Matematica Essencial - Aplicacoes da Integral - Compr.de arco e Momentos de curvas planas MatemáticaEssencial Ensino Superior Aplicações da Integral Definida Comprimentos de arcos e Momentos de curvas planas Observações gerais e notações Propriedades das curvas planas Compr.de arco: curva y=f(x) Compr.de arco: curva x=g(y) Compr.de arco: f(t)=(x(t),y(t)) Compr.de arco(polares): r=r(ø) Compr.de arco(polares): ø=ø(r) Momento estático(Mx): y=f(x) Momento estático(Mx): x=g(y) Momento estático(My): y=f(x) Momento estático(My): x=g(y) Centro de gravidade: Curva plana Mom. de inércia -Ixx: Curva y=f(x) Mom. de inércia -Ixx: Curva x=g(y) Mom. de inércia -Iyy: Curva y=f(x) Mom. de inércia - Iyy: Curva x=g(y) Mom. de inércia - Ixy: Curva y=f(x) Mom. de inércia - Ixy: Curva x=g(y) Momento de inércia Polar Io Alguns casos interessantes Observações gerais e notações O presente material é dirigido a pessoas que já conhecem o Cálculo Integral. Caso não conheça, sugiro que visite o link Integrais de Funções Reais, onde você poderá aprender os principais conceitos deste assunto. Todos os procedimentos matemáticos são acompanhados por exemplos ilustrativos. Usarei a notação Rn[a] para significar a raiz n-ésima de um número real não negativo a. A raiz quadrada de a será denotada por R[a]. Esta notação é mais significativa que a do sinal de raiz. Pi significará o número 3,14159265358979323846264338328... Há anos, espero por parte dos produtores de "browsers", a implementação de sinais e símbolos matemáticos básicos para a linguagem HTML, pois sem esses símbolos há a necessidade da substituição dos mesmos por figuras, o que torna o carregamento das páginas mais lento. No momento, não disponho de tempo e nem mesmo tenho a intenção de explicar fisicamente qualquer dos conceitos que são apresentados e calculados na sequência. Propriedades das curvas planas Uma curva plana pode ser descrita por alguns modos comuns como: Função da variável x y = f(x) x em [a,b] Função da variável y x = g(y) y em [c,d] Forma parametrizada f(t)=(x(t),y(t)) t em [t1,t2] Coordenadas polares r=r(ø) ou ø=ø(r) ø em [a,b] Exemplos: Função da variável x y = x2 x em [-1,1] Função da variável y x = y4 y em [0,16] Forma parametrizada f(t)=(cos(t),sen(t)) t em [0,2 Pi] Coordenadas polares r=2 cos(ø) ø em [0,2 Pi] Observações: y = R[r2-x2], x em [-r,+r] é uma descrição para a parte da circunferência localizada no semi-plano cartesiano superior. y=-R[r2-x2], x em [-r,+r] é uma descrição para a parte da circunferência localizada no semi-plano cartesiano inferior. x=cos(t), y=sen(t), t em [0,2 Pi] é uma descrição para toda a circunferência x2+y2=r2, localizada no plano cartesiano. Consideremos uma curva C dada pela reunião das curvas y=R[x] e y=-R[x]. Esta curva C não é uma função da variável x definida sobre o intervalo [0,4], mas podemos tomar a função inversa x=y2 com a variável y em [-16,16] e pensar a curva original como se estivesse rodada de 90o em relação aos eixos do sistema cartesiano. Dessa forma podemos escrever a curva C como função de y. Detalhes sobre as fórmulas Comprimento de arco de uma curva plana Curva definida por y=f(x) Se a curva é dada por y=f(x), x em [a,b], o comprimento de arco S, é dado por qualquer uma das formas abaixo: b S = R[1+(f'(x))2] dx a b S = R[1+(y'(x))2] dx a Exemplo: Se a curva y=R[r2-x2] é a semi-circunferência de raio r, localizada no semi-plano cartesiano superior, os valores para x estão no intervalo [-r,+r]. Como y'(x)= x/R[1-x2], então: r S= R[1+x2/(1-x2)] dx = Pi r -r O perímetro da circunferência de raio r é: P = 2 Pi r Comprimento de arco de uma curva plana Curva definida por x=g(y) Se a curva é dada por x=g(y), y em [c,d], o comprimento de arco S, é dado por qualquer uma das formas abaixo: d S = R[1+(g'(y))2] dy c d S = R[1+(x'(y))2] dy c Exemplo: Se a curva x=R[r2-y2] é a semi-circunferência de raio r, localizada no semi-plano cartesiano esquerdo, os valores para y estão no intervalo [-r,+r]. Como x'(y)=y/R[1-y2], então: r S = R[1+y2/(1-y2)] dy = Pi r -r e temos outra forma, agora com a variável y, para concluir que o perímetro da circunferência de raio r é igual a P = 2 Pi r Comprimento de arco de uma curva plana Curva parametrizada por f(t)=(x(t),y(t)) Se a curva está na forma parametrizada: f(t)=(x(t),y(t)), t em [t1,t2], o comprimento de arco S, é dado por uma das formas abaixo: t2 S = |f'(t)| dt t1 t2 S = R[(x'(t))2+(y'(t))2] dt t1 Exemplo: Seja a curva f(t)=(rcos(t),rsen(t)) com t em [0,2Pi]. Esta é uma parametrização para a circunferência de raio r, centrada na origem do sistema cartesiano. Como f'(t)=(-rsen(t),rcos(t)), segue que |f'(t)|=r, assim: 2Pi S = r dt = 2 Pi r 0 e concluímos que esta é uma maneira muito mais fácil de obter o perímetro da circunferência de raio r. P = 2 Pi r Comprimento de arco de uma curva plana Curva em coordenadas polares r=r(ø) Se a curva está escrita em coordenadas polares: r=r(ø) com ø em [ø1,ø2], o comprimento de arco S, é dado por: ø2 S = R[r2+(r'(ø))2] dø ø1 Exemplo: Seja r=a o arco de circunferência de raio a localizado entre os ângulos ø=Pi/6 e ø=2Pi. Como r'(ø)=0, segue que: 2 Pi S = a dø = a(2Pi - Pi/6)= 11a/6 Pi/6 Comprimento de arco de uma curva plana Curva em coordenadas polares ø=ø(r) Se a curva está escrita em coordenadas polares: ø=ø(r) com r em [r1,r2], o comprimento de arco S, é dado por: r2 S = R[1+r2.(ø'(r))2] dr r1 Exemplo: Seja ø=1+r com r em [2,5]. Como ø'(r)=1, temos: 5 S = R[1 + r2] dr = 10,94588 2 Momento estático de uma curva plana Momento Mx - Curva descrita por y=f(x) Considerando a curva descrita por y=f(x), o momento estático da curva em relação ao eixo OX, denotado por Mx, é dado por: x2 Mx = f(x) R[1+(f'(x))2] dx x1 Exemplo: Seja y=f(x)=6-2x o segmento de reta localizado no primeiro quadrante com x em [1,2]. Como f'(x)=-2, segue que: x=2 Mx = R[5](6-2x) dx x=1 Momento estático de uma curva plana Momento Mx - Curva descrita por x=g(y) Considerando a curva descrita por x=g(y), o momento estático da curva em relação ao eixo OX, denotado por Mx, é dado por: y2 Mx = y R[1+(g'(y))2] dy y1 Exemplo: Seja x=g(y)=12-4y o segmento de reta localizado no primeiro quadrante com y em [1/4,2]. Como g'(y)=-4, segue que: y=2 Mx = R[17] y dy y=1/4 Momento estático de uma curva plana Momento My - Curva descrita por y=f(x) Considerando a curva descrita por y=f(x), o momento estático da curva em relação ao eixo OY, denotado por My, é dado por: x2 My = x R[1+(f'(x))2] dx x1 Exemplo: Seja y=f(x)=3-12x o segmento de reta localizado no primeiro quadrante com x em [1,2]. Como f'(x)=-12, segue que: x=2 My = R[145] x dx x=1 Momento estático de uma curva plana Momento My - Curva descrita por x=g(y) Considerando a curva descrita por x=g(y), o momento estático da curva em relação ao eixo OY, denotado por My, é dado por: y2 My = g(y) R[1+(g'(y))2] dy y1 Exemplo: Seja x=g(y)=12-4y o segmento de reta localizado no primeiro quadrante com y em [1/4,2]. Como g'(y)=-4, segue que: y=2 My = R[17] (12-4y) dy y=1/4 Centro de gravidade de uma curva plana O centro de gravidade G=(xm,ym) de uma curva cujo comprimento do arco é dado por S e os momentos estáticos em relação aos eixos OX e OY, são respectivamente dados por Mx e My, pode ser obtido por: xm = My / S ym = Mx / S Exemplo: Seja x2+y2=a2 o arco de circunferência de raio a, localizado no primeiro quadrante com x em [0,a]. Tomaremos y=f(x)=R[a2-x2]. Como f'(x)=-x/R[a2-x2], segue que: a S = R[1+x2/(a2-x2)] dx = Pi a/2 0 a My = x.R[1+x2/(a2-x2)] dx = a2 0 a Mx = R[a2-x2] R[1+x2/(a2-x2)] dx = a2 0 logo xm = ym = 2a / Pi Momento de inércia de uma curva plana Momento Ixx - Curva descrita por y=f(x) Tomando a curva descrita por y=f(x), o momento de inércia da curva em relação ao eixo OX, denotado por Ixx, é dado por: x2 Ixx = f2(x) R[1+(f'(x))2] dx x1 Exemplo: Seja x2+y2=a2 o arco de circunferência de raio a, localizado no primeiro quadrante com x em [0,a]. Tomaremos y=f(x)=R[a2-x2]. Como f'(x)=-x/R[a2-x2], segue que: a Ixx = (a2-x2) R[1+x2/(a2-x2)] dx = a3 Pi/4 0 Momento de inércia de uma curva plana Momento Ixx - Curva descrita por x=g(y) Tomando a curva descrita por x=g(y), o momento de inércia da curva em relação ao eixo OX, denotado por Ixx, é dado por: y2 Ixx = y2 R[1+(g'(y))2] dy y1 Exemplo: Seja x2+y2=a2 a semi-circunferência de raio a, localizado no semi-plano à direita com y em [-a,a]. Tomaremos x=g(y)=R[a2-y2]. Como f'(y)=-y/R[a2-y2], segue que: a Ixx = y2 R[1+y2/(a2-y2)] dy = a3 Pi/2 -a Momento de inércia de uma curva plana Momento Iyy - Curva descrita por y=f(x) Tomando a curva descrita por y=f(x), o momento de inércia da curva em relação ao eixo OY, denotado por Iyy, é dado por: x2 Iyy = x2 R[1+(f'(x))2] dx x1 Exemplo: Seja 4x+y-2=0 o segmento de reta, localizado no primeiro quadrante x em [0,1/4]. Tomaremos y=f(x)=2-4x. Como f'(x)=-4, segue que: 1/4 Iyy = R[17] x2 dx 0 Momento de inércia de uma curva plana Momento Iyy - Curva descrita por x=g(y) Tomando a curva descrita por x=g(y), o momento de inércia da curva em relação ao eixo OY, denotado por Iyy, é dado por: y2 Iyy = g2(y) R[1+(g'(y))2] dy y1 Exemplo: Seja 4x+y-2=0 o segmento de reta, localizado no primeiro quadrante com y em [0,2]. Tomaremos x=g(y)=(2-y)/4. Como g'(y)=-1/4, segue que: 2 Iyy = R[17]/16 (2-y)2 dy = R[17]/6 0 Momento de inércia de uma curva plana Momento Ixy - Curva descrita por y=f(x) Tomando a curva descrita por y=f(x), o produto de inércia da curva, denotado por Ixy=Iyx, é dado por: x2 Ixy = Iyx = x f(x) R[1+(f'(x))2] dx x1 Exemplo: Seja x2+y2=a2 o arco de circunferência de raio a, localizado no semi-plano superior x com em [-a,a]. Tomaremos y=f(x)=R[a2-x2]. Como f'(x)=-x/R[a2-x2], segue que: a Ixy = Iyx = x R[a2-x2] R[1+x2/(a2-x2)] dx = 0 -a Momento de inércia de uma curva plana Momento Ixy - Curva descrita por x=g(y) Considerando a curva descrita por x=g(y), o produto de inércia da curva, denotado por Ixy=Iyx, é dado por: y2 Ixy = Iyx = y g(y) R[1+(g'(y))2] dy y1 Exemplo: Seja (x-a)2+(y-a)2=a2 a circunferência de raio a, localizado no primeiro quadrante e tangente aos eixos OX e OY. Esta curva não representa uma função x=g(y), logo ela será decomposta em duas funções: x = g1(y) = a+R[a2-y2] x = g2(y) = a-R[a2-y2] Temos que: g1'(y) = -(y-a)/R[a2-(y-a)2] g2'(y) = +(y-a)/R[a2-(y-a)2] Assim, calcularemos Ixy através da soma de duas integrais I1 e I2. 2a I1 = y.(a+R[a2-y2]). R[1+(y-a)2/(a2-(y-a)2)] dy 0 logo I1 = a3(Pi + 1) 2a I2 = y.(a-R[a2-y2]). R[1+(y-2)2/(a2-(y-2)2)] dy 0 logo I2 = a3(Pi - 1) Temos então que: Ixy = I1 + I2 = 2 Pi a3 Momento de inércia de uma curva plana Momento de Inércia polar Io O momento de inércia polar de uma curva, denotado por Io, pode ser calculado em função dos momentos de inércia desta curva em relação aos eixos OX e OY, respectivamente denotados por Ixx e Iyy, através de: Io = Ixx + Iyy Exemplo: Seja (x-a)2+(y-a)2=a2 a circunferência de raio a que é tangente aos eixos OX e OY, localizada no primeiro quadrante. Esta curva não é uma função, mas no intervalo [0,2Pi] ela pode ser decomposta na reunião de duas funções: y = f1(x) = a + R[a2-(x-a)2] y = f2(x) = a - R[a2-(x-a)2] Temos que: f1'(x) = -(x-a)/R[a2-(x-a)2] f1'(x) = +(x-a)/R[a2-(x-a)2] Assim, calcularemos Ixx através da soma de duas integrais I1 e I2. 2a I1= (a+ R[a2-(x-a)2])2. R[1+(x-a)2/(a2-(x-a)2)] dx 0 logo I1 = (3/2) Pi a3 + 4 a3 2a I2= (a- R[a2-(x-a)2])2. R[1+(x-a)2/(a2-(x-a)2)] dx 0 logo I2 = (3/2) Pi a3 - 4 a3 assim Ixx = I1 + I2 = 3 Pi a3 De forma análoga, temos que: Iyy = 3 Pi a3 e podemos concluir que Io = Ixx + Iyy = 6 Pi a3 Alguns casos interessantes Objeto Segmento horizontal Segmento inclinado Circunferência Semi circunferência Curva y=0 0<x<L y = tg(a) x a ângulo (x-r)2+(y-r)2=r2 (x-r)2+y2=r2 y>0 Comprimento S L L 2 Pi r Pi r Mom. Estático Mx 0 L2/2 sen(a) 2 Pi r2 2 r2 Mom. Estático My L2/2 L2/2 cos(a) 2 Pi r2 2 Pi r2 Centro gravidade Abscissa: xm L/2 (L/2) cos(a) r r Centro gravidade Ordenada: ym 0 (L/2) sen(a) r 2r / Pi Mom.de Inércia Ixx 0 (L3/3) sen2(a) 3 Pi r3 (Pi/2) r3 Mom.de Inércia Ixy 0 (L3/6) sen(2a) 2Pi r3 2 r3 Mom.de Inércia Iyy L3/3 (L3/3) cos2(a) 3Pi r3 (3/2)Pi r3 Construído por Ulysses Sodré. [matweb/superior/integral/inclusao_dasecretaria.htm]
Uma curva plana pode ser descrita por alguns modos comuns como:
Exemplos:
Observações:
Exemplo: Se a curva y=R[r2-x2] é a semi-circunferência de raio r, localizada no semi-plano cartesiano superior, os valores para x estão no intervalo [-r,+r]. Como y'(x)= x/R[1-x2], então:
O perímetro da circunferência de raio r é:
Exemplo: Se a curva x=R[r2-y2] é a semi-circunferência de raio r, localizada no semi-plano cartesiano esquerdo, os valores para y estão no intervalo [-r,+r]. Como x'(y)=y/R[1-y2], então:
e temos outra forma, agora com a variável y, para concluir que o perímetro da circunferência de raio r é igual a
Exemplo: Seja a curva f(t)=(rcos(t),rsen(t)) com t em [0,2Pi]. Esta é uma parametrização para a circunferência de raio r, centrada na origem do sistema cartesiano. Como f'(t)=(-rsen(t),rcos(t)), segue que |f'(t)|=r, assim:
e concluímos que esta é uma maneira muito mais fácil de obter o perímetro da circunferência de raio r.
Exemplo: Seja r=a o arco de circunferência de raio a localizado entre os ângulos ø=Pi/6 e ø=2Pi. Como r'(ø)=0, segue que:
Exemplo: Seja ø=1+r com r em [2,5]. Como ø'(r)=1, temos:
Exemplo: Seja y=f(x)=6-2x o segmento de reta localizado no primeiro quadrante com x em [1,2]. Como f'(x)=-2, segue que:
Exemplo: Seja x=g(y)=12-4y o segmento de reta localizado no primeiro quadrante com y em [1/4,2]. Como g'(y)=-4, segue que:
Exemplo: Seja y=f(x)=3-12x o segmento de reta localizado no primeiro quadrante com x em [1,2]. Como f'(x)=-12, segue que:
Exemplo: Seja x2+y2=a2 o arco de circunferência de raio a, localizado no primeiro quadrante com x em [0,a]. Tomaremos y=f(x)=R[a2-x2]. Como f'(x)=-x/R[a2-x2], segue que:
Exemplo: Seja x2+y2=a2 a semi-circunferência de raio a, localizado no semi-plano à direita com y em [-a,a]. Tomaremos x=g(y)=R[a2-y2]. Como f'(y)=-y/R[a2-y2], segue que:
Exemplo: Seja 4x+y-2=0 o segmento de reta, localizado no primeiro quadrante x em [0,1/4]. Tomaremos y=f(x)=2-4x. Como f'(x)=-4, segue que:
Exemplo: Seja 4x+y-2=0 o segmento de reta, localizado no primeiro quadrante com y em [0,2]. Tomaremos x=g(y)=(2-y)/4. Como g'(y)=-1/4, segue que:
Exemplo: Seja x2+y2=a2 o arco de circunferência de raio a, localizado no semi-plano superior x com em [-a,a]. Tomaremos y=f(x)=R[a2-x2]. Como f'(x)=-x/R[a2-x2], segue que:
Exemplo: Seja (x-a)2+(y-a)2=a2 a circunferência de raio a, localizado no primeiro quadrante e tangente aos eixos OX e OY. Esta curva não representa uma função x=g(y), logo ela será decomposta em duas funções:
Temos que:
Assim, calcularemos Ixy através da soma de duas integrais I1 e I2.
Exemplo: Seja (x-a)2+(y-a)2=a2 a circunferência de raio a que é tangente aos eixos OX e OY, localizada no primeiro quadrante. Esta curva não é uma função, mas no intervalo [0,2Pi] ela pode ser decomposta na reunião de duas funções:
Assim, calcularemos Ixx através da soma de duas integrais I1 e I2.
De forma análoga, temos que:
e podemos concluir que