real onde esta integral converge.

Aplicando a propriedade G da tabela de transformadas:

e tomando f(t)=t^n-1, seguirá que:

L((-t) t^n-1) = d/ds {(n)/sⁿ} = -n.(n)/sⁿ⁺¹

e como L(tⁿ) = (n+1)/sⁿ⁺¹, segue que para todo n natural, vale:

(n+1) = n.(n)

Na verdade, a função gama pode ser definida para todos os valores de x reais, exceto para os x que são inteiros não positivos. Esta é uma função recursiva que define a função fatorial.